高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式 第2课时 基本不等式的应用证明问题同步课件 新人教B版必修5.ppt_第1页
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成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教b版 必修5 不等式 第三章 3 2均值不等式 第三章 第2课时基本不等式的应用 证明问题 现有a b c d四个长方体容器 a b的底面积均为a2 高分别为a和b c d的底面积均为b2 高分别为a和b 其中a b 现规定一种游戏规则 每人一次从四个容器中取两个 盛水多者为胜 先取者有没有必胜的方案 若有 有几种 2ab 答案 d 答案 b 答案 已知a b c为两两不相等的实数 求证 a2 b2 c2 ab bc ca 解析 a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 以上三式相加 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca a2 b2 c2 ab bc ca 点评 本题中的表达式具有轮换对称关系 将表达式中字母轮换a b c a后表达式不变 这类问题证明一般变为几个表达式 通常几个字母就需几个表达式 迭加 乘 从而获解 不等式的证明技巧 字母轮换不等式的证法 若a b c均为正数 求证 a3 b3 c3 3abc 解析 a3 b3 a2b ab2 a2 a b b2 b a a b a2 b2 a b 2 a b a b为正数 a b 2 0 a b 0 a3 b3 a2b ab2 同理可得b3 c3 b2c bc2 a3 c3 a2c ac2 将 式两边分别相加 得2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 a2c ac2 a2b bc2 ab2 ac2 b2c a2c b a2 c2 a b2 c2 c a2 b2 b 2ac a 2bc c 2ab 6abc a3 b3 c3 3abc 显然 当且仅当a b c时 a3 b3 c3 3abc 利用均值不等式证明不等式 已知a b c d都是实数 且a2 b2 1 c2 d2 1 求证 ac bd 1 均值不等式的综合应用 证法三 分析法 要证 ac bd 1 只需证明 ac bd 2 1 即只需证明a2c2 2abcd b2d2 1 由于a2 b2 1 c2 d2 1 因此 式等价于a2c2 2abcd b2d2 a2 b2 c2 d2 将 式展开化简得 ad bc 2 0 因此a b c d全是实数 此式成立 故 式成立 从而原命题得证 点评 三种证法各有侧重点 但都植根于条件a2 b2 1与c2 d2 1的灵活运用上 解题时要善于展开联想
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