二次函数y=ax2的图像和性质

26.2 二次函数的图象与性质1.二次函数y=ax2的图象与性质教学目标【知识技能】1.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念. 2.掌握二次函数y=ax2的图象和性质.【数学思考与问题解决】通过数形结合进一步理解二次函数的性质.【情感态度】1.在画图、观察、比较等探究活动中，形成良好的思维习惯和学习方法. 2.在探究二次函数y=ax2的性质活动中，体会通过探究发现问题的乐趣. 【重点难点】重点：二次函数y=ax2的图象和由图象概括的二次函数y=ax2的性质. 难点：二次函数y=ax2性质的应用. 教学过程一、复习引入1.前面我们研究了一些具体的函数，根据你的经验，学习了二次函数的概念后，接着要研究什么问题? 2.想一想，一次函数的性质是怎样研究的? (先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)3.我们能否类比一次函数的性质来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，即先研究二次函数的图象)4.一次函数的图象是什么?二次函数的图象是什么? (由此引出课题)二、问题探究问题1 画二次函数y=x2的图象. 请用描点法画出函数y=x2的图象.(学生画出) 说明和建议： 1.在画图象前，可引导学生复习用描点法画函数图象. 2.观察函数y=x2的自变量x的取值范围.引导学生回忆前面学过的内容，列表时如何合理选值?以什么数为中心? 3.列表时应注意描点的方便，可告诉学生x取整数，可以以1为间距取值. 4.列表时应注意到x取相反数时，y的值相同，这样列表就可简捷一些，连线前要观察所描点的位置，它们不在一条直线上，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或按自变量从大到小的顺序连结. 5.要引导学生讨论：这样画出的函数y=x2的图象是实际图象的一部分，还是它的全部?所画函数图象是准确的，还是近似的? 6.在学生画完的基础上，教师板演画函数y=x2的图象.解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：x-3-2-10123y9410149(2)在平面直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点. (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=ax2的图象，如右图所示. 问题2 请观察y=x2的图象，它有什么特点?说明和建议： 1.这个问题具有开放性，不同层次的学生可总结概括出不同的结论. 2.让学生观察、思考、讨论、交流，总结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点.教师在学生发言的基础上，借助上面所画的图象，指出有关概念：抛物线的对称轴、开口方向、顶点坐标等.归纳：二次函数y=x2的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线，它的开口向上，对称轴是y轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，抛物线y=ax2的顶点是原点. 问题3 (1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你发现有什么共同点?又有什么区别? (2)在同一直角坐标系中，画出函数y=2ax2与y=-2ax2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么? (3)将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么? 说明与建议： 对于(1)，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点.两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论、交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=ax2的图象开口向上，函数y=-ax2的图象开口向下. 对于(2)，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点教师可引导学生类比(1)得出. 对于(3)，教师可引导学生从(1)的共同点和(2)的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它们的顶点坐标都是(0，0). 在学生交流的基础上，教师展示图象并归纳. 函数y=ax2(a0)的图象是一条_，它关于_对称，它的顶点坐标是_.思考：如果要更细致地研究函数y=ax2(a0)图象的特点和性质，应如何分类?为什么? 让学生观察y=x2、y=2x2的图象，填空： 当a0时，抛物线y=ax2开口_.在对称轴的左边，曲线自左向右_；在对称轴的右边，曲线自左向右_._是抛物线上位置最低的点. 问题4 观察图象，y随x的变化如何变化? 说明与建议： 可让学生观察y=ax2、y=2ax2的图象，填空： 当x0时，函数值y随x的增大而_；当x=_时，函数y=ax2(a0)取得最小值，最小值y=_.以上结论就是当a0时，函数y=ax2的性质. 思考以下问题： 观察函数y=-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a0时，抛物线y=ax2有什么特点?当a0时，函数y=ax2具有哪些性质? 让学生思考、讨论、交流，达成共识，当a0时，抛物线y=ax2开口向下.在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降.顶点是抛物线上位置最高的点.图象的这些特点，反映了当a0时，函数y=ax2的性质：当x0时，函数值y，随x的增大而减小；当x=0时，函数y=ax2取得最大值，最大值y=0. 三、巩固练习基础练习1.教材第7页练习第1、2、3题. 2.二次函数y=x2图象的顶点坐标是_，对称轴是_，图象在x轴的_(顶点除外)，开口向_，当x_时，y随着x的增大而减小，当x_时，y随着x的增大而增大. 3.观察函数y=x2的图象，则下列说法中正确的是( ) A.若a，b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等B.对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应C.对任一个实数y，有两个x和它对应D.对任意实数x，都有y04.在函数y=ax2中，当ax20时，必有y10时，函数值y随x的增大而增大，则k=_.板书设计： 26.2.1二次函数y=a