构造法在高等数学解题中的应用 论文.doc

构造法在高等数学解题中的应用摘要: 高等数学中存在着大量等式与不等式的证明，借助适当地构造辅助函数和二次型等方法来解题是一种行之有效的方法.介绍某些等式和不等式中的构造方法.关键词:构造法；多项式；二次型；辅助函数；等式；不等式Structure method solve problem in the higher mathematics XIE Chu-mingmathematics and information institute，Chinawest normal university ，Nanchong 637002，China.Abstract：In the higher mathematics has the massive equalities and the inequality proof, with the aid of the methods of the structure assistance function and two times and so on comes the problem solving is suitably one effective method.Introduces structure method in certain equalities and the inequality. Key word: Structure law; Multinomial; Two times; Auxiliary function; Equality; Inequality解数学题时，依据问题的条件和结论的特点，通过逆向分析，综合应用数学基本概念和原理，经过深入的思考，缜密的观察和广泛的联想，制做出一个特殊的构造从而把陌生的问题转化成熟悉的问题，达到解题的目的，这种解决问题的方法叫构造法.1 构造多项式法例1 设多项式，证明：（c是任意常数）.证明 由已知得.再用数学归纳法有 ,构造多项式 ,则对一切自然数n , ，即多项式 有无数多个不同的根,所以即.令,就得证毕.例2 解关于的方程组解 此题若用线性方程组的求解比较麻烦，我们观察方程组中的每一个方程可以看出是多项式的根，这里我们构造了一个 多项式 . 因为多项式是三次多项式,所以是的全部根，由多项式根与系数的关系得： ,即原方程组的解为： 从以上两例可知，构造多项式法解题的过程是有已知条件或待证（求）结论进行联想，看问题与哪个多项式有关，设法构造这个多项式，然后根据多项式的性质证（求）得结论.2 构造二次型法例3 设（i=1，2,，m；j=1，2，n）是mn个实数，证明： 证明 构造二次型 =.显然是半正定的，而D正好是的行列式.因为D0，证毕.证明不等式的方法很多，其中借助二次型的性质证明不等式也是一种重要的思想途 径从上例可以看出构造二次型的过程是分析待证的不等式与哪个二 次型有关，在这个基础上准确构造出这个二次型，并根据二次型的正定（负定）性质证明不等式. 3 构造函数法例4 设f(x)在 a，b 上是连续的，在（a，b）内可导，则在（a，b）内存在一点，使得2=（-）.分析 将结论中的换成x,即证方程2x=（-）在（a，b）至少有一个根,只需证=0.证明 设辅助函数.易知函数在a，b上连续，在（a，b）内可导且满足,故由罗尔中值定理可得结论成立.例5 设在a，b上连续，在（a，b）内可微， 在内存在一点,使得.分析 将结论中的改为，即证,联想导数的运算法则和性质可知:.证明 构造辅助函数.则 .因在a，b上连续，在（a，b）内可微，且, 故由罗尔定理可知:在（a，b）内存在一点，但所以有.例6 设在 a，b 上是连续的，证明:至少有一个，使得. 分析 若，则再往下就困难了，若令.对上式两边直接积分是有点困难，于是，倒过来看是由哪个原函数求导得到的呢？经 过认真细致的思考，得到，不难验证该函数在 a，b 上是满足罗尔定理.证明 作辅助函数.由于在a，b 上是连续的，所以在a，b上也是连续的,且在（a，b）内可导，并且,由罗尔定理有，.即 .于是 .注 在本题的分析中,而求 是凭经验及试探“凑”的方法寻找的现在用积分方法求.（舍去任意常数）.例7 设在a，b上是连续的，且，试证:至少存在一个，使.分析 由有.把换成, 令 .令 . . 证明 令辅助函数:,在a，b上是连续的,且在（a，b）内是可导的.由罗尔定理有，在（a，b）内至少存在一个 使 ,故.例8 设在上是连续且单调增加的，试证对任何,皆有.分析 把上式中的换成，把原式中的换成，移项得.令 .证明 令. 则 . 是增函数 即 .例9 设是区间0，1上的任意非负连续函数，试证:存在,使得在区间0，上以为高的矩形面积等于在区间上以为曲边梯形面积； 又设在区间（0，1）内可导，且，证明中的是唯一的.分析 由题意得，即证存在使,将 换成，即证方程在（0，1）内有根，记.于是上式成为,是一阶线性微分方程.构造函数 .证明 令.则 ，, 由罗尔定理知,存在,使即得.如果存及，使,则由罗尔定理知存在使，但矛盾，所以是唯一，证毕.注 的证明也可用上例的方法，直接令,再用零点定理证明，但,因此不能作为右边用，于是右端点的选取就非常关键了，为使,任取,若在上，则内任意一点都可以作为题中所要求的，否则，可设为在上取得最大值的点，显然，,于是有再由零点定理，可得，.例10 试证：时，.分析 欲证明不等式成立，只需证,若令 .则上式即证时，由化归思想可知，即证为单调递增的函数，从而可用函数的导数来判断单调性.证明 令,则 .当时显然,所以为单调递增函数，从而时，,即时，.注 用函数的单调性证明不等式时往往先移项变形，再令不为零的一侧的表达为函数，然后考察的导数符号.例11 当时及，有.证明 设.由于不等式右边是一个常数,所以如果能证明是在（0，a）内的唯一极大值则问题可解决. 设,令,则可得在（0，a）内的唯一驻点，把驻点代如中可得到:.，也就是证明是在（0，a）内的唯一极大点，即最大点.所以,即.注 如果所证不等式具有或形式，为实数，则只要证明 是具有唯一的极值，即可证明不等式.参考文献：1 其其格 .构造法在解题中的应用J. 昭乌达蒙师专学报（自然科学版），2006，6：P9-10.2 黄裕建 .构造函数证明不等式的方法J. 郑州工业学院学报，2006，5.3 王建平 、 李艳华、张香伟.构造辅助函数法在高等数学中的应用J.河南教育学院（自然科学版），2004，3：P12-14.4 戴红兵 .等式， 不等式证明中辅助函数的构造方法J.思茅师范高等专科学校学报2006，6：P60-64.5 华东师范大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社 2001.6 同济大学教学教研室.高等数学（五版）M