刚体的转动课后习题答案.doc

第五章 刚体的转动5-1 在图5-21中，一钢缆绕过半径为0.4 m的定滑轮吊着一个升降机，钢缆不打滑. 假设升降机以0.5 m/s2的加速度向上提升.（1）求滑轮的角加速度.（2）如果滑轮转三周，问从静止开始的加速运动持续了多长时间？（3）求当t=2 s时，轮缘上一点的瞬时加速度（切向和法向加速度）.解：（1）由于钢缆与滑轮间无相对滑动，轮缘上各点的切向加速度与升降机的加速度相同，即 =0.5m/s2, （2）由于滑轮作匀角加速运动，角位移 已知 ，且，故（3）由，可知，法向加速度t=2s时， 又 ，总加速度为 为总加速度与法线方向的夹角. 5-2 轮A半径rA=15cm，轮B半径rB=30cm，两轮通过一皮带耦合，如图5-22所示. 轮A从静止开始以恒定的角加速度1.2rad/s2转动，问从开始运动30s后轮B的转速（）是多大？假定皮带不打滑.解：由于皮带与两个轮的轮缘间无相对滑动，所以两轮轮缘上各点的切向加速度相等，设等于，两轮的角加速度分别为和，由角量与线量的关系有 时而 ，故 5-3 一匀质园盘从静止开始以恒定的角加速度绕过盘心的竖直轴转动，某一时刻的转速为10rev/s.再转100转后，转速达20rev/s. 试求（1）园盘的角加速度；（2）从静止到转速为15rev/s所需的时间；（3）在第（2）向的过程中园盘转了多少圈？解：（1）由匀角加速运动的规律可知角加速度（2）所需时间 （3）由 ， 及 5-4 6个质量均为m的粒子与6根长度均为d的轻杆组成一个正6边形的刚体，如图5-23所示. 计算该刚体关于如下转轴的转动惯量：（1）转轴通过任意相邻的粒子；（2）转轴通过任意粒子且与6边形的平面垂直.解：这是质量呈分立分布的刚体，由转动惯量的定义 其中为到转轴的垂距，可计算如下：（1） （2） 解5-4图5-5 三根长度均为l的细杆组成一个等边三角形刚体ABC如图5-24所示. 计算其关于中线的转动惯量. 假定杆的单位长度质量为.解： 已知BC关于图中转轴的转动惯量为而 ，其中 解5-5图5-6 一个半径为R的匀质半园环的质量为m，计算其关于如图5-25中所示的轴的转动惯量.解：这是质量连续分布的刚体，取如图质元 与转轴的垂距 解5-6图5-7 在图5-26中，一匀质园盘安装在固定的水平轴上，园盘半径R=20cm，质量M=3kg.园盘边缘上绕着轻绳，轻绳下端悬挂着一个质量m=1.0kg的物体.（1）求物体下落的加速度，园盘的角加速度以及绳中的张力；（2）物体下落3m所需的时间.解：（1）忽略轴处可能存在的摩擦，盘受的合外力矩M=TR，对园盘用转动定理，对物体用牛顿第二定律，并注意到物体下落的加速及，列方程组如下 联立 解5-7图解得 角加速度张力 （2）由题意知，物体从静止下落，由于a为恒量，由可得所求时间为5-8 唱机的转盘由电机驱动，转盘以恒定的角加速度在2.0秒内从零加速到. 均质转盘质量为1.5kg，半径1.2cm. 为驱动转盘所需的关于转轴的力矩多少？如果驱动轮的外缘与转盘相接触，如图5-27所示. 求驱动轮必须施予转盘的法向力是多大？假定两轮间的摩擦系数.解：由题意可知角速度角加速度 转动惯量 解5-8图由转动定理可得驱动转盘所需的力矩为产生这个力矩的力必在切向，如图所示由切向力与正压力（沿法向指向园心）的关系知驱动轮必须施予转盘的法向力5-9 两个质量为m的物体悬挂在一刚性轻杆两端，杆长为l1+l2，其中l2=3l1，如图5-28所示，初始时使杆处于水平位置，杆与物体保持静止，然后释放. 求两个物体刚开始运动时的加速度.解：如图设轻杆两端的轻绳中张力分别为T1和T2，刚开始运动的瞬间两物体的加速度分别为a1和a2，由转动定理和牛顿第二定律，列方程组如下：（轻杆转动惯量I0） 从得 解5-9图将代入得 将和代入化简得 5-10 一长度为L的匀质细杆最初垂直地立在地板上，如图5-29所示. 如果此杆倾倒，试求杆撞击地板时的角速度是多大？假定杆与地板的接触端不发生滑动. 解：设杆的质量为m，则其对O轴的转动惯量，重力到O轴的垂距为，故重力对O的力矩为 沿顺时针方向，由转动定理我们有 又 ，即分离变量积分可得 解5-10图将杆倒地时的代入上式，得 5-11 图5-30表示飞轮的制动装置包括一个制动杆和一个制动靴. 飞轮质量为50 kg，半径为0.5 m，以1200 rev/min的速率旋转. 当给制动杆末端施加100N的制动力时，使飞轮停止转动所需多长时间？设飞轮与制动靴之间的摩擦系数. 解：本题涉及两个刚体，一个是飞轮，另一个是制动杆，由题意知，合外力矩使飞轮产生角加速而制动，而作用在杆上的力矩则保持平衡，设杆受到的正压力为N，轮受到的正压力为N，根据转动定理M= I，我们有摩擦力对飞轮的定轴O，的力矩对制动杆的定轴A，和的力矩平衡由得 解5-11图又由可得将N=250 N，m=50 kg代入及中可得由于为恒量，可由匀角加速运动公式 ，即其中，将已知 代入上式可得5-12 一个倾角为的光滑斜面上安装着转动惯量为I的定滑轮，斜面上质量为m1的物体系在一绕在轮轴上的轻绳的一端，另一质量为m2的物体则由缠绕在轮缘上的另一轻绳悬挂着，当m2下降时，m1则被拉上斜面，如图5-31所示.定滑轮的半径为R=0.3m而其轴的半径为r=0.1m.试计算滑轮的角加速度 解：在图中标出了m1，m2和滑轮的受力情况，其中T1、T2分别为两轻绳中的张力，对轮及两质点分别应用转动定理和牛顿第二定律，可列如下方程解5-12图，由及可得由及可得将、代入得整理为解得将，及代入上式，得5-13 计算习题5-8中，力矩在加速过程中所作的功和平均功率.解：由转动动能定理，可得力矩的功为平均功率5-14 一蒸汽机飞轮的质量为200kg，半径为1m，如果当转速达150rev/min时阀门被关闭，设作用于飞轮轴处的平均摩擦力矩是5m.N，计算（1）飞轮停止转动前力矩所作的功；（2）关闭阀门后经多长时间飞轮即可停止转动.解：（1）关闭阀门时飞轮的角速度为由转动动能定理，其中，得飞轮停止转动前摩擦力矩作的功：（2）由于力矩是恒定的，平均角加速度也是恒定的，故有， 其中 则有5-15 试用转动动能定理再解习题5-10.解：根据转动动能定理和力矩的功的定义 在解5-10图中，重力对水平轴O的力矩为，则有当杆的角位置为时，重力矩的功此时角速度为即可得当杆倒地时，代入上式可得由角加速度当 时. 5-16 在图5-32中，长为1.0 m的匀质杆最初静止于竖直位置，然后杆的下端获得一初始线速度，使得杆绕水平固定轴O开始旋转. 试求为使杆至少完成一周的旋转，的最小值是多大？ 解：当杆通过的角位置时角速度，即可至少完成一周的旋转，设这过程中重力作的功为W，即而重力的元功将及，代入可得解5-16图5-17 明渠中的流水驱动着水车的叶轮，叶轮半径2.0m，如图5-33所示. 水流到达叶轮的速度是6.0m/s，离开叶轮的速度是3.0m/s，水流量为每秒300kg.（1）水流作用于叶轮的力矩有多大？（2）如果叶轮边缘的速度是3m/s，传送给叶轮的功率是多大？解：（1）考虑水的一个小质元dm沿切向速度以1冲向水平的叶片，离开时速率减为2，该质元对水车中心的角动量增量为，这是因为叶片的反作用力矩所致，由合外力矩与角动量对时间变化率的关系，可知 其中是每单位时间流经水车的水质量，即水的流量. 由作用反作用定律，水作用在水轮机叶片上的力矩为 （2）水流传递给叶轮的功率为 5-18 一个人坐在可绕竖直轴自由转动的转椅上，开始时，人静止地坐在转椅上，用手握住一转盘的中心轴，转盘以4rev/s的角速度旋转，其转轴在竖直位置，角动量的方向向上，如图5-34所示. 如果此人将转盘的轴倒置会发生什么现象？假定轮盘对其中心轴的转动惯量是1kg.m2.解：由于系统是孤立的，对竖直轴的外力矩为零，所以系统对该轴的总角动量守恒.常量人将转盘轴倒置后，转盘的角动量变为，设在相互作用过程中，系统获得的角动量为L，则后来的总角动量为L-Li，由于系统总角动量守恒，即从而L=2Li设系统对转椅轴共同的角速度为，则有即人将转盘轴倒置后，整个系统将绕转椅的竖直轴以角速度旋转 其中转盘的初角动量，.5-19 一质量为M，半径为R的匀质园盘以角速度绕过其中心的竖直轴旋转，如果盘缘质量为的一小块破裂并飞离园盘，如图5-35所示，（1）园盘的角动量在边缘破损后变成多大？（2）小块被抛出多远？假定园盘与地面的距离为h.解：在盘缘破损过程中，对轴的合外力矩为零，故总角动量守恒常量设盘后来的转动惯量为I，角速度为，则有即园盘的角动量变为 （2）小块作平抛运动 ，故被抛出的水平距离为5-20 一质量为M，半径为R的匀质园台，可以绕过中心的竖直轴无摩擦地旋转.假定初始时一个人静止地站在台边缘处，然后沿园台边缘行走.(1)如果此人步行一周回到台面的初始位置，园台将转过多大角度？（2）如果此人回到相对于地面的初始位置，园台又将转过多大角度？ 解：运动过程中对竖直轴的合外力矩M=0， 系统总角动量守恒常量.（1）园台将沿相反方向相对地面旋转，设任意时刻人、台对地面的角速度分别为和，任意时刻有又设人对台的相对角速度为，由速度合成定理将代入得解得设H为台对地的角坐标，为人对台的角坐标，则，将代入，两边积分得台转过的角度（2）设人对地的角坐标为，则有人对地的角速度，将 和代入式，得对两边积分得这次台对地转过的角度为显然，第二种情况园台转过的角度大些.5-21 两个飞轮A和B可以通过轮轴上的摩擦离合器连接或分离，如图5-36所示.当两轮分离时，B轮静止，而