高考数学一轮总复习 第十六章 几何证明选讲课件 理 新人教B版.ppt

第十六章几何证明选讲 高考理数 1 平行线截割定理 1 平行线等分线段定理及其推论 i 定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 ii 推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 iii 推论2 经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线平分另一腰 2 平行线分线段成比例定理及其推论 i 定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 ii 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 2 相似三角形 1 相似三角形的判定 i 判定定理 知识清单 a 两角对应相等的两个三角形相似 b 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 c 三边对应成比例的两个三角形相似 ii 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似 iii 直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 2 相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比 面积比等于相似比的平方 3 直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项 3 圆周角定理 1 圆周角 顶点在圆周上且两边都与圆相交的角 2 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 3 圆周角定理的推论 i 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等 ii 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 4 圆的切线 1 直线与圆的位置关系 2 切线的性质及判定定理 i 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 ii 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 5 弦切角 1 弦切角 顶点在圆上 一边与圆相切 另一边与圆相交的角 2 弦切角定理及推论 i 定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 ii 推论 同弧或等弧所对的弦切角相等 同弧或等弧所对的弦切角与圆周角相等 6 与圆有关的比例线段 7 圆内接四边形 1 圆内接四边形性质定理 i 圆的内接四边形的对角互补 ii 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 2 圆内接四边形判定定理及推论 i 定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 ii 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 判定两个三角形相似的几种方法 两角对应相等 两三角形相似 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 三边对应成比例 两三角形相似 相似三角形的定义 例1 2015贵州七校联盟一模 22 10分 如图 o1和 o2的公切线ad和bc相交于点d a b c为切点 直线do1交 o1于e g两点 直线do2交 o2于f h两点 1 求证 def dhg 2 若 o1和 o2的半径之比为9 16 求的值 突破方法 方法1相似三角形的判定及性质 解析 1 证明 ad是两圆的公切线 ad2 de dg ad2 df dh de dg df dh 又 edf hdg def dhg 4分 2 连结o1a o2a ad是两圆的公切线 o1a ad o2a ad o1a o2a共线 ad和bc是 o1和 o2的公切线 dg平分 adb dh平分 adc dg dh ad2 o1a o2a 8分 设 o1和 o2的半径分别为9x和16x 则ad 12x 144x2 de de 18x 144x2 df df 32x de 6x df 4x 10分 1 1 2016广西柳州三模 22 10分 如图 在 abc中 ab ac abc的外接圆 o的弦ae交bc于点d 求证 abd aeb 证明因为ab ac 所以 abd c 又因为 c e 所以 abd e 又 bae为公共角 可知 abd aeb 1 圆幂定理 切割线定理 相交弦定理 割线定理等 考查常常以证明乘积恒等式的形式出现 因此 必须抓住以下几点 1 圆中的比例线段及其应用范围 2 线段成比例 相似三角形 圆的切线及其性质 与圆有关的相似三角形 3 圆幂定理的原理与证明 例2 2014课标 22 10分 选修4 1 几何证明选讲如图 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 证明 1 be ec 2 ad de 2pb2 方法2圆中有关定理 圆幂定理 的应用 证明 1 连结ab ac 由题设知pa pd 故 pad pda 因为 pda dac dca pad bad pab dca pab 所以 dac bad 从而 因此be ec 2 由切割线定理得pa2 pb pc 因为pa pd dc 所以dc 2pb bd pb 由相交弦定理得ad de bd dc 所以ad de 2pb2 2 1 2016贵州贵阳二模 22 10分 如图 abc内接于直径为bc的圆o 过点a作圆o的切线交cb的延长线于点p bac的平分线分别交bc和圆o于点d e pa 2pb 10 1 求证 ac 2ab 2 求ad de的值 解析 1 证明 pa是圆o的切线 pab acb 又 p是公共角 abp cap pa 2pb ac 2ab 2 由切割线定理 得pa2 pb pc pa 2pb 10 pc 20 bc pc pb 15 ad是 bac的平分线 由 1 知ac 2ab 2 cd 2db cd 10 db 5 又由相交弦定理 得ad de cd db 50 2 四点共圆问题往往难度较大 但出现的机率相对较小 主要考查学生结合圆中有关角和边的定理进行推理和证明 结合圆内接四边形的性质或判定完成问题的求解和证明 例3 2013课标全国 22 10分 选修4 1 几何证明选讲如图 cd为 abc外接圆的切线 ab的延长线交直线cd于点d e f分别为弦ab与弦ac上的点 且bc ae dc af b e f c四点共圆 1 证明 ca是 abc外接圆的直径 2 若db be ea 求过b e f c四点的圆的面积与 abc外接圆面积的比值 解析 1 证明 因为cd为 abc外接圆的切线 所以 dcb a 由题设知 故 cdb aef 所以 dbc efa 因为b e f c四点共圆 所以 cfe dbc 故 efa cfe 90 所以 cba 90 因此ca是 abc外接圆的直径 2 连结ce 因为 cbe 90 所以过b e f c四点的圆的直径为ce 由db be 有ce dc 又bc2 db ba 2db2 所以ca2 4db2 bc2 6db2 而dc2 db da 3d