高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法 从结果入手求解计数问题素材 北师大版选修22.doc

1.4 从结果入手，求解计数问题某些有关计数的应用问题，若在弄清事件的基础上，“从结果入手，构建一一对应”设计解法，常可简化求解一、“顺序确定的排列问题，从结果入手，构建组合数”求解例1 6个高矮不等的同学站成两行三列，如果每一列前面的同学比其身后的同学矮，则不同的站法有多少种？分析：从结果入手，理解组合的意义，每一列前面的同学比其身后的同学矮，顺序确定的排列问题为其组合，分步完成有种不同的站法二、“换位问题，从结果入手，先选后排”化归组合数和特殊的排列问题简化求解例27个人站成一排，要调换其中3个人的位置，其余4个人的位置不动，不同的调换方法有多少种？分析：从结果入手，理解3人换位的意义，设计先选后排，注意3个不同的元素不在原来位置的问题系特殊的有限制条件的排列，用竖图列举法完成选3人再3人都交换位置只有2种，分步有种三、“相同元素分堆问题，从结果入手，隔板法分堆，构建组合数”求解例3某市教委准备在当地的9所重点中学中选派12名优秀青年教师参加在职培训，每所学校至少一个名额，求名额不同的分配方案的种数分析：从结果入手，理解相同元素的分堆问题，设计“隔板法分堆”，将一种分配方法和一个组合建立一一对应，实际问题化归组合数求解弄清事件，其实质为12个相同的元素分成9堆，每一堆至少一个元素，“隔板法分堆”即就是12个相同元素构成的11个空中插入8个隔板，其方法有种四、“最短线路问题，从结果入手，构建组合数”求解例 4如图，在某城市中，m，n两地之间有整体的道路网（24方格），则从一个顶点m到对顶顶点n的最短路线有多少条？分析：弄清事件，从结果入手，理解最短路线就是只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，不同的设计将会产生不同的解法解法1：由加法原理进行分类讨论处理如图，设路口为a，b，c，d，e由m经一个路口到n的方案有5种；由m经两个路口到n的方案有4种；由m经三个路口到n的方案有3种；由m经四个路口到n的方案有2种；由m经五个路口到n的方案有种，由加法原理共有5+4+3+2+1=15种；解法2：若从结果看，构建一一对应使问题简单化最短路线就是只能向东或向北两个方向走6步，只需确定横走4步或纵走2步的问题，这实质为一种走法对应着从6个元素中取出4个元素的一个组合，其组合数为种评注：（1）试比较两种方法，回味设计一一对应的做法在求解排列组合应用问题中的简化作用（2）本例推广，一般地，某城市由 n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成，如图2，从a处走到b处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？（类比解法2，有种）五、“从结果入手，设计插入法模型”简化求解应用问题例5某幢楼房从2楼到3楼共10级，上楼可以一步上一级，也可一步上2级，若规定从2楼到3楼用8步走完，求上楼的方法；分析：从结果入手，设计“插入法模型”，构建组合数求解解法1：由于的余数为2，可以肯定1步一个台阶6次，一步2个台阶2次，选定一步两级或一步一级，则有种方法；解法2：理解题意，设计做法，从结果入手，问题就是六个1和二个2，不同的组合方案就构成了不同的走法，分类完成，两个2不相邻，先排6个1构成7个空位插入两个2，有种；两个2相邻，先排6个1构成7个空位插入两个2，有种，共有种评注：试比较两种方法，回味设计一一对应的做法在求解排列组合应用问题中的简化作用六、从结果入手，设计“相邻位置的整体分类，构建排列和组合数”简化求解涂色问题例6如图3，某个城市在中心广场建造一个花圃，花圃地区分为6个区域，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，求不同的栽种方法共有多少种？分析：如何栽种？可重复的排列问题如何分类？从结果入手分步中再整体分类先涂1号区域，然后整