2014-2015年选修2-1-3课时提升作业(二十二) 3.1.3.doc

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十二)空间向量的数量积运算(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知|a|=1,|b|=2,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为()A.60B.30C.135D.45【解析】选D.因为a-b与a垂直,所以(a-b)a=0,所以aa-ab= |a|2-|a|b|cos=1-12cos=0,所以cos=22.因为0180,所以=45.2.(2014广州高二检测)若a,b均为非零向量,则ab=|a|b|是a与b共线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选A.ab=|a|b|cos=1=0,即a与b共线,反之不成立,因为当a与b共线反向时,ab=-|a|b|.3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a+3b|等于()A.7B.10C.13D.4【解析】选C.|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6ab+9b2=1+6cos60+9=13.所以|a+3b|=13.4.(2014青岛高二检测)已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为()A.8B.652C.4D.65【解析】选D.cos=49,所以sin=659,所以平行四边形的面积S=|a|b|sin=65.5.已知PA平面ABC,垂足为A,ABC=120,PA=AB=BC=6,则PC等于()A.62B.6C.12D.144【解析】选C.因为PC=PA+AB+BC,所以PC2=PA2+AB2+BC2+2ABBC= 36+36+36+236cos60=144.所以|PC|=12.6.(2014福州高二检测)若向量m垂直于向量a和b,向量n=a+b(,R,且0),则()来源:学,科,网A.mnB.mnC.m,n既不平行也不垂直D.以上三种情况都可能【解析】选B.因为mn=m(a+b)=ma+mb=0,所以mn.【一题多解】选B.由向量n=a+b(,R,且0)知向量n与向量a,b共面,故向量mn.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知i,j,k是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则ab等于.【解析】ab=(2i-j+k)(i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.答案:-28.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则ab+bc+ca的值为.【解题指南】本题的关键是利用条件a+b+c=0,两边平方,再结合模求解.【解析】因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,所以a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,所以ab+bc+ca=-32+12+422=-13.答案:-139.(2014聊城高二检测)设|m|=1,|n|=2,2m+n与m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,则=.【解析】因为(2m+n)(m-3n),所以(2m+n)(m-3n)=0,化简得mn=-2.又因为|a|=16+4+16=6, |b|= =49+16-56=3,ab=(4m-n)(7m+2n)=28|m|2-2|n|2+mn=18,所以cos=1863=1,得=0.答案:0【变式训练】已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,求.【解析】(a+3b)(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16ab=0,(a-4b)(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30ab=0,解之得|b|2=2ab=|a|2,所以cos=12,所以=60.三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图所示,已知ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,BAC=60.求BDAC的值.【解析】不妨设AD=BD=CD=1,则AB=AC=2.BDAC=(AD-AB)AC=ADAC-ABAC,由于ADAC=AD(AD+DC)=ADAD=1,ABAC=|AB|AC|cos60=2212=1.所以BDAC=0.11.(2014牡丹江高二检测)如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且C1CB=C1CD=BCD=60.求证:CC1BD.【解题指南】利用已知条件表示所证明的两条直线所在的向量的数量积为0,即可证明两条直线垂直.【证明】设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|.因为BD=CD-CB=b-a,所以BDCC1=(b-a)c=bc-ac=|b|c|cos60-|a|c|cos60=0,所以CC1BD,即CC1BD.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知a,b是异面直线,ab,e1,e2分别为取自直线a,b上的单位向量,且a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3X K B 1.C O M【解析】选B.由ab,得ab=0,所以(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0.因为e1e2=0,所以2k-12=0,所以k=6.2.(2014郑州高二检测)设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)(AB-AC)=0,则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选B.因为DB+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC,所以(AB+AC)(AB-AC)=|AB|2-|AC|2=0,所以|AB|=|AC|.3.(2014银川高二检测)已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,同一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼此的夹角都是60,则此平行六面体的对角线AC1的长为()A.3B.2C.5D.6【解析】选D.因为AC1=AB+AD+AA1,所以|AC1|2=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2ABAD+2ABAA1+ 2ADAA1=1+1+1+2(cos60+cos60+cos60)=6,所以|AC1|=6.【拓展延伸】求两点间的距离或某条线段的长度先将此线段用向量表示,然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量,最后利用|a|2=aa,通过向量运算去求|a|,即得所求距离.4.(2014天津高二检测)如图,正四面体ABCD中,E是BC的中点,那么()A.AEBCAECDD.AEBC与AECD不能比较大小X k B 1 . c o m【解析】选C.因为AEBC=12(AB+AC)(AC-AB)=12(|AC|2-|AB|2)=0,AECD=(AB+BE)CD=AB(BD-BC)+12BCCD=|AB|BD|cos120-|AB|BC|cos120+12|BC|CD|cos120AECD.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,则|AB+BC|=,|BC-EF|=,EF与AC所成角为.【解题指南】可先化简AB+BC知其等于AC,再用BD表示EF进而把向量BC-EF用向量BC,12BD表示.【解析】|AB+BC|=|AC|=2;EF=12BD,BDBC=22cos60=2,故|BC-EF|2=|BC-12BD|2=BC2-BCBD+14BD2=4-2+144=3,故|BC-EF|=3.又因为EF=12BD=12(AD-AB),故ACEF=12AC(AD-AB)=12(ACAD-ACAB)=0,因为0180,所以=90.答案:23906.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:(AA1+AD+AB)2=3AB2;A1C(A1B1-A1A)=0;AD1与A1B的夹角为60;正方体的体积为|ABAA1AD|.其中正确命题的序号是.【解析】如图所示,(AA1+AD+AB)2=(AA1+A1D1+D1C1)2=AC12=3AB2; A1C(A1B1-A1A)=A1CAB1=0;AD1与A1B的夹角是D1C与D1A夹角的补角,而D1C与D1A的夹角为60,故AD1与A1B的夹角为120;正方体的体积为|AB|AA1|AD|.综上可知,正确.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知正四面体OABC的棱长为1,点E,F分别是OA,OC的中点.求下列向量的数量积:(1)EFBC.(2)(OA+OB)(CA+CB).(3)|OA+OB+OC|.【解题指南】根据数量积的定义进行计算,求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角,注意充分结合正四面体的特征.w w w .x k b 1.c o m【解析】(1)因为E,F分别是OA,OC的中点,所以EFAC,且EF=12AC,于是EFBC=|EF|BC|cos=12|AC|BC|cos=1211cos=1211cos60=14.(2)(OA+OB)(CA+CB)=(OA+OB)(OA-OC+OB-OC)=(OA+OB)(OA+OB-2OC)w w w .x k b 1.c o m=OA2+OAOB-2OAOC+OBOA+OB2-2OBOC=1+12-212+12+1-212=1.(3)|OA+OB+OC|=(OA+OB+OC)2=12+12+12+211cos603=6.【拓展延伸】利用图形找关系在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算. X k B 1 . c o m8.(2014济南高二检测)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2.w w w .x k b 1.c o m(1)设侧棱长为1,计算.(2)设AB1与BC1的夹角为3,求|BB1|.【解析】(1)AB1=AB+BB1,BC1=BB1+BC.因为BB1平面ABC,所以BB1AB=0,BB1BC=0.又ABC为正三角形,所以=-=-3=23.因为AB1BC1=(AB+BB1)(BB1+BC)=ABBB1+ABBC+BB12+BB1BC=|AB|BC|cos+BB12新 课 标 第 一 网=-1+1=0,所以=90.(2)结合(1)知AB1BC1=|AB|BC|cos+BB12=BB12-1.又|AB1|=AB2+BB12=2+BB12=|BC1|,所以cos=BB12-12+BB12=12,所以|BB1|=2.【变式训练】如图所示,已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,AC=BD,E,F分别是AD,BC的中点,试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线.【解析】因为点F是BC的中点,所以AF=12(AB+AC).X Kb 1.Co m所以EF=AF-AE=12(AB+AC)-12AD=1