函数的单调性-教师版.doc

专题练 函数的单调性 1设函数是奇函数（xR）的导函数， ，且当 时，则使得0成立的的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】记函数 ，则 ，因为当 时， ，故当时， ，所以在单调递减；又因为函数 是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递增，且当时，则；当时，则，而当和时不符合要求，又， ，综上所述，使得成立的的取值范围是2如图是函数的导函数的图像，则下面判断正确的是（ ）A. 在区间上是增函数 B. 在上是减函数C. 在上是增函数 D. 当时， 取极大值【答案】C【解析】根据原函数与导函数的关系，由导函数的图象可知的单调性如下： 在上为减函数，在（0,2）上为增函数，在（2,4）上为减函数，在（4,5）上为增函数，在的左侧为负，右侧为正，故在处取极小值，结合选项，只有选项C正确。3已知是定义在上的偶函数，且，当时， ，则不等式的解集是( )A. B. C. D. 以上都不正确【答案】C【解析】令，则当时： ，即函数在上单调递增，由可得：当时， ；当时， ；不等式在上的解集为，同理，不等式在上的解集为，综上可得：不等式的解集是.4已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）1f（x），f（0）=4，则不等式的解集为（ ）A. （0，+） B. C. （1，+） D. （e，+）【答案】A【解析】由题意得： ，令，故，故，故，故函数在递增，由，故的解集是，故选A.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，此题的难点在于将不等式进行转化，是一道中档题，由，得函数单调递增， 得函数单调递减；将问题转化为，令，根据函数的单调性求出的解集即可.5已知函数是函数的导函数， ，对任意实数都有，则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】B【解析】令,所以函数是减函数，又，所以不等式的解集为本题选择B选项.6若定义在上的函数的导函数为，且满足，则与与的大小关系为（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】C【解析】构造函数，所以函数是单调递增函数，故，即，应选答案C。7若的定义域为， 恒成立， ，则解集为A. B. C. D. 【答案】D【解析】令， 恒成立，即在定义域上单调递增又，则，即故本题答案选8已知定义域为R的函数 f （x）的导函数为f（x），且满足f（x）2f （x）4，若 f （0）=1，则不等式f（x）+2e2x的解集为（）A. （0，+） B. （1，+） C. （，0） D. （，1）【答案】A【解析】设，则， ，即函数在定义域上单调递增， ， 不等式等价为不等式等价为，解得，故不等式的解集为，故选A.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察四个选项，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.9是定义在上的奇函数，当时， ，且，则不等式的解集是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】构造函数，则.又是定义在上的奇函数，所以为奇函数，且当时， ， 在上函数单减， .又，所以有的解集.故选C.点睛：本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则及构造函数解不等式，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”以构造恰当的函数；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造合适的函数。10已知函数，若f（x）1在区间（1，+）内恒成立，则实数a的取值范围是（）A. （，1） B. （，1 C. （1，+） D. 1，+）【答案】D【解析】， 在内恒成立，在内恒成立，设，时， ，即在上是减少的，即的取值范围是，故选D.点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增， 得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.11若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】f(x)=lnxax(aR)，f(x)= a，函数f(x)在区间(1,+)上递减，f(x)= a0在区间(1,+)上恒成立，a1，故选：A.12若函数在内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】,因为函数在内存在单调递减区间， 在内成立， ，所以实数的取值范围是，故选A.【方法点晴】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 求解的13已知函数在区间（1，2）上不是单调函数，则实数m的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数在区间（1，2）上不是单调函数，,则方程在上有解，即 ， ，所以,选D.14若在上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. 或 C. D. 或【答案】D【解析】，若函数在上不是单调函数，有两个不等的根，则或，故选D.点睛：本题考查了利用导数研究三次多项式函数的单调性，从而求参数的取值范围，属于中档题，解题时应该注意导函数等于0的等根的情形，以免出现只一个零点的误解；求出函数的导数，由题意得函数的导数在上至少有一个零点，主要不能有两个相等的零点，即可求出实数的取值范围.15若函数恰在上单调递增，则实数a的值为_【答案】【解析】， 因为恰在上单调递增，所以是方程的两根，所以，所以，经检验， 符合题意16已知在上单调递增，则实数的值为_.【答案】【解析】满足题意时： 恒成立，据此有： ，解得： ，实数的值为.点睛：利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用17若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】，因为函数 在区间 上单调递减，所以 在区间 上恒成立，所以 即 解得 ，所以实数 的取值范围为 点睛：函数在给定区间上单调往往转化为恒成立，二次不等式在给定区间上恒成立问题借助二次函数图象转化为解不等式组问题18 在上不单调，则实数的取值范围是_【答案】或【解析】 ，若函数在上不单调，则方程在上有实根，且无重根，由，得， ， 得或，故答案为或.点睛：本题主要考查了导数与函数单调性的关系，二次函数根的分布问题，体现了数学中的转化与化归思想，难度一般；函数在上不单调等价于方程在上有实根，且无重根，结合二次函数的性质求解.19函数的定义域为， ，对， ，则的解集为_【答案】【解析】 由题意得，设，则， 因为，所以，所以函数为单调递增函数， 又，所以 有以内，即， 即，解得，即不等式的解集为20已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为_【答案】【解析】，假设函数在区间上不单调， 所以 时， 或 即恒成立或恒成立。所以或 。因为函数在区间上不单调，所以。 【点睛】假设函数在区间上单调，其导函数或 ，转化为不等式恒成立问题，求函数的最大、最小值。21已知函数（）讨论函数的单调性；（）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围【答案】（）见解析;（）.【解析】试题分析：（1）对函数求导，所以对进行讨论， 与 ， 时的根有效根，可求单调区间。（2）由（1）可知，只有时才有极值，所以， 对恒成立，可化为恒成立，下求的最小值。试题解析：（） 当时，从而，函数在上单调递减；当时，若，则，从而，若，则，从而，函数在上单调递减，在上单调递增 （）根据（）函数的极值点是，若，则. 所以，即，由于，即令，则，可知为函数在内唯一的极小值点，也是最小值点， 故，故只要即可，故的取值范围是.【点睛】对于恒成立与存在性中求参数范围问题，如果参数容易分离，我们常彩分离参数法。如本题第（2）问。22已知函数。（）求函数的单调区间；（）若函数在上是减函数，求实数的取值范围。【答案】(1) 函数f(x)的单调递减区间是(0， )；单调递增区间是(，);(2) a.【解析】试题分析：（）先求出函数的导数，再通过讨论a的范围，从而求出其单调区间，（）由g(x)x22aln x得g(x)2x，建立新函数，求出其最小值，解出即可试题解析：（）函数f(x)的定义域为(0，).当a0时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)； 当a0时，f(x).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：x(0， )(，)f(x)0f(x)极小值由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0， )；单调递增区间是(，). （ ）由g(x)x22aln x，得g(x)2x，由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数，则g(x)0在1,2上恒成立，即2x0在1,2上恒成立即ax2在1,2上恒成立. 令，则h(x)2x(2x) ，所以h(x)在1,2上为减函数，h(x)minh(2)， 所以a. 23设函数，若曲线在各点处的切线斜率的最小值是，求： （1）的值；（2）函数的单调区间。【答案】(1) ；(2)增区间为，减区间为【解析】试题分析：(1)由导函数，即二次函数的性质得到实数a的方程，解方程可得；(2)结合(1)的结论得到函数的解析式，据此可得函数的增区间为，减区间为.试题解析：（1） 当时， 取得最小值，故，解得（正舍） （2）由（1）得， 增区间为，减区间为24已知函数， .（1）求函数的单调区间；（2）求证： ， 【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先对函数进行求导，再依据导函数值与函数单调性的关系解不等式；（2）先将不等式进行等价转化，再构造函数运用导数知识进行求解推证.解：（） （）显然时有，只需证时，由于 . 所以当时， .综上， 25已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若对成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先求出函数的定义域，求出函数的导函数，在定义域下，讨论， ，令导函数大于得到函数的递增区间，令导函数小于得到函数的递减区间；（2）利用分离参数将题意转化为，求出不等号右边对应函数的最大值即可.试题解析：（1）定义域为，当时， 在上是减函数，当时，由得，当时， ， 时， ， 在上是减函数，在上是增函数，综上，当时， 的单调减区间为，没有增区间，当时， 的单调增区间为，单调减区间为.（2）化为时， ，令，当时， ，在上是减函数， 即.点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增， 得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.26已知函数.(1)求时，求的单调区间；(2)讨论在定义域上的零点个数.【答案】(1)增区间是，单调递减区间是.(2)当时，函数没有零点，当或时函数有1个零点；当时函数有2个零点.【解析】试题分析：（1）将代入，求出函数的导数， ，得单调递增区间是，由，单调递减区间是；（2）通过讨论的范围，分别利用导数研究函数函数的单调性，求出函数的极值，从而得到的范围.试题解析：(1) 在定义域是， .当时， .当时， ，当时，由，所以单调递增区间是，单调递减区间是.(2).(i)当时， ， 在区间上单调递减，当时， ，当时， ，所以在区间上只有一个零点.(ii)当时， 恒成立，所以在区间上没有零点.(iii)当时，当时， ， 在区间上单调递增；当时， ， 在区间上单调递减，所以当时， 取极大值.当时，极大值，在区间上有1个零点.当时，极大值，在区间上没有零点.当时，极大值，当时， ，当时， ，所以在区间上有2个零点，综上所述，当时，函数没有零点，当或时函数有1个零点；当时函数有2个零点.27已知函数. （1）当，求的图象在点处的切线方程；（2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由于是在那点，所以求导可得（2）对f(x)求导，再求导，当时，所以对和分类讨论。试题解析：(1)当时， ，所以所求切线方程为.(2) ,令，则，当时， ，则单调递增， ，当时， ，在单调递增， 恒成立；当时，存在当，使，则在单调递减，在单调递增，则当时， ，不合题意，综上，则实数的取值范围为.点睛：函数与导数中恒成立与存在性问题，一般是转化成最值问题，常用的两种处理方法：（1）分离参数（2）带参求导，本题采用带参求导。28设函数（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若当时， ，求的取值范围【答案】（）;（）. 【解析】试题分析: (1)由已知条件求出,由点斜式求出切线方程; (2)构造函数 ,由 ,通过转化为证明 在 上为增函数,求出的范围.试题解析:（）当时， ，则，所以，又，所以曲线在处的切线方程为.，即. （）由得，而，所以，设函数，于是问题 转化为，对任意的恒成立. 注意到，所以若，则单调递增，从而.而，所以等价于，分离参数得，由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，于是. 当时，设，因为，又抛物线开口向上，所以函数有两个零点，设两个零点为，则，于是当时， ，故，所以单调递减，故，这与题设矛盾，不合题意.综上， 的取值范围是. 点睛:本题主要考查了导数的几何意义及恒成立问题转化为求函数的最小值,属于中档题.在(1)中,导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率,所以本题求切线方程是容易题;在(2)中,注意等价转化,转化为求函数在上为增函数,分离出参数,求 的最大值.得到的范围.29已知是定义在上的奇函数，且，若， ， 时，有.（1）证明在上是增函数；（2）解不等式；（3）若对任意， 恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）增函数；（2）；（3）或或【解析】试题分析：(1)利用增函数的定义结合函数的解析式进行证明即可；(2)结合函数的单调性和函数的定义域可得关于x的不等式组，求解不等式组可得不等式的解集为： ；(3)由恒成立的结合结合题意可得或或试题解析：（1）设，则， ，又 即 在上是增函数（2）在上是增函数 原不等式的解集为，（3）依题意得， 对任意， 恒成立在上是增函数对任意恒成立令，则或或，或或实数的取值范围为或或30设函数.（1）对于任意实数恒成立，求实数的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先求函数f（x）的导数，然后求出f（x）的最小值，使f（x）minm成立即可；（2）若欲使方程f（x）=0有且仅有一个实根，只需求出函数的极大值小于零，或求出函数的极小值大于零即可试题解析：（1）对于任意实数恒成立，恒成立，解得的最大值为.（2）当时，当时，当时， 当时，取极大值当时，取极小值又方程有且仅有一个实根，或解得或.实数的取值范围为.考点：函数恒成立问题；一元二次方程的根的分布与系数的关系31已知函数, （）讨论函数的单调性； （）当时, 恒成立,求实数的取值范围【答案】（）见解析;（）【解析】试题分析：（）对函数求导，利用导数与函数单调性的关系可求结果；（）将原不等式转化为，构造函数，利用导数与函数的关系，判断其单调性，求出其最小值，可得的范围试题解析：（） （1）当时，在单调递增 （2）当时，当时，单调递减； 当时，单调递增 （）当时， ，即 令 ， 令 ， 当时，单调递减；当时，单调递增 又，所以当时，即单调递减，当时， ，即单调递增 所以，所以 32已知,其中为自然对数的底数（1）若在处的切线的斜率为，求；（2）若有两个零点，求的取值范围【答案】（1）;（2）【解析】试题分析: （1）对函数求导,将代入即可求得斜率,进而求出a值;（2）有两个零点,可转化为有两个方程根,分离可得,构造函数，判断单调性与最值以及极限,画出图象,用y=a截取两个交点求出a的范围即可.试题解析:（1），（2）由，得记，则，递减；时，递增而时，时，故33设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）如果对所有的，都有，求的取值范围.【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增.（2）【解析】试题分析：（1）求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间；（2）不等式恒成立，可以变形为恒成立，因此只要求出的最大值，由最大值小于或等于0可得，也要可变形为，只要求得的最大值即可，这些最值可通过导数知识进行求解试题解析：（1）的定义域为， ，当时， ，当时， ，所以函数在上单调递减，在上单调递增.（2）法一：设，则，因为，所以.（i）当时， ， ，所以在上单调递减，而，所以对所有的， ，即；（ii）当时， ，若，则， 单调递增，而，所以当时， ，即；（iii）当时， ， ，所以在单调递增，而，所以对所有的， ，即；综上， 的取值范围是.法二：当时， ，令，则，令，则，当时， ，于是在上为减函数，从而，因此，于是在上为减函数，所以当时有最大值，故，即的取值范围是.点睛：由不等式恒成立求参数范围问题，一般常用分离参数的方法，转化为求函数的最值，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解最值，或者求解繁琐复杂时，可采用直接构造函数的方法34已知函数的最小值为0，其中，设.(1)求的值；(2)对任意恒成立，求实数的取值范围；(3)讨论方程在上根的个数.【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）求出函数的定义域，函数的导数，极值点，判断函数的单调性，求出函数的最小值，列出方程求解即可；（2）利用函数的单调性的定义，构造函数利用导函数的符号，求解即可；（3）推出，通过图象知时有一个根，时无根，或利用函数的最值判断求解即可.试题解析：（1）的定义域为，由，解得.当变化时，的变化情况如下表：因此，在处取得最小值，故由题意，所以.(2)由知对恒成立即是上的减函数.对恒成立，对恒成立(3)由题意知，又可求得时.在时单调递增. 时，时有一个根，时无根.点睛：本题主要考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，函数恒成立问题，根的存在性及根的个数判断等综合应用，考查分类讨论思想以及计算能力；由，得函数单调递增，得函数单调递减，故可求出函数的最小值；函数单调递减转化为恒成立，利用分离参数求出参数的范围；方程的根的个数即为对应函数的图象与轴交点的个数，利用单调性确定其大致图象即可.35设,.（）当时,求曲线在处的切线的方程;（）如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;（）如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，考查函数思想和转化思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，将代入得到解析式，求将代入得到切线的斜率，再将代入到中得到切点的纵坐标，利用点斜式求出切线方程；第二问，先将问题转化为，进一步转化为求函数的最大值和最小值问题，对求导，通过画表判断函数的单调性和极值，求出最值代入即可；第三问，结合第二问的结论，将问题转化为恒成立，进一步转化为恒成立，设出新函数，求的最大值，所以即可.试题解析：(1)当时,所以曲线在处的切线方程为; 2分(2)存在,使得成立等价于:,考察,递减极小值递增由上表可知:,所以满足条件的最大整数; 7分(3)当时,恒成立等价于恒成立,记，记，由于，所以在上递减，当时，时，即函数在区间上递增，在区间上递减，所以，所以.考点：1.利用导数求切线方程；2.利用导数求函数最值；3.利用导数判断函数的单调性和极值36函数 在 处取得极值（1）求 的单调区间；（2）若 在定义域内有两个不同的零点，求实数 的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（）求出函数的导数，计算f（1），求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；（）问题转化为f（x）=m+1在（0，+）内有两个不同的根，结合函数的图象求出m的范围即可试题解析：（1） ， ，解得 ，当 时， ，即 ，令 ，解得 ；令 ，解得 所以 在 处取得极小值， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 （2） 在 内有两个不同的零点，可转化为 在 内有两个不同的根，也可转化为 与 的图象有两个不同的交点，由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增， ，由题意得， 即 当 时， ；当 且 时， ；当 时，显然 （或者举例：当 ， ）如图，由图象可知， ，即 由 可得 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解37（）当时，求的单调区间；（）若时， 恒成立，求整数的最小值；【答案】（）递增区间为，递减区间为；（） 【解析】试题分析：（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）问题转化为恒成立，令，根据函数的单调性求出的最小值即可.试题解析：（）由题意可得的定义域为,当时， ,所以，由可得，所以或解得或；由可得，所以或，解得综上可知递增区间为，递减区间为，（）若时， 恒成立，则恒成立，因为，所以恒成立，即恒成立，令，则，因为，所以在上是减函数，且，所以在上为增函数，在上是减函数， 时， ， ，又因为，所以38已知函数（）.（1）若在点处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）求函数的单调区间；（3）讨论函数在区间上零点的个数.【答案】（1）（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：由 ，直线的斜率为，所以得出a值，（2）确定函数的单调区间 大于零或小于零解不等式即可注意当当， 时（3）由（2）可知，当时， 在上单调递增，而，故在上没有零点；当时， 在上单调递增，而，故在上有一个零点；只需讨论当时结合草图根据零点所在的区间逐一讨论即可试题解析：（1）由题可知的定义域为，因为，所以 又因为直线的斜率为，解得（2）由（1）知： ，当时， ，所以在上单调递增；当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减.综上所述：当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递增，在上单调递减.（3）由（2）可知，当时， 在上单调递增，而，故在上没有零点；