【教学设计】《函数的基本性质》（上教版）.docx

函数的基本性质教学目标【知识与能力目标】1、掌握偶函数与奇函数的概念，学会判断函数的奇偶性；2、掌握增函数、减函数、单调函数及单调区间的概念；学会判断函数的单调性并能加以证明；3、 理解函数最大、最小值的概念，掌握几种类型的函数最值的求法4、帮助学生掌握由“具体到抽象”、“数形结合”的思维方法；5、在引导学生发现问题、研究问题和解决问题的过程中，激发学生自主学习的兴趣。【过程与方法目标】1、掌握偶函数与奇函数的概念，学会判断函数的奇偶性；2、掌握增函数、减函数、单调函数及单调区间的概念；学会判断函数的单调性并能加以证明；3、 理解函数最大、最小值的概念，掌握几种类型的函数最值的求法【情感态度价值观目标】学会“由具体到抽象”、“数形结合”的思维方法；通过形式化的表达，让学生懂得数学既是从现实原型中抽象出来的，又随着数学本身的发展而逐步得到完善的，并树立严格定义的思维。 教学重难点【教学重点】1.偶函数与奇函数的概念，函数奇偶性的判断。2.掌握函数单调性的概念，能判断一些简单函数的单调性。3.理解函数最大、最小值的概念，求基本函数的最值；【教学难点】1.偶函数与奇函数图像性质的证明，简单复合函数奇偶性的判断。2.判断函数的单调性并求函数的单调区间。3.通过转化思想，把复杂函数转化成熟悉的基本函数，再求最值。教学过程第一课时一、复习引入 1 复习：我们在初中已经学习了函数图像的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和图像. 函数的图像如图1，函数的图像如图2. 引入：（学生看图总结，引导学生从对称 性角度来分析）从函数的图像（图1）看到：图像关于轴对称，通过计算，我们也可以看到，得；由得.让学生思考：对任意，是否成立？从函数的图像（图1）看到：图像关于原点对称，通过计算，我们也可以看到，得；由得.让学生思考：对任意，是否成立？函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.二、学习、讲解新课 偶函数与奇函数定义：对于函数的定义域内任意一个值，若恒成立，则函数就叫做偶函数；若恒成立，则函数就叫做奇函数.（引导学生类比得到）例如，函数，等都是偶函数；函数，等都是奇函数.若函数是奇函数或偶函数，则说函数具有奇偶性.说明：定义中的等式（或）对定义域里的任意都要成立，若只对个别值成立，则不能说这函数是偶函数（或奇函数）；等式（或）成立，除了表明函数值相等（或互为相反数）外，首先表明对定义域中的任意来说，也应在定义域之中，否则无意义；奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的，由此得结论：凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.函数奇偶性的判断方法例1：判断下列函数是否具有奇偶性： ； ； .解：，即，函数是奇函数；,即，函数是偶函数；，函数既不是奇函数，也不是偶函数，称为非奇非偶函数.说明：判断一个函数是奇函数，或者是偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数，叫做判断函数的奇偶性，判断的根据是定义.函数中有奇函数，有偶函数，也有非奇非偶函数，还有既是奇函数又是偶函数，例如常数函数，当时是偶函数，当时，它既是奇函数又是偶函数.判断函数的奇偶性，有时也可根据下面的式子来判断：对于定义域内任意一个，若有成立，则为偶函数；若有成立，则为奇函数.3.关于奇偶函数图像的对称性质由奇函数的图像（如图1）和偶函数的图像（如图2），可得奇函数的图像关于原点对称，反过来，若一个函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数； 偶函数的图像关于y轴对称，反过来， 若一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 三、小 结要正确理解奇、偶函数的定义，一对实数与必须同时在定义域内，与才能都有意义，奇、偶函数的定义才有意义，所以判断函数的奇偶性，必须先考虑定义域是否关于原点对称；奇偶函数的定义公式是判断奇偶函数的依据，有时需将原式变形，化为等价形式： ； .3.奇偶函数图像的特征给我们提供了结合图像处理奇偶函数问题的依据；如何利用函数奇偶性解决有关问题是我们应该熟练掌握的；四、教材分析在学习函数的概念、函数的表示法的基础上，结合初中学习过的正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的基本知识，引导学生利用由具体到抽象、数形结合的思维方法来研究关于函数变化趋势的重要性奇偶性，以进一步揭示函数概念的内涵。第二课时一、复习引入 1 复习：我们在初中已经学习了函数图像的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和图像. 函数的图像如图1，函数的图像如图2. 引入：（叫学生看图总结）从函数的图像（图1）看到：图像在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果取，得到,那么当时，有.这时我们就说函数在上是增函数.图像在轴的左侧部分是下降的，也就是说，当在区间上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果取，得到那么当时，有.这时我们就说函数在上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.二、学习、讲解新课 增函数与减函数定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值.若当时，都有则说在这个区间上是增函数（如图3）；若当时，都有则说 在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当时是增函数，当时是减函数. 单调性与单调区间若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的.说明：函数的单调区间是其定义域的子集；应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得但显然此图像表示的函数不是一个单调函数； 例题评价例1： 图6是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 解：函数的单调区间有，其中在区间，上是减函数，在区间，是增函数.说明：1）函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.2）要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图像上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明.例2： 证明函数在上是增函数.证明：设是上的任意两个实数，且，则, 由,得,于是,即.在上是增函数.练习：判断函数在上是增函数还是减函数？并证明你的结论.（减函数：证明略）例3：判断函数在区间上是增函数还是减函数？并证明你的结论.解：设，且，, 由，得,又由,得,即 .在上是减函数.能否说函数在上是减函数？答：不能. 因为属于的定义域.说明：通过观察图像，对函数是否具有某种性质，作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.三、课堂小结讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;根据定义证明函数单调性的一般步骤是：设是给定区间内的任意两个值，且；作差，并将此差式变形（要注意变形的程度）；判断的正负（要注意说理的充分性）；根据的符号确定其增减性.第三课时 一、 情景引入1问题引入动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？设每间熊猫居室的宽为米,熊猫居室的总面积为平方米，则2间熊猫居室的总长为米. 由题意得 下面，我们研究取什么值时面积才能达到最大值。用配方法把上式化为 因为，所以，即当取内任何实数时，面积的值不大于75平方米. 又因为，而当时，取得75，所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米.二、学习新课1概念讲解函数的最大、最小值概念：（引导学生，让学生给出定义）一般地，设函数在处的函数值是，如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数的最小值，记作；如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数的最大值，记作。2、图像上分析（提问的形式，让学生回答）从函数图像来看，如果函数有最大值，那么函数图像中一定有位置最高的点，有的函数只有最大值没有最小值；有的函数只有最小值而没有最大值；有的函数既有最大值又有最小值；而有的函数既无最大值也无最小值。我们以后可以看到：如果一个函数的图像是条连续的曲线，那么这个函数在它的定义域里的某个闭区间上一定既有最大值又有最小值。3、例题讲解一、求下列二次函数的最大值或者最小值： 解： 因此，当时， 因此，当时， 当时，当时， 当时，所以 说明：通过配方可得，函数图像是抛物线的一段，其中含有抛物线的顶点，由于抛物线的开口向下，顶点位于图像的最高处，因此顶点所对应的函数值就是函数的最大值，由于顶点左边的图像是上升的，因此在所对应的区间上，函数是单调递增的，而顶点右边的图像是下降的，在所对应的区间上，函数是单调递减的，所以，函数在上的最小值应由区间的端点所对应的函数值来定. 利用不等式性质，得 当时，即时，取得最小值是.二、在的条件下，求函数的最大值和最小值. 解：由，解得，可知函数的定义域是. 又已知，因此需在的条件下，求函数的最大值和最小值