三维矢量的复指数形式坐标变换及其应用.doc

三维矢量的复指数形式坐标变换及其应用王智圣（济南市新技术研究所）摘要：本文提出三维矢量可以表示为如下形式：r=r（cos/cos）ei +j，探讨了应用该法表示矢量时的坐标变换方式和求导运算方法。该方法已应用于空间机构实例的运动分析。关键词：复数 三维矢量 坐标变换 空间机构0 前言 对于空间机构的运动分析，目前常用的方法是矩阵法。在应用这一方法时，为了进行坐标变换、必须做冗长的矩阵运算，这使得整个分析运算过程变得十分繁琐。 二维矢量可以表示为如下形式：r = rei 若坐标系绕原点旋转了角并沿某定矢量做了平移，则变换后的矢量可简洁地表示为：r1 = rei(+)- 若设法将三维矢量也表示为复指数形式，那么可以设想，这种表示法也应能够简化坐标变换的运算。本文试图导出这种表达形式，探讨其运算规律并应用于空间机构的运动分析。1 基本关系式 (1)基本规定 规定i2=j2=-1；ij=ji=0。并规定乘积iij和jij无意义。 (2)根据复数的基本原理1，若以实数1对应于X轴的单位矢量，以虚单位i记Y轴的单位矢量，则任何一个二维矢量对应一个确定的复数xyi。在以上原理的基础上，增添虚单位j记Z轴的单位矢量，构造复数Zxyizj，并规定：两个复数Z1与Z2仅当x1x2、y1y2、z1z2时相等；两个复数的和规定为Z1Z2(x1x2)(y1y2)i(z1z2)j。那么任何一个三维矢量r对应于一个确定的复数xyizj。 (3)如图1，以rxy和rzx分别表示r在xy平面及ZX平面的投影。角是rxy所在直线与x轴之夹角，角是rxy所在直线与r间之夹角。对和之正方向作如下规定。 (4)规定1 角始边是正向x轴，当对着z轴看时，以逆时针旋向为角正向。角始边是角的终边，当由角始边旋转至r时，以旋转中靠近或先经过正向Z轴的旋向为角正向。 (5)在坐标系Oxyz中，r可表示为：r=x+yi+zj =rxy(cos+isin)+zj利用基本规定中ij=0可将上式表示为： r=rxy(cos+isin)+zj +(zsin/cos)ij =rxy +(z/cos)j (cos +isim) =rxy+j(z/cos )ei =(1/cos)ei (rxycos+zj ) =(1/cos) ei(x+zj ) =rzx(cos +j sin )(1/cos)ei =rzx(1/cos)ei ei =rzx(1/cos)ei+j式中 rzx与正向x轴间的夹角 由图1可知：rzx=r(coscos/cos) 将此式代入前式得：r =r(cos/cos)ei+j (1) 该式即以复指数形式表示三维矢量的基本式子。 (6)将式(1)右边展开，并注意据基本规定ij=0：rcos/cos）ei+j=r(cos/cos)eiej=r(cos/cos)(cos+isin)(cos+jsin)=r(coscos+icossin+jcoscos tan)又据图1可推得：tan=tan/cos (2)将式(2)代入前式得：r =r(cos/cos)ei+j =rcoscos +icossin+jsin(3) 由式(3)可知，确定r的三个独立变量是r、和，而是非独立变量。2 坐标变换 (1)规定2 当坐标系OXYZ绕on轴（on在XY平面内且过原点）旋转时，若使矢量r之角增大，则称坐标系OXYZ关于r绕on轴作了正向旋转。当坐标系OXYZ绕OZ轴旋转时，若使矢量r之角增大，则称坐标系OXYZ关于r绕OZ轴作了正向旋转。 (2)本文将“坐标系OXYZ绕某轴OS正向旋转了角成为坐标系OX1Y1Z1”记为：OXYZ(OS)OX1Y1Z1；若是反向旋转，则记为：OXYZ（OS）OX1Y1Z1。将“坐标系OXYZ沿矢量OO1平移后成为坐标系O1X1Y1Z1”记为：OXYZOX1Y1Z1。 (3)如图1，ON轴在XY平面内过原点且垂直于r。在关于r，OXYZ(ON)OX1Y1Z1时，角不变，将变换后的值记为1，则由(1)式可知，r在新坐标系中应表示为：r1=rcos(+)/cos1ei+j1 (4) (4)在关于r，OXYZ(OZ)OX1Y1Z1时，角不变，由(1)式可知，r在新坐标系中应表示为：r1=r(cos/cos1)ei(+)+j1 (5) (5)如图2，平面P含OZ轴，平面P在O点的法线为on，r是平面P外一矢量。讨论关于r，OXYZ(on)pOX1Y1Z1的情况： 将r分解为：r=rP+rn式中的rP在平面P内，而rnon。 在本节的坐标变换中，rn之表达式不发生变化。令P为rP在XY平面的投影与X轴间之夹角，P为rP与XY平面之夹角，则由式(1)及图2可得：rP=rP(cosP/cosP)eiP+jPrP=r1-cos2sin2(-P)0.5 (6)P=arcsinsin/1-cos2sin2(-P )0.5 (7)rn=rn(cos0/cos0)ei(/2)+P+jorn=rcossin(-P)(8) rP的变化可用式(4)描述，因此r在新坐标系中应表示为：rp=rPcos(P +P)/cosP1eiP+j P1+rn(cos0/cos0)ei( /2 )+P+jo (9) (6)在关于r，OXYZ(OX)POX1Y1Z1时，如图2，由(6)、(7)、(8)、(9)式可得r在坐标系中的表达式：r1=rPcos(P+P)/cosP1eiP +j P1+rn(cos0/cos0)ei (/2 ) +P+ j o P=/2或3/2(视rP之取向定) rP=r(1-cos2cos2)0.5 ,(10)P =arcsinsin/(1-cos2cos2)0.5rn=rcoscos(P=/2时取负号) (7)在关于r，OXYZ（OY）POX1Y1Z1时，如图2，由式(6)(9)可得r在新坐标系中的表达式：r1=rPcos(P+P)/cosP1eiP +jP1+rn(cos0/cos0)ei(/2 )+P + j oP=0或(视rP之取向定) rP =r(1-cos2sin2 )0.5,(11)P=arcsinsin /(1-cos2sin2)0.5rn=rcossin(P=时取负号) (8)如图3,坐标系OX2Y2Z2与坐标系OXYZ共原点，由OXYZ到OX2Y2Z2的变换可如此得到： 关于r:OXYZ(on)POX1Y1Z1(OZ1)OX2Y2Z2式中的on垂直于OZ轴和OZ2轴所在的平面P；角P是OZ轴与OZ2轴间之夹角；OZ1轴与OZ2轴重合；角是OX1轴与OX2轴间之夹角。 r在新坐标系中的表达式可由式(9)和式(5)推得：r2=rPcos(P +P)/cosP2ei( P+ )+jP2+rn(cos0/cos0)ei( / 2)+P + +jo(12) 若确定OXYZ与OX2Y2Z2间相对位置关系的已知量为P、P和x2（x2是OX2轴在XY平面的投影与OX轴之夹角），则式(12)中的rP、P和rn可分别由式(6)(8)确定。而可据图3由简单的几何关系导出下式求得：=arctantan(P -x2 )cosP-P (P/2)(13) OO1 (9)若OXYZO1X1Y1Z1，则r在新坐标系中应表示为：r1=r-001(14) (10)综观以上各节可知：在进行坐标系旋转变换时，在式(1)中仅方括号内的和发生了相应变化，而方括号外的部分（r之模）并未发生变化。为了明确(1)式中参与坐标变换的部分，特作规定如下： 规定3 称式(1)方括号内的部分为标准核。规定标准核必须写成式(1)所示标准形式，不得进行化简或其它运算，且必须写在括号内。3 求导数运算 由ei(+/2)+j=iei+j和ei+j(+/2)=jei+j两式可以推知如下两式成立： iei+j=ei(+/2)+j (15a)jei+j=ei+j(+/2) (15b) 但如下运算是不合理的：iei+j=i(coscos+isincos+jcossin+ijsinsin)=icoscos+i2sincos+ijcossin+iijsinsin (16a)jei+j=j(coscos+isincos+jcossin+ijsinsin)=jcoscos+ijsincos+j2cossin+jijsinsin (16b)这是因为运算中出现了无意义项iij和jij(按基本规定)。为此作出规定如下： 规定4 规定不采用式(16a)、(16b)的运算而采用式(15a)、(15b)的运算。 由幂函数求导数法则及式(15a)、(15b)可求得: . .(d/dt)(ei+j)=iei+j+jei+j =ei(+/2)+j+ei+j(+/2) 由此可导出以下式子：(d/dt)(r)=(d/dt)r(cos/cos)ei+j +r(cos/cos)ei(+/2)+j +r (cos/cos)ei+j(+/2)(17)(d2/dt2)(r)=(d2/dt2)r(cos/cos)-r(cos/cos)(2+2)ei+j+2(d/dt)r(cos/cos)+r(cos/cos)ei(+/2)+j+2(d/dt)r(cos/cos)+r(cos/cos)ei+j(+/2)+2r(cos/cos) ei(+/2)+j(+/2) (18) 为了便于坐标变换，应将上两式化为标准形式，因篇幅有限,此处从略。4 实例 图4所示实例来源于文献2，这是一个RRPRR机械手。已知其结构参数为OA=S0、AB=h、CP=r、OAN=NAB=ABC=90，给定五个独立变量：2、3、4、5和BC=S。求手部夹持器的形心P在固定坐标系OX0Y0Z0中之坐标x、y、z。 如图4，在机械手上建立四个运动坐标系：OX1Y1Z1、CX3Y3Z3、CX4Y4Z4、CX5Y5Z5；另外在C点处建立两个辅助坐标系：CX1Y1Z1和CX2Y2Z2(图中未示出)，其坐标轴分别与OX0Y0Z0和OX1Y1Z1的对应坐标轴平行且同向。所求问题可通过五次坐标变换求得： 关于CP，CX5Y5Z5(CY5)5CX4Y4Z4(CX4)4C CO X3Y3Z3(CY3)3CX2Y2Z2(CZ2)2CX1Y1Z1OX0Y0Z0。 令CP=r5，在坐标系CX5Y5Z5中r5可表示为：r5=r(cos0/cos0)eio+jo经“关于r5，CX5Y5Z5(CY5)5CX4Y4Z4”后，r5r4，应用(4)式得：r4=r（cos5/cos4）eio+j4经“关于r4，CX4Y4Z4(CX4)4CX3Y3Z3”后，r4r3，应用(10)式得： r3=rp3cos(p3+4)/cosp3ei/2+jp3+ rn3(cos0/cos0)ei+jo rp3=r(1-cos25 cos20)0.5=rsin5 (50时取负值) p3=arcsinsin5/(1-cos25 cos20)0.5=/2， (50时取负值) rn3=-rcos5经“关于r3，CX3Y3Z3(CY3)3CX2Y2Z2”后，r3r2，应用(11)式得： r2=rp21cos(p21+3)/cosp21ei0+jp21+ rn21(cos0/cos0)ei/2+jo+rp22cos（p22-3)/ cosp22ei0+jp22+rn22(cos0/cos0)ei3/2+jo rp21=rsin51-cos2(/2+4)sin2/20.5= rsin5 cos4 ,(50时取负值) p21=arcsin（sin(/2+4)/1-cos2(/2+4) sin2/2 0.5=/2,(50时取负值)rn21=rsin5cos(/2+4)sin/2=-rsin5sin4rp22=-rsin5 sin(1-cos20sin)0.5=-rcos5p22=arcsinsin0/(1-cos20sin2)0.5=0,rn22= -rcos5 cos0sin=0经“关于r2，CX2Y2Z2(CZ2)2C&X1Y1Z1”后，r2r1，应用(5)式得： r1=rp21cos(p21+3)/cosp21ei2+jp21+ rn 21(cos0/cos0)ei(/2+2)+jo+rp 22cos(-3)/ cosp22ei(+2)+jp22 CO经“CX1Y1Z1OX0Y0Z0”后，r1r，应用(14)式并注意CO=CB+BA+AO可得： r=r1-Scos(-3)/cosCBei(+2)+jCB- hcos(-/2+3)/cosBAei2+jBA- S0cos(-/2)/cosAOeij+jAO(注意：AO之=-/2，此时可为任意值，此处以j记之)。 将上式按(3)式展开即得： x=r(-sin5 cos4 sin3 cos2+sin5 sin4 sin2 +cos5 cos3 cos2)+ Scos3 cos2-hsin3 cos2 y=r(-sin5 cos4 sin3 sin2-sin5 sin4 cos2+cos5 cos3 sin2)+ Scos3 sin2-hsin3 sin2 z=r(sin5 cos4 cos3+cos5 sin3)+ Ssin3+hcos3 +S0 利用(17)式求dr/dt即可求得形心P的运动速度。该运算过程本文从略。 文献2在求解本例中P点的坐标时，用到了五个四阶矩阵的连乘，其运算过程十分繁琐。采用本文的方法求解时，只做了几步简单的代换便求得了结果。另外，在应用文献2的方法求P点的运动速度时，必须先对每一个矩阵的各元素分别求导，然后再做冗长的矩阵连乘才能得解。而采用本文方法计算时，可以直接对矢量求导而获得结果。6 结论 通过上文的论述和在实例中的运用可以得知：本文提出的以复指数形式表示三维矢量的方法为空间机构的运动分析提供了一种有效且便捷的工具。参 考 文 献1 B.N.斯米尔诺夫著.高等数学教程.北京:人 民教育出版社,19582 张启先.空间机构的分析与综合.北京:机械工业出版社,1984THE COMPLEX INDEX NU