高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数课件 理 北师大版.ppt

第二章函数 导数及其应用 第四节二次函数与幂函数 j基础知识自主学习 1 二次函数 1 二次函数解析式的三种形式 一般式 f x 顶点式 f x 零点式 f x ax2 bx c a 0 a x m 2 n a 0 a x x1 x x2 a 0 2 图像与性质 b 0 2 幂函数 1 定义 如果一个函数 底数是自变量x 指数是常量 即 这样的函数称为幂函数 y x x x 0 x x 0 y y 0 y y 0 y y 0 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 在r上单调递增 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 在r上单调递增 在 0 上单调递增 在 0 和 0 上单调递减 1 1 3 二次函数y ax2 bx c x r不可能是偶函数 解析错误 当b 0时 二次函数为偶函数 4 幂函数的图像都经过点 1 1 和点 0 0 5 当n 0时 幂函数y xn是 0 上的增函数 解析正确 由幂函数的图像可知 2 如果二次函数f x 3x2 2 a 1 x b在区间 1 上是减函数 则 a a 2b a 2c a 2d a 2 3 函数f x m 1 x2 2mx 3为偶函数 则f x 在区间 5 3 上 a 先减后增b 先增后减c 单调递减d 单调递增 解析因为f x m 1 x2 2mx 3为偶函数 所以2m 0 即m 0 所以f x x2 3 由二次函数的单调性可知 f x x2 3在 5 3 上为增函数 答案d 4 函数f x x2 4x 3 x 0 4 则f x 的最大值 最小值分别为 解析因为f x x 2 2 1 x 0 4 所以x 2时 f x min 1 f x max f 0 f 4 3 3 1 5 二次函数f x 的图像与x轴有两个交点a 1 0 b 2 0 且图像过点 0 3 则f x r热点命题深度剖析 例1 1 已知幂函数f x n2 2n 2 xn2 3n n z 的图像关于y轴对称 且在区间 0 上是减函数 则n的值为 a 3b 1c 2d 1或2 解析 由于f x 为幂函数 所以n2 2n 2 1 解得n 1或n 3 经检验只有n 1适合题意 故选b 答案 b 规律方法 1 幂函数y x 的图像与性质由于 的值不同而比较复杂 一般从两个方面考查 的正负 0时 图像过原点和 1 1 在第一象限的图像上升 1时 曲线下凸 0 1时 曲线上凸 0时 曲线下凸 2 在比较幂值的大小时 必须结合幂值的特点 选择适当的函数 借助其单调性进行比较 准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键 解析函数的定义域为 0 且在定义域上为减函数 故选a 答案a a c b 例2 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 求此二次函数的解析式 规律方法 二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式 一般用待定系数法 选择规律如下 1 已知三个点坐标 宜选用一般式 2 已知顶点坐标 对称轴 最大 小 值等 宜选用顶点式 3 已知图像与x轴两交点坐标 宜选用两根式 变式训练2已知二次函数f x 的图像经过点 4 3 它在x轴上截得的线段长为2 并且对任意x r 都有f 2 x f 2 x 求f x 的解析式 解 f 2 x f 2 x 对x r恒成立 f x 的对称轴为x 2 又 f x 图像被x轴截得的线段长为2 f x 0的两根为1和3 设f x 的解析式为f x a x 1 x 3 a 0 又 f x 的图像过点 4 3 3a 3 a 1 所求f x 的解析式为f x x 1 x 3 即f x x2 4x 3 高考对二次函数图像与性质进行单独考查的频率较低 二次函数的图像与性质和一元二次方程 一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点 常以选择题 填空题的形式出现 考查二次函数的图像识别 最值及与其他函数图像的交点问题 角度一 二次函数图像的识别问题 1 如图是二次函数y ax2 bx c图像的一部分 图像过点a 3 0 对称轴为x 1 给出下面四个结论 b2 4ac 2a b 1 a b c 0 5a b 其中正确的是 a b c d 2 设abc 0 二次函数f x ax2 bx c的图像可能是 角度二 二次函数的最值问题3 已知函数f x x2 2ax 1 a在x 0 1 时有最大值2 求a的值 4 设函数y x2 2x x 2 a 若函数的最小值为g a 求g a 角度三 求解一元二次不等式恒成立问题5 2016 景德镇模拟 设函数f x ax2 2x 2 对于满足10 则实数a的取值范围为 6 若关于x的不等式x2 4x 2 a 0在区间 1 4 内有解 则实数a的取值范围是 a a 2c a 6d a 6 解析不等式x2 4x 2 a 0在区间 1 4 内有解等价于a x2 4x 2 max 令g x x2 4x 2 x 1 4 所以g x g 4 2 所以a 2 故选a 答案a 角度四 二次函数的零点问题7 已知关于x的二次函数f x x2 2t 1 x 1 2t 1 求证 对于任意t r 方程f x 1必有实数根 证明 f x x2 2t 1 x 1 2t f x 1 x 2t x 1 0 x 1是方程 的实根 即f x 1必有实数根 规律方法 1 图像识别问题的处理技巧 辨析二次函数的图像应从开口方向 对称轴 顶点坐标以及图像与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除 2 二次函数的区间最值问题的类型及处理思路 类型 a 对称轴 区间都是给定的 b 对称轴动 区间固定 c 对称轴定 区间变动 解决这类问题的思路 抓住 三点一轴 数形结合 三点是指区间两个端点和中点 一轴指的是对称轴 结合配方法 根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 3 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 一般有两个解题思路 一是分离参数 二是不分离参数 两种思路都是将问题归结为求函数的最值 至于用哪种方法 关键是看参数是否已分离 这两个思路的依据是 a f x 恒成立 a f x max a f x 恒成立 a f x min s思想方法感悟提升 1个注意 二次函数的二次项系数在研究二次函数时 要注意二次项系数对函数性质的影响 往往需要对二次项系数分大于零与小于零两种情况讨论 1组关系 三个二次 之间的关系 1 在研究一元二次方程根的分布问题时 常借助于二次函数的图像数形结合来解 一般从 开口方向 对称轴位置 判别式 端