【素材】《不等关系与不等式》重要不等式（人教）_2.doc

几个重要不等式一：柯西不等式形式对于2n个任意实数x1，x2，xn和y1，y2，yn，恒有（x1y1+x2y2+xnyn)2（x12+x22+xn2）（y12+y22+yn2）柯西不等式的几种变形形式1.设xiR,yi0 (i=1,2,n)则，当且仅当bi=l*ai (i=1,2,3,n)时取等号2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,n)，则，当且仅当b1=b2=bn时取等证法柯西不等式的一般证法有以下几种：Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (ai2) * (bi2) (ai * bi)2. 我们令 f(x) = (ai + x * bi)2 = (bi2) * x2 + 2 * (ai * bi) * x + (ai2) 则我们知道恒有 f(x) 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 = 4 * (ai * bi)2 - 4 * (ai2) * (bi2) 0. 于是移项得到结论。用向量来证. m=(a1,a2.an) n=(b1,b2.bn) mn=a1b1+a2b2+.+anbn=(a1+a2+.+an)1/2乘以(b1+b2+.+bn)1/2乘以cosX 因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+.+anbn小于等于a1+a2+.+an)1/2乘以(b1+b2+.+bn)1/2 ，这就证明了不等式 柯西不等式的证明方法还有很多种，这里只取两种较常用的证法柯西不等式的应用柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。例（巧拆常数）：设a、b、c 为正数且各不相等。 求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)9/(a+b+c)分析：a 、b 、c 均为正数 为证结论正确只需证：2(a+b+c)1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1)证明：2(a+b+c)1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)=(a+b)+(a+c)+(b+c)1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立 原不等式成立。二：排序不等式排序不等式又称排序原理。对于两组有序的实数x1x2xn，y1y2yn，设yi1，yi2，yin是后一组的任意一个排列，记S=x1yn+x2yn-1+xny1，M=x1yi1+x2yi2+xnyin，L=x1y1+x2y2+xnyn，那么恒有SML。当且仅当x1=x2=xn且y1=y2=yn时，等号成立。即反序和乱序和顺序和例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）0，这由题知成立。依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。 三：切比雪夫不等式切比雪夫不等式有两个（1）设存在数列a1,a2,a3.an和b1,b2,b3.bn满足a1a2a3.an和b1b2b3.bn那么，aibi(1/n)(ai)(bi)（2）设存在数列a1,a2,a3.an和b1,b2,b3.bn满足a1a2a3.an和b1b2b3.bn那么，aibi(1/n)(ai)(bi)四： 琴生不等式设f(x)为上凸函数，则f(x1+x2+xn)/nf(x1)+f(x2)+f(xn)/n,称为琴生不等式（幂平均）。加权形式为：f(a1x1+a2x2+anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn),其中ai=0(i=1,2,n),且a1+a2+an=1.五：均值不等式a2 + b2 2ab （a与b的平方和不小于它们的乘积的2倍)当a,b 分别大于0时上试可变为a+b 2ab 完全的均值不等式:(a2+ b2)/2 (a+b)/2 ab 2/(1/a+1/b)（二次幂平均算术平均几何平均调和平均）证明：（证明过程引自他出）设a，b是两个正数， M2=(a2+b2)/2，A=(a+b)/2，G=(ab)，H=2/(1/a+1/b) 分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，几何平均和调和平均。证明: M2AGH。 证明 在梯形ABCD中，ABCD，记AB=b，CD=a。 EiFi(i=1,2,3,4)是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。 如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么 E1F1=(a2+b2)/2。 如果E2F2分梯形的中位线，那么 E2F2=(a+b)/2。 如果E3