伴随矩阵新求法1.doc

漳州师范学院毕业论文浅谈伴随矩阵的求法 Some calculation methods of adjoint matrix姓 名： 徐平坤 学 号： 080402124 系 别： 数学与信息科学系 专 业： 信息与计算科学 年 级： 08级 指导教师： 宋子婷 2012年1月4日摘要本文介绍了伴随矩阵的一些性质和伴随矩阵的两种求法，并给出了一些特殊矩阵的伴随矩阵。关键词：伴随矩阵；可逆矩阵；特殊矩阵AbstractThis paper introduces some properties of the adjoint matrix and two kinds of calculation mathods of adjoint matrix here, and gives some special matrixess adjiont matrix.Key words: adjiont matrix；invetrible matrix；special matrixI目 录 中英文摘要（I） 1引言(1)2 伴随矩阵的定义及其性质（1） 2.1伴随矩阵的定义（1）2.2伴随矩阵的性质（1）3 伴随矩阵的求法（2） 3.1随矩阵的定义求法（2）3.2可逆矩阵的伴随矩阵的另一种求法（2）4 一些特殊矩阵的伴随矩阵（4） 4.1对角矩阵的伴随矩阵（4） 4.2上三角矩阵的伴随矩阵（4） 4.3对角分块矩阵的伴随矩阵（5）5 参考文献（7）6 致谢（8）1引言伴随矩阵作为矩阵知识的一部分，怎样求得伴随矩阵的方法才是最简单正确的求法一直是人们研究伴随矩阵的内容之一。本文讲述了伴随矩阵的一些性质以及伴随矩阵的求法。我们经常用定义的方法来求矩阵的伴随矩阵，但是这种伴随矩阵求法要计算出个阶行列式。当取值比较大时，计算将是非常繁琐的。在这里给出了求可逆矩阵的伴随矩阵的方法，这种方法运用到了矩阵的一些性质以及初等变换。这种方法针对的都是可逆矩阵，具有一定的限制性。但是这种方法与用定义求伴随矩阵来说计算量相对比较小。所以当我们遇到可逆矩阵时可以用这种方法来求其伴随矩阵。2.伴随矩阵的定义及其性质 2.1伴随矩阵的定义定义1在行列式中划去元素的第行和第列，剩下的个元素按原来的排法构成一个级的行列式成为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式.定义2 设为阶方阵，设是行列式中元素a的代数余子式，则矩阵称为的伴随矩阵。2.2 伴随矩阵的性质性质1 性质2 可逆当且仅当可逆性质3 若可逆时，性质4 性质5 若可逆时，则性质6 ，性质7 3伴随矩阵的求法3.1伴随矩阵的定义求法为阶方阵的每个元素a的代数余子式，例子如下：例1矩阵求矩阵的,求矩阵的伴随矩阵,解：由矩阵可得,， ,因为,于是可得的伴随矩阵3.2伴随矩阵的另一种求法 由矩阵的初等变换理论可知，若阶方阵可逆，则可通过对其初等行变换求,即,据此可有下面定理。定理1 设为阶可逆方阵，作的矩阵，用初等行变换将它的左边一半化成，则右边一半就是.证明 由初等行变换理论可知，若可逆，则有又 因此 结论成立。现在用此定理计算例1：解： ,故可逆。由定理1可知得出的结果与用定义求得结果相同，进一步的证明了定理1的正确性。通过两种方法的对比，我们可以看出定理1方法比定义求法来的简便。4一些特殊矩阵的伴随矩阵4.1对角矩阵的伴随矩阵性质：对角矩阵的伴随矩阵也是对角矩阵即设，,为的伴随矩阵（）则，其中是的行列式，下面举例验证这一性质.例2 求对角矩阵的伴随矩阵解:，故可逆。由定理1可知对角矩阵的伴随矩阵，由此可知对角矩阵的伴随矩阵还是对角矩阵4.2上三角矩阵的伴随矩阵性质:上三角矩阵的伴随矩阵也是上三角矩阵即设，则.下面举例验证这一性质.例3 上三角矩阵的伴随矩阵.解： ，故可逆则由定理1可知，由此可知上三角可逆矩阵的伴随矩阵也是上三角矩阵4.3对角分块矩阵的伴随矩阵性质：对角分块矩阵的伴随矩阵也是对角分块矩阵即设,为阶方阵，分别为,的伴随矩阵，分块矩阵，则的伴随矩阵,下面举例验证这一性质.例4 对角分块矩阵的伴随矩阵解：,故可逆。由定理1可知下三角矩阵的伴随矩阵，由此可知分块可逆矩阵还是分块矩阵参考文献 ：1北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）M，高等教育出版社，2003.7.2同济大学数学教研室.高等数学（第三版）M上册.北京.高等教育出版社，1992.3复旦大学数学系.数学分析（第二版）M上册.北京.高等教育出版社,1986.4东师范大学数学系.数学分析（第二版）M上册.北京.高等教育出版社，1992.5林磊 方阵的伴随矩阵J.高等数学研究，2004（11）:23-25.6京大学数学系.高等代数M.北京.人民教育出版社.1978.7许永平.一些特殊分块矩阵的伴随矩阵J.2005(18)058 周仲旺.关于伴随矩阵的一个注记J.昌潍师专学报.1998.17（5）.9 左连翠.伴随矩阵的新求法J.山东轻工业学院学报。199711（4）.11 褚利忠、蒋理.伴随矩阵的一个性质J.高师理科学刊.2011.31(1).12 王金林.伴随矩阵的秩J.南昌航空工业学院学报.1999.13(3).13 贾