概率论与数理统计习题解答.doc.pdf

概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第一章第一章 第第 1 页页 共共 61 页页 第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 1 写出下列随机试验的样本空间 写出下列随机试验的样本空间 1 同时掷两颗骰子 记录两颗骰子的点数之和 同时掷两颗骰子 记录两颗骰子的点数之和 2 在单位圆内任意一点 记录它的坐标 在单位圆内任意一点 记录它的坐标 3 10 件产品中有三件是次品 每次从其中取一件 取后不放回 直到三件次品都取出为止 记录抽取的次数 件产品中有三件是次品 每次从其中取一件 取后不放回 直到三件次品都取出为止 记录抽取的次数 4 测量一汽车通过给定点的速度 测量一汽车通过给定点的速度 解解 所求的样本空间如下所求的样本空间如下 1 S 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 S x y x2 y20 2 设设 A B C 为三个事件 用为三个事件 用 A B C 的运算关系表示下列事件 的运算关系表示下列事件 1 A 发生 发生 B 和和 C 不发生 不发生 2 A 与与 B 都发生 而都发生 而 C 不发生 不发生 3 A B C 都发生 都发生 4 A B C 都不发生 都不发生 5 A B C 不都发生 不都发生 6 A B C 至少有一个发生 至少有一个发生 7 A B C 不多于一个发生 不多于一个发生 8 A B C 至少有两个发生至少有两个发生 解解 所求的所求的事件表示事件表示如下如下 1 2 3 4 5 6 7 8 A B CA B CA B CA B C A B CABC A BB CA C A BB CC A 3 在某小学的学生中任选一名 若事件在某小学的学生中任选一名 若事件 A 表示被选学生是男生 事件表示被选学生是男生 事件 B 表示该生是三年级学生 事件表示该生是三年级学生 事件 C 表示该学生表示该学生 是运动员 则是运动员 则 1 事件 事件 AB 表示什么 表示什么 2 在什么条件下在什么条件下 ABC C 成立 成立 3 在什么条件下关系式 在什么条件下关系式CB 是正确的 是正确的 4 在什么条件下 在什么条件下AB 成立 成立 解解 所求的事件表示如下所求的事件表示如下 1 事件事件 AB 表示表示该生是三年级男生 但不是运动员该生是三年级男生 但不是运动员 2 当当全校运动员都是三年级男生全校运动员都是三年级男生时 时 ABC C 成立成立 3 当当全校运动员都是三年级学生全校运动员都是三年级学生时 关系式时 关系式CB 是正确的是正确的 4 当当全校女生都全校女生都在三年级 并且三年级学生都是女生在三年级 并且三年级学生都是女生时 时 AB 成立成立 4 设设 P A 0 7 P A B 0 3 试求 试求 P AB 解解 由于由于 A B A AB P A 0 7 所以所以 P A B P A AB P A P AB 0 3 所以所以 P AB 0 4 故故 P AB 1 0 4 0 6 5 对事件对事件 A B 和和 C 已知 已知 P A P B P C 1 4 P AB P CB 0 P AC 1 8 求求 A B C 中至少有一个发生的中至少有一个发生的 概率概率 解解 由于由于 0 ABCAB P AB故故 P ABC 0 则则 P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC 11115 000 44488 6 设盒中有设盒中有 只红球和只红球和 b 只白球 现从中随机地取出两只球 试求下列事件的概率 只白球 现从中随机地取出两只球 试求下列事件的概率 A 两球颜色相同两球颜色相同 B 两球颜色不同两球颜色不同 解解 由题意 基本事件总数为由题意 基本事件总数为 2 a b A 有利于 有利于 A 的事件数为的事件数为 22 ab AA 有利于 有利于 B 的事件数为的事件数为 111111 2 abbaab A AA AA A 则则 2211 22 2 abab a ba b AAA A P AP B AA 7 若若 10 件产品中有件正品 件产品中有件正品 3 件次品件次品 1 不放回地每次从中任取一件 共取三次 求取到三件次品的概率 不放回地每次从中任取一件 共取三次 求取到三件次品的概率 2 每次从中任取一件 有放回地取三次 求取到三次次品的概率 每次从中任取一件 有放回地取三次 求取到三次次品的概率 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第一章第一章 第第 2 页页 共共 61 页页 解解 1 设设 A 取得三件次品取得三件次品 则则 33 33 33 1010 16 120720 或者 CA P AP A CA 2 设设 B 取到三个次品取到三个次品 则则 3 3 32 7 101000 P A 8 某旅行社某旅行社 100 名导游中有名导游中有 43 人会讲英语 人会讲英语 35 人会讲日语 人会讲日语 32 人会讲日语和英语 人会讲日语和英语 9 人会讲法语 英语和日语 且人会讲法语 英语和日语 且 每人至少会讲英 日 法三种语言中的一种 求 每人至少会讲英 日 法三种语言中的一种 求 1 此人会讲 此人会讲英语和日语 但不会讲法语的概率 英语和日语 但不会讲法语的概率 2 此人只会讲法语的概率 此人只会讲法语的概率 解解 设设 A 此人会讲英语此人会讲英语 B 此人会讲日语此人会讲日语 C 此人会讲法语此人会讲法语 根据题意根据题意 可得可得 1 32923 100100100 P ABCP ABP ABC 2 P ABCP ABP ABC 01 P ABP AB 1 P AP BP AB 43353254 1 100100100100 9 罐中有罐中有 12 颗围棋子 其中颗围棋子 其中 8 颗白子颗白子 4 颗黑颗黑子 若从中任取子 若从中任取 3 颗 求 颗 求 1 取到的都是白子的概率 取到的都是白子的概率 2 取到两颗白子 一颗黑子的概率 取到两颗白子 一颗黑子的概率 3 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率 4 取到三颗棋子颜色相同的概率取到三颗棋子颜色相同的概率 解解 1 设设 A 取到的都是白子取到的都是白子 则则 3 8 3 12 14 0 255 55 C P A C 2 设设 B 取到两颗白子取到两颗白子 一颗黑子一颗黑子 21 84 3 12 0 509 C C P B C 3 设设 C 取三颗子中至少的一颗黑子取三颗子中至少的一颗黑子 1 0 7 4 5 P CP A 4 设设 D 取到三颗子颜色相同取到三颗子颜色相同 33 84 3 12 0 273 CC P D C 10 1 500 人中 至少有一个的生日是人中 至少有一个的生日是 7 月月 1 日的概率是多少日的概率是多少 1 年按年按 365 日计算日计算 2 6 个人中 恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少 个人中 恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少 解解 1 设设 A 至少有一个人生日在至少有一个人生日在 7 月月 1 日日 则则 500 500 364 1 10 746 365 P AP A 2 设所求的概率为设所求的概率为 P B 412 61 2 6 11 0 0073 12 CC P B 11 将将 C C E E I N S 7 个字母随意排成一行 试求恰好排成个字母随意排成一行 试求恰好排成 SCIENCE 的概率的概率 p 解解 由于两个由于两个 C 两个 两个 E 共有共有 22 22 A A种排法 而基本事件总数为种排法 而基本事件总数为 7 7 A 因此有 因此有 22 22 7 7 0 000794 A A p A 12 从从 5 副不同的手套中任取款副不同的手套中任取款 4 只 求这只 求这 4 只都不配对的概率只都不配对的概率 解解 要要 4 只都不配对 我们先取出只都不配对 我们先取出 4 双 再从每一双中任取一只 共有双 再从每一双中任取一只 共有 44 5 2C中取法中取法 设设 A 4 只手套都不配对只手套都不配对 则有 则有 44 5 4 10 280 210 C P A C 13 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件 第一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件 第 i 只零件是不合格的概率为只零件是不合格的概率为 1 1 i p i i 1 2 3 若以 若以 x 表示零件中合格品的个数 则表示零件中合格品的个数 则 P x 2 为多少 为多少 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第一章第一章 第第 3 页页 共共 61 页页 解解 设设 Ai 第第 i 个零件个零件不不合格合格 i 1 2 3 则则 1 1 ii P Ap i 所以所以 1 1 ii i P Ap i 123123123 2 P xP AA AP A A AP AA A 由于零件制造相互独立 有 由于零件制造相互独立 有 123123 P AA AP A P A P A 123123 P A A AP A P A P A 123123 P AA AP A P A P A 11112111311 2 23423423424 P x 所以 14 假设目标出现在射程之内的概率为假设目标出现在射程之内的概率为 0 7 这时射击命中目标的概率为 这时射击命中目标的概率为 0 6 试求两次独立射击至少有一次命中目标 试求两次独立射击至少有一次命中目标 的概率的概率 p 解解 设设 A 目标出现在射程内目标出现在射程内 B 射击击中目标射击击中目标 Bi 第第 i 次击中目标次击中目标 i 1 2 则则 P A 0 7 P Bi A 0 6 另外另外 B B1 B2 由全概率公式 由全概率公式 12 P BP ABP AB P ABP A P B A P A P BBA 另外另外 由于两次射击是独立的由于两次射击是独立的 故故 P B1B2 A P B1 A P B2 A 0 36 由加法公式由加法公式 P B1 B2 A P B1 A P B2 A P B1B2 A 0 6 0 6 0 36 0 84 因此因此 P B P A P B1 B2 A 0 7 0 84 0 588 15 设某种产品设某种产品 50 件为一批 如果每批产品中没有次品的概率为件为一批 如果每批产品中没有次品的概率为 0 35 有 有 1 2 3 4 件次品的概率分别为件次品的概率分别为 0 25 0 2 0 18 0 02 今从某批产品中抽取 今从某批产品中抽取 10 件 检查出一件次品 求该批产品中次品不超过两件的概率件 检查出一件次品 求该批产品中次品不超过两件的概率 解解 设设 Ai 一批产品中有一批产品中有 i 件次品件次品 i 0 1 2 3 4 B 任取任取 10 件检查出一件次品件检查出一件次品 C 产品中次品不超两件产品中次品不超两件 由题意由题意 0 19 149 1 10 50 19 248 2 10 50 19 347 3 10 50 19 446 1 10 50 0 1 5 16 49 39 98 988 2303 P B A C C P B A C C C P B A C C C P B A C C C P B A C 由于由于 A0 A1 A2 A3 A4构成了一个完备的事件组构成了一个完备的事件组 由全概率公式由全概率公式 4 0 0 1 9 6 ii i P BP A P B A 由由 Bayes 公式公式 00 0 11 1 22 2 0 0 255 0 333 P A P B A P AB P B P A P B A P AB P B P A P B A P AB P B 故故 2 0 0 588 i i P CP AB 16 由以往记录的数据分析 某船只运输某种物品损坏由以往记录的数据分析 某船只运输某种物品损坏 2 10 和和 90 的概率分别为的概率分别为 0 8 0 15 0 05 现在从中随 现在从中随 机地取三件 发现三件全是好的 试分析这批物品的损坏率是多少 这里设物品件数很多 取出一件后不影响下机地取三件 发现三件全是好的 试分析这批物品的损坏率是多少 这里设物品件数很多 取出一件后不影响下 一件的概率 一件的概率 解解 设设 B 三件都是好的三件都是好的 A1 损坏损坏 2 A2 损坏损坏 10 A1 损坏损坏 90 则则 A1 A2 A3是两两互斥是两两互斥 且且 A1 A2 A3 P A1 0 8 P A2 0 15 P A2 0 05 因此有因此有 P B A1 0 983 P B A2 0 903 P B A3 0 13 由全概率公式由全概率公式 3 1 333 0 8 0 980 15 0 900 05 0 100 8624 ii i P BP A P B A 由由 Bayes 公式公式 这批货物的损坏率为这批货物的损坏率为 2 10 90 的概率分别为的概率分别为 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第一章第一章 第第 4 页页 共共 61 页页 3 1 3 2 3 3 0 80 9 8 0 8 7 3 1 0 8 6 2 4 0 1 50 9 0 0 1 2 6 8 0 8 6 2 4 0 0 50 1 0 0 0 0 0 1 0 8 6 2 4 ii ii ii P A P B A P AB P B P A P B A P AB P B P A P B A P AB P B 由于由于 P A1 B 远大于远大于 P A3 B P A2 B 因此可以认为这批货物的损坏率为因此可以认为这批货物的损坏率为 0 2 17 验收成箱包装的玻璃器皿 每箱验收成箱包装的玻璃器皿 每箱 24 只装 统计资料表明 每箱最多有两只残次品 且含只装 统计资料表明 每箱最多有两只残次品 且含 0 1 和和 2 件残次品的箱件残次品的箱 各占各占 80 15 和和 5 现在随意抽取一箱 随意检查其中 现在随意抽取一箱 随意检查其中 4 只 若未发现残次品 则通过验收 否则要逐一检只 若未发现残次品 则通过验收 否则要逐一检 验并更换残次品 试求 验并更换残次品 试求 1 一次通过验收的概率 一次通过验收的概率 2 通过验收的箱中确定无残次品的概率 通过验收的箱中确定无残次品的概率 解解 设设 Hi 箱箱中实际有的次品数中实际有的次品数 0 1 2 i A 通过验收通过验收 则则 P H0 0 8 P H1 0 15 P H2 0 05 那么有 那么有 0 4 23 1 4 24 4 22 2 4 24 1 5 6 95 138 P A H C P A H C C P A H C 1 由全概率公式由全概率公式 2 0 0 96 ii i P AP HP A H 2 由由 Bayes 公式公式 得得 00 0 8 1 0 83 0 96 i P HP A H P HA P A 18 一建筑物内装有一建筑物内装有 5 台同类型的空调设备 调查表明 在任一时刻 每台设备被台同类型的空调设备 调查表明 在任一时刻 每台设备被 使用的概率为使用的概率为 0 1 问在同一时刻 问在同一时刻 1 恰有两台设备被使用的概率是多少 恰有两台设备被使用的概率是多少 2 至少有三台设备被 至少有三台设备被使用的概率是多少 使用的概率是多少 解解 设设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的台设备在同一时刻是否工作是相互独立的 因此因此本题本题可以看作是可以看作是5重伯努利试验重伯努利试验 由题意 有由题意 有p 0 1 q 1 p 0 9 故故 1 223 155 2 0 1 0 9 0 0729 PPC 2 2555 3 4 5 PPPP 332441550 555 0 1 0 9 0 1 0 9 0 1 0 9 0 00856CCC 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第第二二章章 第第 5 页页 共共 61 页页 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 1 有有 10 件产品 其中正品件产品 其中正品 8 件 次品两件 现从中任取两件 求取得次品数件 次品两件 现从中任取两件 求取得次品数 X 的分律的分律 解解 X 的分布率如下表所示 的分布率如下表所示 X 0 1 2 p 28 45 16 45 1 45 2 进行某种试验 设试验成功的概率为进行某种试验 设试验成功的概率为 3 4 失败的概率为 失败的概率为 1 4 以 以 X 表示试验表示试验 首次成功所需试验的次数 试写出首次成功所需试验的次数 试写出 X 的分布律 并计算的分布律 并计算 X 取偶数的概率取偶数的概率 解解 X 的分布律为 的分布律为 1 13 1 2 3 44 k P Xkk X 取偶数的概率 取偶数的概率 21 13 2 44 1 11 16 33 1 165 1 16 k k P XP Xk k 1k 1 k 1 为偶数 3 从从 5 个数个数 1 2 3 4 5 中任取三个为数中任取三个为数 123 x x x 求 求 X max 123 x x x 的分布律及的分布律及 P X 4 Y min 123 x x x 的分布律及的分布律及 P Y 3 解解 基本事件总数为 基本事件总数为 3 5 10C 1 X 的分布律为 的分布律为 P X 4 P 3 P 4 0 4 2 Y 的分布律为的分布律为 P X 3 0 4 C 应取何值 函数应取何值 函数 f k k C k k 1 2 0 成为分布律 成为分布律 解解 由题意由题意 1 1 k f x 即即 X 3 4 5 p 0 1 0 3 0 6 Y 1 2 3 p 0 6 0 3 0 1 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第第二二章章 第第 6 页页 共共 61 页页 0 110 1 1 0 kkk kkk CCCC e kkk 解得 解得 1 1 C e 5 已知已知 X 的分布律的分布律 X 1 1 2 P 1 6 2 6 3 6 求 求 1 X 的分布函数 的分布函数 2 1 2 P X 3 3 1 2 PX 解解 1 X 的的分布函数为分布函数为 k k xx F xP Xxp 0 1 1 6 11 1 2 12 1 2 x x F x x x 2 11 1 26 P XP X 3 3 1 0 2 PXP 6 设某运动设某运动员投篮投中的概率为员投篮投中的概率为 P 0 6 求一次投篮时投中次数 求一次投篮时投中次数 X 的分布函的分布函 数 并作出其图形数 并作出其图形 解解 X 的分布函数的分布函数 00 0 601 11 x F xx x 7 对同一目标作三次独立射击 设每次射击命中的概率为对同一目标作三次独立射击 设每次射击命中的概率为 p 求 求 1 三次射击中恰好命中两次的概率 三次射击中恰好命中两次的概率 2 目标被击中两弹或两弹以上被击毁 目标被击毁的概率是多少 目标被击中两弹或两弹以上被击毁 目标被击毁的概率是多少 解解 设设 A 三次射击中恰好命中两次三次射击中恰好命中两次 B 目标被击毁 则目标被击毁 则 1 P A 223 22 33 2 1 3 1 PC pppp 2 P B 223 2333 323 3333 2 3 1 1 32PPC ppC pppp 8 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布 求 的泊松分布 求 1 每分钟恰有 每分钟恰有 6 次呼唤的概率 次呼唤的概率 F x 0 x 1 0 6 1 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第第二二章章 第第 7 页页 共共 61 页页 2 每分钟的呼唤次数不超过 每分钟的呼唤次数不超过 10 次的概率次的概率 解解 1 P X 6 6 4 4 0 104 6 k ee k 或者或者 P X 6 k e k 44 67 44 kk kk ee kk 0 21487 0 11067 0 1042 2 P X 10 10 44 011 44 11 0 00284 kk kk ee kk 0 99716 9 设随机变量设随机变量 X 服从泊松分布 且服从泊松分布 且 P X 1 P X 2 求 求 P X 4 解解 由已知可得 由已知可得 12 1 2 ee 解得 解得 2 0 不合题意不合题意 4 2 2 4 4 P Xe 因此 0 09 10 商店订购商店订购 1000 瓶鲜橙汁 在运输途中瓶子被打碎的概率为瓶鲜橙汁 在运输途中瓶子被打碎的概率为 0 003 求商店收 求商店收 到的玻璃瓶 到的玻璃瓶 1 恰有两只 恰有两只 2 小于两只 小于两只 3 多于两只 多于两只 4 至少有一 至少有一 只的概率只的概率 解解 设设 X 1000 瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数数 则 则 X 服从参数为服从参数为 n 1000 p 0 003 的二项分布的二项分布 即即 X B 1000 0 003 由于由于 n 比较大 比较大 p 比较小 比较小 np 3 因此可以用泊松分布来近似因此可以用泊松分布来近似 即即 X 3 因此因此 1 P X 2 2 3 3 0 224 2 e 2 3 2 3 2 1 2 11 0 80080 1992 k k P XP Xe k 3 3 3 3 2 2 0 5768 k k P XP Xe k 4 3 1 3 1 0 9502 k k P Xe k 11 设连续型随机变量设连续型随机变量 X 的分布函数为的分布函数为 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第第二二章章 第第 8 页页 共共 61 页页 2 0 0 01 1 1 x F xkxx x 求 求 1 系数 系数 k 2 P 0 25 X 0 75 3 X 的密度函数 的密度函数 4 四次独立 四次独立 试验中有三次恰好在区间试验中有三次恰好在区间 0 25 0 75 内取值的概率内取值的概率 解解 1 由于当由于当 0 x 1 时 有时 有 F x P X x P X 0 P 0 X x kx2 又又 F 1 1 所以所以 k 12 1 因此因此 k 1 2 P 0 25 X 0 75 F 0 75 F 0 25 0 752 0 252 0 5 3 X 的密度函数为的密度函数为 2 01 0 xx f xF x Other 4 由由 2 知 知 P 0 25 X80 100 P Z 0 8 1 2 0 812 1 0 0272xx dx 如果供电量只有如果供电量只有 80 万千瓦 供电量不够用的概率为 万千瓦 供电量不够用的概率为 P Z 90 100 P Z 0 9 1 2 0 912 1 0 0037xx dx 14 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件 其寿命某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件 其寿命 单位单位 小时小时 都服从同都服从同 一指数分布 分布密度为一指数分布 分布密度为 600 1 0 600 0 x ex F x x 0 试试求在仪器使用的最初求在仪器使用的最初 200 小时以内 至少有一只电子元件损坏的概率小时以内 至少有一只电子元件损坏的概率 解解 设设 X 表示该型号电子元件的寿命 则表示该型号电子元件的寿命 则 X 服从指数分布 设服从指数分布 设 A X 200 则则 P A 1 200 6003 0 1 1 600 x edxe 设设 Y 三只电子元件在三只电子元件在 200 小时内损坏的数量小时内损坏的数量 则所求的概率为 则所求的概率为 1 00303 3 3 1 1 1 0 1 1 1 1P YP YC P AP Ae e 15 设设 X 为正态随机变量 且为正态随机变量 且 X N 2 2 又 又 P 2 X 4 0 3 求 求 P X 0 解解 由题意知由题意知 222422 24 00 3 X PXP 即即 2 0 30 50 8 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第第二二章章 第第 10 页页 共共 61 页页 故故 20222 0 10 2 X P XP 16 设随机变量设随机变量 X 服从正态分布服从正态分布 N 10 4 求 求 a 使 使 P X 10 0 时 时 222 222 112 22 yyy YXX fyfyyfyyeee 当当 y 0 时 时 Y fy 0 因此有因此有 2 2 2 0 0 0 y Y ey fy y 22 若随机变量若随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 2 3 01 0 xx f x 其他 求求 Y 1 x 的分的分布函数和密度函数布函数和密度函数 解解 y 1 x 在在 0 1 上严格单调 且反函数为上严格单调 且反函数为 h y 1 y y 1 h y 2 1 y 2224 11113 3 YXX fyfh yh yf yyyyy 2X 4 0 4 6 p 1 7 1 7 3 7 2 7 X2 0 4 9 p 1 7 4 7 2 7 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第第二二章章 第第 12 页页 共共 61 页页 因此有因此有 4 3 1 0 Y y yfy other Y 的分布函数为 的分布函数为 433 1 31 1 1 0 y Y y y dyyyy Fy other 23 设随机变量设随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 2 2 0 1 0 0 x xf x x 试求试求 Y lnX 的密度函数的密度函数 解解 由于由于lnyx 严格单调 其反函数为严格单调 其反函数为 yy h yeh ye 且 则则 2 2 1 2 yy YXX y y yy fyfh yh yfee e e y ee 24 设随机变量设随机变量 X 服从服从 N 2 分布 求分布 求 Y x e的分布密度的分布密度 解解 由于由于 x ye 严格单调 其反函数为严格单调 其反函数为 1 ln h yyh y 且 y y 0 则则 2 2 1 ln 2 1 ln 1 0 2 YXX y fyfh yh yfy y ey y 当当0y 时时 0 Y fy 因此因此 2 2 1 ln 2 1 0 2 0 0 y Y ey fy y y 25 假设随机变量假设随机变量 X 服从参数为服从参数为 2 的指数分布 证明 的指数分布 证明 Y 2 1 x e 在区间在区间 0 1 上服从均匀分布上服从均匀分布 解解 由 于由 于 2 1 x ye 在在 0 上 单 调 增 函上 单 调 增 函 数 其 反 函 数 为 数 其 反 函 数 为 1 ln 1 01 2 h yyy 并且并且 1 2 1 h y y 则当 则当01y 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第第二二章章 第第 13 页页 共共 61 页页 1 2 ln 1 2 11 ln 1 22 1 1 21 2 1 YX X y fyfh yh y fy y e y 当当 y 0 或或 y 1 时 时 Y fy 0 因此因此 Y 在区间在区间 0 1 上服从均匀分布上服从均匀分布 26 把一枚硬币连掷三次 以把一枚硬币连掷三次 以 X 表示在三次中正面出现的次数 表示在三次中正面出现的次数 Y 表示三次中表示三次中 出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值 试求 出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值 试求 X Y 的联合概 的联合概 率分布率分布 解解 根据题意可知根据题意可知 X Y 可能出现的情况有 可能出现的情况有 3 次正面 次正面 2 次正面次正面 1 次反面次反面 1 次正面次正面 2 次反面次反面 3 次反面次反面 对应的对应的 X Y 的取值及概率分别为的取值及概率分别为 P X 3 Y 3 1 8 P X 2 Y 1 2 2 3 113 228 C P X 1 Y 1 3 1 1 3 113 228 C P X 0 Y 3 3 11 28 于是 于是 X Y 的联合分布表如下 的联合分布表如下 X Y 0 1 2 3 1 0 3 8 3 8 0 3 1 8 0 0 1 8 27 在在 10 件产品中有件产品中有 2 件一级品 件一级品 7 件二级品和件二级品和 1 件次品 从件次品 从 10 件产品中无放件产品中无放 回抽取回抽取 3 件 用件 用 X 表示其中一级品件数 表示其中一级品件数 Y 表示其中二级品件数 求 表示其中二级品件数 求 1 X 与与 Y 的联合概率分布 的联合概率分布 2 X Y 的边缘概率分布 的边缘概率分布 3 X 与与 Y 相互独立吗 相互独立吗 解解 根据题意 根据题意 X 只能取只能取 0 1 2 Y 可取的值有 可取的值有 0 1 2 3 由古典概型 由古典概型 公式得 公式得 1 271 3 10 ijk ij C C C pP Xi Yj C 其中其中 3 0 1 2 ijki 0 1 2 3j 0 1k 可以计算出联合分布表如下可以计算出联合分布表如下 Y X 0 1 2 3 i p 0 0 0 21 120 35 120 56 120 1 0 14 120 42 120 0 56 120 2 1 120 7 120 0 0 8 120 j p 1 120 21 120 63 120 35 120 2 X Y 的边缘分布如上表的边缘分布如上表 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第第二二章章 第第 14 页页 共共 61 页页 3 由 于由 于P X 0 Y 0 0 而而P X 0 P Y 0 0 P X 0 Y 0 P X 0 P Y 0 因此因此 X Y 不相互独立不相互独立 28 袋中有袋中有 9 张纸牌 其中两张 张纸牌 其中两张 2 三张 三张 3 四张 四张 4 任取一张 不放回 任取一张 不放回 再任取一张 前后所取纸牌上的数分别为再任取一张 前后所取纸牌上的数分别为 X 和和 Y 求二维随机变量 求二维随机变量 X Y 的联合分布律 以及概率的联合分布律 以及概率 P X Y 6 解解 1 X Y 可取的值都为可取的值都为 2 3 4 则则 X Y 的联合概的联合概率分布为 率分布为 Y X 2 3 4 i p 2 22 29 1 36AA 112 239 1 12A AA 112 249 1 9A AA 2 9 3 112 329 1 12A AA 22 39 1 12AA 112 349 1 6C CA 1 3 4 112 429 1 9A AA 112 439 1 6A AA 22 49 1 6AA 4 9 j p 2 9 1 3 4 9 2 P X Y 6 P X 3 Y 4 P X 4 Y 3 P X 4 Y 4 1 6 1 6 1 6 1 2 29 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 X Y 的联合分布函数为的联合分布函数为 arctanarctan 23 xy F x yA BC 求 求 1 系数 系数 A B 及及 C 2 X Y 的的联合概率密度 联合概率密度 3 X Y 的的 边缘分布函数及边缘概率密度 边缘分布函数及边缘概率密度 4 随机变量 随机变量 X 与与 Y 是否独立 是否独立 解解 1 由由 X Y 的性质的性质 F x 0 F y 0 F 0 F 1 可以得到如下方程组 可以得到如下方程组 a r c t a n0 22 arctan0 23 0 22 1 22 x A BC y A BC A BC A BC 解得 解得 2 1 22 ABC 2 2 222 6 4 9 F x y f x y x yxy 3 X 与与 Y 的边缘分布函数为 的边缘分布函数为 2 11 arctanarctan 222222 X xx FxF x 2 11 arctanarctan 222322 Y yy FyFy 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第第二二章章 第第 15 页页 共共 61 页页 X 与与 Y 的边缘概率密度为 的边缘概率密度为 2 2 4 XX fxFx x 2 3 9 YY fyF y y 4 由由 2 3 可知 可知 XY f x yfx fy 所以所以 X Y 相互独立相互独立 30 设二维随机变量设二维随机变量 X Y 的联合概率密度的联合概率密度为为 x y e 0 0 x f x y 其他 1 求分布函数 求分布函数 F x y 2 求 求 X Y 落在由落在由 x 0 y 0 x y 1 所围成的三角所围成的三角形区域形区域 G 内的概率内的概率 解解 1 当当 x 0 y 0 时 时 00 1 1 yx u vxy F x yedudvee 否则 否则 F x y 0 2 由题意 所求的概率为由题意 所求的概率为 11 1 00 120 2642 G x x y P x yGf x y dxdy dxedye 31 设随机变量 设随机变量 X Y 的联合概率密度为 的联合概率密度为 3x 4y Ae 0 0 0 xy f x y 其他 求 求 1 常数 常数 A 2 X Y 的边缘概率密度 的边缘概率密度 3 01 02 PXY 解解 1 由联合概率密度的性质 可得由联合概率密度的性质 可得 34 00 1 12 xy f x y dxdyAedxdyA 解得解得 A 12 2 X Y 的边缘概率密度分别为 的边缘概率密度分别为 34 3 0 123 0 0 xyx X edyex fxf x y dy other 34 4 0 124 0 0 xyy Y edxey fyf x y dx other 3 01 02 Pxy 21 34 00 38 12 1 1 xy edxdy ee 32 设随机变量 设随机变量 X Y 的联合概率密度为 的联合概率密度为 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第第二二章章 第第 16 页页 共共 61 页页 2 01 02 3 0 xy xxy f x y 其他 求求 P X Y 1 解解 由题意 所求的概率就是由题意 所求的概率就是 X Y 落入由直线落入由直线 x 0 x 1 y 0 y 2 x y 1 围的围的 区域区域 G 中中 则则 12 2 01 23 1 0 3 4565 32672 G x P x yGf x y dxdy xy dxxdy xxx dx 33 设二维随机变量设二维随机变量 X Y 在图在图 2 20 所示的区域所示的区域 G 上服从均匀分布 试求上服从均匀分布 试求 X Y 的联合概率密度及边缘概率密度的联合概率密度及边缘概率密度 解解 由于由于 X Y 服从均匀分布 则服从均匀分布 则 G 的面积的面积 A 为 为 2 11 2 00 1 6 x x G Af x y dxdydxdyxx dx X Y 的联合概率密度为 的联合概率密度为 6 01 0 x f x y other X Y 的边缘概率密度为 的边缘概率密度为 2 2 66 01 0 x x X dyxxx fxf x y dy other 66 01 0 y y Y dyyyy fyf x y dx other 34 设设 X 和和 Y 是两个相互独立的随机变量 是两个相互独立的随机变量 X 在在 0 0 2 上服从均匀分布 上服从均匀分布 Y 的的 概率密度是概率密度是 5 5 0 0 0 y y ey fy y 求 求 1 X 和和 Y 和联合概率密度 和联合概率密度 2 P Y X 解解 由于由于 X 在在 0 0 2 上服从均匀分布 所以上服从均匀分布 所以 1 0 25 X fx 1 由于由于 X Y 相互独立 因此相互独立 因此 X Y 的联合密度函数为 的联合密度函数为 5 25 0 00 2 0 y XY eyx f x yfx fy other 2 由题意 所求的概率是由直线由题意 所求的概率是由直线 x 0 x 0 2 y 0 y x 所围的区域 所围的区域 如右如右图图所示 所示 因此因此 y x 0 0 2 x y 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第第二二章章 第第 17 页页 共共 61 页页 0 2 5 00 0 2 511 0 25 5111 x y G x P YXf x y dxdydxedy edxee 35 设 设 X Y 的联合概率密度为 的联合概率密度为 1 01 02 2 0 xy f x y 其他 求求 X 与与 Y 中至少有一个小于中至少有一个小于 1 2 的概率的概率 解解 所求的概率为所求的概率为 0 50 5 12 0 50 5 11 22 11 1 22 1 15 1 28 PXY P XY f x y dxdy dxdy 36 设随机变量设随机变量 X 与与 Y 相互独立 且相互独立 且 X 1 1 3 Y 3 1 P 1 2 1 5 3 10 P 1 4 3 4 求二维随机变量 求二维随机变量 X Y 的联合分布律 的联合分布律 解解 由独立性 计算如下表由独立性 计算如下表 X Y 1 1 3 j p 3 1 8 1 20 3 40 1 4 1 3 8 3 20 9 40 3 4 i p 1 2 1 5 6 20 37 设二维随机变量 设二维随机变量 X Y 的联合分布律为 的联合分布律为 X 1 2 3 Y 1 1 6 1 9 1 18 2 a b c 1 求常数 求常数 a b c 应满足的条件 应满足的条件 2 设随机变量 设随机变量 X 与与 Y 相互独立 求常数相互独立 求常数 a b c 解解 由联合分布律的性质 有 由联合分布律的性质 有 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第第二二章章 第第 18 页页 共共 61 页页 111 1 6918 abc 即即 a b c 12 1 33 又 又 X Y 相互独立 可得相互独立 可得 1 11 6 9 18 a b c 从而可以得到 从而可以得到 121 399 abc 38 设二维随机变量 设二维随机变量 X Y 的联合 的联合分布函数为分布函数为 2 2 23 2 0 1 1 0 01 1 0 x xy x x y F x yxy x 其他 求边缘分布函数求边缘分布函数 x F x与与 y F y 并判断随机变量 并判断随机变量 X 与与 Y 是否相互独立是否相互独立 解解 由题意由题意 边缘分布函数边缘分布函数 22 22 lim 0 11 0 0 y X xx x FxF x xx x 下面计算下面计算 FY y 23 3 2 2 2 0 0 lim 01 1 lim1 1 1 Y x x y x y FyFyyy x x y x 可以看出 可以看出 F x y Fx x FY y 因此 因此 X Y 相互独立相互独立 39 设二维随机变设二维随机变量 量 X Y 的联合分布函数为 的联合分布函数为 1 3 2 1 1 0 y exy f x yx 其他 求边缘概率密度求边缘概率密度 X fx与与 Y fy 并判断随机变量 并判断随机变量 X 与与 Y 是否相互独立是否相互独立 解解 先计算先计算 X fx 当当 x 1 时时 0 X fx 当当 x 1 时时 11 333 1 222 1 yy X fxedye xxx 再计算再计算 Y fy 当当 y 1 时时 0 Y fy 当当 y 1 时时 111 32 1 21 1 yyy Y fyedxee xx 可见可见 XY f x yfx fy 所以随机变量所以随机变量 X Y 相互独立相互独立 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第第二二章章 第第 19 页页 共共 61 页页 40 设二维随机变量 设二维随机变量 X Y 的联合分布函数为 的联合分布函数为 0 xyx y f x y 其他 求边缘概率密度求边缘概率密度 X fx与与 Y fy 并判断随机变量 并判断随机变量 X 与与 Y 是否相互独立是否相互独立 解解 先计算先计算 X fx 当当 x1 时时 0 X fx 当当 1 x 0 时时 1 2 1 2 0 1 1 02 X fxxydyxyyx 再计算再计算 Y fy 当当 y1 时时 0 Y fy 当当 1 y 0 时时 1 2 0 1 11 022 Y fyxydxxyxy 由于由于 11 22 XY f x yxyfx fyxy 所以随机变量所以随机变量 X Y 不独不独 立立 41 设二维随机变量 设二维随机变量 X Y 的联合分布函数为 的联合分布函数为 2 2 00 0 xy exy f x y 其他 求随机变量求随机变量 Z X 2Y 的分布密度的分布密度 解解 先求先求 Z 的分布函数的分布函数 F z 2 2 D XY z F zP ZzP XYzf x y dxdy 当当 z0 y 0 x 2y z 求得求得 2 2 2 0 2 z zy xy F zdyedx 2 24 1 2 2 z yy zz eedye 当当 z 0 时 积分区域为 时 积分区域为 D x y x 0 y 0 x 2y z 2 2 00 2 zy xy F zdyedx 24 0 1 21 2 yy zz eedye 由此由此 随机变量随机变量 Z 的分布函数为的分布函数为 1 1 0 2 1 0 2 z z ez F z ez 因此因此 得得 Z 的密度函数为 的密度函数为 1 0 2 1 0 2 z z ez f z ez 0zx y x 2y z x 2y z zx 0 D y D 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案习题参考答案 仅供参考 仅供参考 第第二二章章 第第 20 页页 共共 61 页页 42 设随机变量设随机变量 X 和和 Y 独立 独立 X 2 N Y 服从 服从 b b b 0 上的均匀上的均匀 分布 求随机变量分布 求随机变量 Z X Y 的分布密度的分布密度 解解 解法一解法一 由题意 由题意 2 2 2 11 2 2 z y a b XY b F zfzy fy dyedy b 令令 zyat dydtyb b 则则 2 2 111 22 2 z b a z b a t z b az b a F zedt bb 解法二解法二 2 2 1 1 22 2 11 22 1 11 2 1 2 XY z b z b F zfx fzx dx b z x b z b x 0 时有非零值 时有非零值 Y fzx 仅当仅当 z x 0 即 即 z x 时有非零值 时有非零值 所以当所以当 z0 时 有时 有 0 z x 因此因此 11 32 0 11 23 z z x