高中数学教学论文 《斜线与平面所成的角》教学案例.pdf

斜线与平面所成的角 教学案例 斜线与平面所成的角 教学案例 一 研究背景 当前正值数学课程改革深入发展时期 如何解决教学难点 让学生进行主动的知识建构 成为数学课程改革十分关注的问题 作为一名在教学第一线的中学数学老师 深感教学难 点突破的重要性和艰巨性 在 斜线与平面所成的角 这堂课的教学中触动了我对概念教学 难点突破的思考 二 教学过程描述 我设计了如下教学过程 1 复习直线与平面的位置关系引入课题 师 请同学们观察下面两个图形 有何不同 师 我们如何刻画直线和平面的这种相对位置关系呢 学生 1 线和平面的倾斜程度 学生 2 反映直线与平面的交角 评 巧妙创设情境导入新课 激发学生兴趣 使学生自然融入课堂 2 新授 I 点在平面上的射影 从日常生活中物体的影子说到点在平面上的射影的概念 紧接着画 图形下定义 再接着给出垂线段 斜线 斜线段的概念 然后用日常生活中树簱竿问题说明 过一点的垂线段唯一 过一点的斜线段不唯一 II 由老师直接给出 斜线在平面上的射影 的定义 画出了习惯位置图形 平面为水平面 师生共同讨论斜线段 垂线段的性质 得到射影定理 接下来学习 直线与平面所成的角 师 我们如何来度量斜线和平面的夹角呢 用数学语言怎样描述这个问题 生 当斜线与平面的关系是时 如何求斜线与平面所成的角 师 非常好 那么下面我们先来共同探究一个问题 如何求斜线与平面所成的角 请大家利用铅笔和纸板操作 观察 分析直线与平面所成的角的各种情况 并探寻用平面内 哪一条直线与斜线的夹角来定义直线与平面所成的角 生 平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫这条斜线和这个平面所成的角 师 若直线垂直于平面 直线在平面上的射影成为一个点 那么直线和平面所成的角又如何 定义呢 生 可以类比直线和直线垂直的 所成的角是直角 师 两条直线平行时 它们所成的角为 0 与之相类似 直线平行于平面或在平面内时 它们所成的角又等于多少度 生 所成角为 0 师 现在 我们归纳一下直线和平面所成的角的取值范围 评 从一般到特殊 引导学生对比 延伸 拓广概念 生 直线和平面所成角范围是 1 斜线与平面所成的角范围是 3 举例 师 既然学习了新的知识就要有用武之地 请同学们先看应用举例 1 屏幕展示 1 求正方体中 与平面 ABCD 所成的角 师 看完题目 哪位同学们能够说说这道题怎么做 生 师 能说说你的见解吗 生 本来就是嘛 不就一眼就看出来的吗 师 不 这是一道解答题 它需要有严密的证明过程 而不是你知道结论就可以的 生 哦 那我就说说吧 师 很好 这就能做到步步有据 师 接下来我们再看应用举例 2 2 四面体 S ABC 中 SA SB SC 两两垂直 求 BC 与平面 SAB 所成的角 师 哪位同学能够通过简单推理 把答案告诉大家 生 师 你能说出理由吗 2 生 因为 SA SB SC 两两垂直 4 归纳总结求直线与平面所成角的基本步骤 师 同学们能不能根据刚才两道题目的解答过程 说说求线面夹角的一些体会和感悟 评 正确的解题方法也应当由学生自己探索 生 先找垂线 再找射影 定夹角 最后求夹角 师 基本上把解题思路讲清楚了 但是漏了一个重要的环节 找完角要证明 这样才能做到 步步有据 师归纳 求直线和平面所成的角时 应注意的问题 先判断直线和平面的位置关系 当直线和平面斜交时 常以以下步骤 作 作出或找到斜线与射影所成的角 证 论证所作或找到的角为所求的角 算 常用解三角形的方法或公式法求角 答 点明斜线和平面所成的角 5 练习 师 再接下来我们看应用举例 3 屏幕展示 3 如图 在正方体中 求面对角线与面所成的角 请同学们先分析这道题要我们做什么 生 求线与面的夹角 师 那就请同学们按刚才总结的步骤动笔做做这道题 巡一圈后 把一个做得较完整 较清楚的学生的样本拿到视频展示台展示 展示学生做的内容 6 小结 师 通过前面的学习 我们一起总结这一节课主要学习了什么知识和技能 生 我们学习了 1 有关平面的斜线 射影和直线与平面成角的几个概念 2 线面夹角 的概念及解题步骤 先找垂线 后找射影最后确定夹角 在具体解题时 关键是求斜线在平 面内的射影 并按以下步骤 一 作 1 作垂线 2 找射影 3 确定夹角 二 证 三 算 构造三角形求解 四 答 7 布置作业 三 课后反思 美国教育家舒尔曼认为 学科教学知识是教师知识的主要成分 呈现则是学科教学的重要方 式 斜线在平面上的射影 该内容我认为有两处难点 一是 射影 的概念 二是在非习 惯位置下斜线在平面上射影的识别 如何呈现 直线与平面所成的角 这一概念的形成过程 呢 学习这一内容之前已学习了 异面直线所成的角 若那里我们是通过类比 联想及直 3 4 观的方法逐渐引出概念 明确定义的合理性的话 这里可以引导学生用同样的方法自主研究 学习 所以我在教学过程做如下引导 1 问题提出 通过模型显示 直线与平面也可以形成大小不同的 角 有的直线与平面 也可以形成不同的 距离 如何寻找一个合适的几何量来刻划直线与平面吗 平面之间的 倾斜程度和远近程度呢 我们可以借鉴我们已前学习的哪个内容的方法来研究学习 学生 自然会回答可用 角 与 距离 来描述 可以借鉴 平面直线所以成角的 的学习方法 2 逐步形成概念 直线与直线有所成角的概念 直线与平面哪来的 角 呢 如何规 定 直线与平面所成的角 呢 能否象平面直线所成角那样找出两条相交直线所成的角 来确定直线与平面所成的角呢 引导学生讨论 归纳学生作 角 的方法 斜线与在平面内 过斜足的直线所成的角 或者是斜线与在斜线在平面内的射影所成的角 在此基础上 引导 学生讨论那一个合理一些 前者不唯一 后者唯一 后者是合理的唯一的 该过程自然完 成了射影定理的学习 又形成了概念 引导学生讨论逐渐得出如下结构 要找直线与 平面所成的角 当直线的为平面斜线时 关键是找出 或作出 斜线在平面上的射影 把直 线与平面所成的角转化为两相交直线所成的角 当直线与平面垂直时 直线与平面所成的角 为 90 当直线与平面平行或直线在平面内时 直线与平面所成角为 0 因此直线与平面 所成角为 则 0 90 请同学们总结 给直线与平面所成的角下定义 并归纳 叙述出性质 3 呈现方法的思考和形成的过程 在分析概念的基础上 还应通过实例应用加深对概念的 认识和理解 并从具体问题中总结出解决问题的方法 逐渐形成学生的技能 老师要给学习 讲清楚 方法 是如何 想到 的 通过实例说明如何求直线与平面所成的角 然后师生一 起归纳总结出求直线与平面所成角的方法和步骤 帮助学生很好地理解与掌握各个较为抽象的数学概念 如何防止 机械记忆 并帮助学生较 好地实现 理解记忆 是概念教