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泰勒公式的一些应用姓名：刘俊强 学号：200640501213 指导教师：马玉田摘要：泰勒公式在分析研究数学问题方面，有着重要的应用。本文讲述了泰勒公式在求不定式的极限,近似计算，级数和广义积分的敛散性，函数不等式的证明等几个方面的应用.关键词：泰勒公式 极限 近似计算 敛散性 不等式 证明 引言在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。那么一个函数只有什么条件才能用多项式函数近似代替呢？这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么关系呢？用多项式函数近似代替这个函数误差又怎么样呢？通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是微积分学中的重要内容，在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明等方面，泰勒公式是有用的工具. 一 泰勒公式泰勒公式：若函数在点存在n阶导数，则有证明：设 （1） 现在只要证明由关系式（1）知并易知 因为存在，所以在点的某邻域内存在n-1阶导数.于是，当且时，允许接连使用洛必达法则n-1次，得到故即证.泰勒公式是一元微积分的一个重要内容.不仅在理论上占有重要地位，在近似计算，函数的性质研究等方面也有着重要的应用。泰勒公式在求不等式的极限，近似计算，级数和广义积分的敛散性，函数不等式的证明等问题的解决过程中，起到化繁为简的作用.下面试举几例，以作证明.二.泰勒公式的应用（一） 求极限：例1 ：求的极限.解：因为分母为，故分子的泰勒展开式中取n=3. 注：此例也可以用洛必达法则求解，但由于分子，分母需要求三阶导数，且分子求导较繁琐.故不可取.（二） 近似计算： 例2 求的近似值. 分析：求该数值，在平常需要查表.若应用泰勒公式，能方便的求出其近似值.解： 由可以得到此时误差为例3 计算的值，使其误差不超过.解：由 得当时 （）故，当时，便有从而略去而求得的近似值为注：泰勒公式在求近似值的过程中，突破了查表和应用微分求近似值的局限.计算更加精确，可以满足在精密仪器设计过程中的计算需要.（三） 讨论级数和广义积分的敛散性： 例4 讨论级数的敛散性.解：由比较判别法可知：若，则正项级数和正项级数同是收敛和发散.为了选取中的的值，可以用泰勒公式研究通项的阶. 当时 正项级数收敛. 故收敛. 即证. 又如 研究广义积分的敛散性.解： 是瑕点 由比较判别法可以知道 ，则时，收敛；当时，发散.，因为，所以广义积分发散。注：从以上两例可知，级数与广义积分的联系比较密切，结论类似.（四） 不等式的证明：例5 设在区间内二阶可导，且，则其中均为正数；。证明：记，则。由于在区间内二阶可导，故在点处一阶泰勒公式成立.，在与之间。因为， ，所以分别取，则有;.以上各式分别乘以，得;.将上面n个不等式相加得.因为，所以.即.从而.即证。注：利用泰勒公式证明函数不等式，主要有两步：（1） 构造一个函数，选一个展开点，然后写出在处带有拉格朗日余项的泰勒公式；（2） 根据所给的最高阶导数的大小，函数的界或者三角不等式对进行放缩.如： 设函数在点附近二阶可导，由泰勒展式显然有结论：（1）若，则有；（2）若，则有.（五） 求高阶导数： 例6 写出的麦克劳林公式，并求与. 解： 因 （1） 用替换（1）中的，使得 ,由泰勒公式系数的定义，在上述的麦克劳林公式中，与的系数分别为 ， . 由此得到 ， .（六） 求麦克劳林公式： 例7 求=在处的迈克劳林公式展开形式. 解：首先作分解 再转化成： 三总结从上述实例中可以看出，泰勒公式在微积分的各个方面都有重要的应用.但在应用泰勒公式时需要注意:(一) 一般将函数展开成为比最高阶导数低一阶即可；(二) 恰当选择等式两边的与.参考文献：【1】华东师范大学数学系。数学分析（上） .北京：高等教育出版社，2001.【2】孙本旺，汪浩.数学分析中的典型例题和方法 .长沙：湖南科学技术出版社，1992.【3】同济大学应用数学系.高等数学（上） .北京：高等教育出版社，2002.【4】刘玉链 傅沛仁，数学分析讲义，高等教育出版社2008【5】施光燕，高等数学讲稿M.大连： 大连理工大学出版社，2008【5】裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M .北京：高等教育出版社 2006【7】张励。泰勒公式的应用J .天津轻工业学院学报，1999（2）：50-51【8】刘明忠.以专业为向导探索高职教学模式J.襄樊职业技术学院学术学报，2005，The Application of Taylor FormulaAbstract：Taylors formula in the analysis of mathematical problems, have important applications. This article describes infinitives seeking Taylors formula in the limit, approximate calculation, series and generalized integral and Covergence, the function inequality proof that seve