2019_2020学年高中数学平均数、中位数、众数、极差、方差1.4.2标准差学案北师大版.docx

1.4.1平均数、中位数、众数、极差、方差 1.4.2标准差航向标学习目标1理解平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的概念2会计算数据的平均数、标准差3体会用统计量表达样本数据，提高学生的学习兴趣读教材自主学习1平均数：一般地，对于n个数x1，x2，xn，我们把(x1x2xn)叫作这n个数的算术平均数，简称平均数2中位数：一般地，将n个数据按大小顺序排列，处于最中间的一个数(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数3众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数4极差：极差是数据的最大值与最小值的差5标准差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，称为这组数据的方差，方差的算术平方根称为这组数据的标准差看名师疑难剖析1平均数、中位数、众数刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等，它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息平均数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计量2方差、标准差n个数据x1，x2，x3，我们把记为，则方差可以用s2(x1)2(x2)2(xn)2来表示，将方差的算术平方根s称为标准差刻画一组数据离散趋势的统计量有方差、标准差等对方差和标准差的理解还要注意以下几方面：(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数的波动大小标准差、方差越大，数据离散程度越大，稳定性越差；标准差、方差越小，数据离散程度越小，稳定性越好；(2)因方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据分散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差； (3)标准差与方差的取值范围是0，)考点一 平均数、众数、中位数的计算例1求下列一组数据的平均数、中位数、众数：10,20,80,40,30,90,50,40,50,40.分析明确各概念，利用定义解题解这组数据的平均数为(10208040309050405040)1045.将这组数据按从小到大的顺序排列，得10,20,30,40,40,40,50,50,80,90，所以中位数为(4040)240.又因为40出现3次，出现次数最多，所以众数为40.类题通法求平均数必须先将所有数据求和，再把和除以数据的个数.求中位数时，必须将所有数据按从小到大的顺序排列后，把中间的数或中间两项的平均数称为这组数据的中位数.而众数则是出现次数最多的数据.在解答本类问题时，一定要审清题意，明确各数据出现的次数，认真计算，以防计算失误.(1)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为_和_.(2)在如下图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是_，_.答案(1)2423(2)4546解析(1)由茎叶图可知甲的平均数为24，乙的平均数为23.(2)甲组数据从小到大排序后，最中间的数是45，即甲组数据的中位数为45；乙组数据从小到大排序后，最中间的数是46，即乙组数据的中位数是46.考点二 平均数、众数、中位数的应用例2个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有工作人员8月份的工资表：李某大厨二厨采购员杂工服务生会计3000元450元350元400元320元320元410元(1)计算所有员工8月份的平均工资；(2)由(1)计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什么？(3)去掉李某的工资后，再计算平均工资，这能代表打工人员当月的收入水平吗？(4)根据以上计算，以统计的观点，你对(3)的结果有什么看法？解(1)这7个人的8月份平均工资是1(3000450350400320320410)750(元)(2)计算出的平均工资不能反映打工人员的当月收入的一般水平，可以看出，打工人员的工资都低于平均工资，因为这7个值中有一个极端值李某的工资特别高，所以他的工资对平均工资的影响较大，同时他也不是打工人员(3)去掉李某的工资后的平均工资2(450350400320320410)375(元)，该平均工资能代表打工人员的当月收入的一般水平(4)从本题的计算可以看出，个别特殊值对平均数有很大的影响，因此在选择样本时，样本中尽量不用特殊数据类题通法据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法解(1)平均数是150015005912091(元)，中位数是1500元，众数是1500元(2)平均数是1500150017883288(元)中位数是1500元，众数是1500元(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平考点三 方差与标准差的计算例3一个样本数据的方差是s2(x13)2(x23)2(x33)2(x203)2(1)求样本的容量n及平均数；(2)如果样本数据的平方和为200，求样本的方差分析本题主要用方差的公式进行变形求解，我们要熟练掌握公式的变形解(1)由样本数据方差公式可以得到样本容量n20，平均数3.(2)由s2(x13)2(x23)2(x203)2(xxx)6(x1x2x20)209(200360180)1.类题通法甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有()As3s1s2 Bs2s1s3Cs1s2s3 Ds2s3s1答案B解析甲8.5，s1.25，乙8.5，s1.45，丙8.5，s1.05，由sss得s2s1s3.故选B.考点四 数据的数字特征的应用例4一次科技知识竞赛，两组学生成绩如下表：已经计算得到两个组成绩的平均数都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁次，并说明理由分析优次之分的标准是通过数据的各数字特征来反映解(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些；(2)s2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2172(分2)s(4900440016100201210012400)256(分2)因为ss，所以甲组的成绩比乙组的成绩好(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度来看，甲组的成绩总体较好(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩高于90分(含90分)的人数为14620(人)，乙组的成绩高于90分(含90分)的人数为121224(人)，所以乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分的比甲组得满分的多6人，从这一角度来看，乙组的成绩较好类题通法用数据的数字特征来反映该组数据的特点，本例就是从众数、中位数、方差、高分段以及满分的人数等数字特征全方位进行综合分析、比较，并作出判断.有一组数据：x1，x2，xn(x1x2xn)的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9，若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11.(1)求出第一个数x1关于n的表达式及第n个数xn关于n的表达式；(2)若x1，x2，xn都是正整数，试求第n个数xn的最大值，并举出满足题目要求且xn取到最大值的一组数据解(1)依条件得由得xnn9.又由得x111n.(2)由于x1是正整数故x111n11n10，故xnn919.当n10时，x11，x1019，x2x3x980.此时，x26，x37，x48，x59，x611，x712，x813，x914.例(12分)某酒厂有甲、乙两条生产线生产同一种型号的白酒，产品在自动传输带上包装传送，每15分钟抽一瓶测定其质量是否合格，分别记录抽查的数据如下(单位：毫升)：甲生产线：508,504,496,510,492,496乙生产线：515,520,480,485,497,503问：(1)这种抽样是何种抽样方法？(2)分别计算甲、乙两条生产线的平均值与标准差，并说明哪条生产线的产品较稳定(一)精妙思路点拨(二)分层规范细解(1)根据题意知，抽样是每15分钟抽一瓶，是等距抽样，所以这种抽样是系统抽样.4分(2)根据已知抽样数据可计算：甲(508504496510492496)，6分s(508501)2(504501)2(496501)2(510501)2(492501)2(496501)2，s甲36.708.8分乙(515520480485497503)，s(515500)2(520500)2(480500)2(485500)2(497500)2(503500)210分s乙14.536.s甲s乙，.12分(三)来自一线的报告通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的见分层规范细解过程)(四)类题练笔掌握从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？解(1)甲(25414037221419392142)30030(cm)，乙(27164427441640401640)31031(cm)，甲乙，乙种玉米的苗长得高(2)s(2530)2(4130)2(4030)2(3730)2(2230)2(1430)2(1930)2(3930)2(2130)2(4230)21042104.2(cm2)，s(2731)22(1631)23(4431)22(4031)231288128.8(cm2)ss，甲种玉米的苗长得齐(五)解题设问(1)本题中样本数据的个数是多少？_.(2)需用样本数据的哪些数字特征？需要求出样本数据的_，用来衡量玉米的高度；求出样本数据的_(或_)用来衡量玉米长得是否齐答案(1)有10个(2)平均数方差标准差1已知某班8名学生的身高(单位：m)分别为：1.74,1.68,1.72,1.80,1.64,1.69,1.75,1.82，则这8名学生的平均身高为()A1.60 m B1.82 mC1.73 m D1.64 m答案C解析求平均数2在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：948.49.49.99.69.49.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为()A9.40.484 B9.40.016C9.50.04 D9.50.016答案D解析去掉最高分9.9和最低分8.4，余下的数为9.4,9.4,9.6,9.4,9.7，其平均数9.5，s2(0.120.120.120.120.22)0.016.3某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()A85、85、85 B87、85、86C87、85、85 D87、85、90答案C4已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是_答案a10.5，b10.5解析依题意及中位数定义可知：a10.5，b10.5.5甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸(单位：mm)分别如下甲：10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.