特征值和特征向量.doc

第二节 特征值和特征向量 定义6 设A是n阶矩阵, 如果数l和n维非零向量x使Ax=lx成立, 那么称常数l为方阵A的特征值, 称n维向量x称为方阵A 的对应于特征值l的特征向量. Ax=lx (A-lE)x=0,(A-lE)x=0是n个方程构成的n元齐次线性方程组, 它有非零解的充分必要条件是det(A-lE)= det(lE - A)=0.即上式左端det(A-lE)展开后是l的n次多项式，记作f(l)记，称为方阵A的特征多项式. f(l)=0是l的一元n次方程, 称为方阵A的特征方程.特征方程在复数范围内有n个根（包括重根）.因此,n阶方阵有n个特征值.那么，有几个特征向量？例5 求的特征值和特征向量.解A的特征多项式为：f(l)=det(lE- A)=(l-4)(l-1)+2=(l-2)(l-3)A的特征方程为： f(l)=(l-2)(l-3)0A的特征值为：l12，l23.当l1=2时,2E- A方程组(2E- A)x=0的解为即(,且)便是对应于l2时方阵A的所有特征向量.当l2=3时,3E- A方程组(3E- A)x=0的解为即(,且)便是对应于l3时方阵A的所有特征向量.例6 设求A的特征值和特征向量.解f(l)=det(lE- A)A的特征值为：l12，l2l31(重根).当l1=2时,2E- A对应于(2E- A)x=0有解即当l2=l31时,E- A对应于(E- A)x=0有解即或特征值与特征向量有如下性质：1. f(x)=a0+a1x+a2x2 + +amxm为x的m次多项式，记f(A)=a0E+a1A+a2A2 + +amAm则f(A)称为方阵A的多项式，其运算的最终结果是一个n阶方阵.若l是方阵A的特征值，则f(l)是f(A)的特征值.证明 l是方阵A的特征值，则有Ax=lx (x0)Akx=Ak-1 (Ax)= Ak-1 (lx)= l(Ak-1 x)= l2 (Ak-2 x)= lk x从而f(A)x=a0E+a1A+a2A2 + +amAmx = a0x+a1lx+a2l2 x+ +amlmx =( a0+a1l+a2l2 + +amlm) x = f(l)x所以f(l)是f(A)的特征值.2.设方阵A的n个特征值为l1, l2, , ln,则(1)l1+l2+ +ln=trA;(2)l1l2 ln=detA.其中trA= a11+a22+ +ann是方阵A的主对角线上元素之和，称为方阵A的迹.3.对应于不同特征值的特征向量是线性无关的，判断特征向量是否线性无关的准则即是：定理2 设l1, l2, , lm是方阵A的m个特征值, 1, 2, ,m依次是相应的特征向量, 如果l1, l2, , lm各不相等, 则1, 2, ,m线性无关. 证明 设k11+k22+ +kmm=0则A(k11+k22+ +kmm)=A0即 l1k11+l2k22+ +lmkmm=0两端再左乘A,可得 l12k11+l22k22+ +lm2kmm=0同理，可得 l1ik11+l2ik22+ +lmikmm=0 (i=1, 2, , m-1).即有.其中是范德蒙行列式，当li(i=1, 2, , m)各不相等时，该行列式不等于.从而该矩阵可逆，则有而，只有ki=0(i=1, 2, , m)，故1, 2, ,m线性无关.例7 设的两个特征值为l1=1,l2=2，求常数, ，并求A的另一个特征值.解解方程组得根据l1+l2+l3a11+a22+a335456可得l33.例8 设方阵A的特征值l1，l2是对应的特征向量依次为1, 2,且12，证明1+2不是A的特征向量. 证明 用反证法.假设1+2是A的特征向量, 则应存在数l, 使A(1+ 2)=l( 1+ 2)=l1+l 2而A(1+ 2)= A1+A 2l11+l22两式