八年级数学上册 第12章 角平分线的性质习题课（第9课时）学案 （新版）新人教版.doc

角平分线的性质一、学习目标l 熟练掌握角平分线的性质和判定；l 了解常用的辅助线，掌握角平分线辅助线的作法，会利用辅助线证明问题二、知识回顾1角平分线的性质定理是什么？在角平分线上的点到角的两边的距离相等1=2，pdoa，peob，pd=pe2角平分线的判定定理是什么？角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上pdoa，peob，pd=pe，点p在aob的平分线上（op是aob的平分线）三、新知讲解由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试看角平分线具有两条性质：a对称性；b角平分线上的点到角两边的距离相等对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种；从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线，其它情况下考虑构造对称图形至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1添加一条垂线为辅助线【例1】（2014秋西城区校级期中）如图，已知1=2，p为bn上的一点，pfbc于f，pa=pc求证：pcb+bap=180总结：已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段，可得垂线段相等，或利用角平分线的性质可证三角形全等，继而可证边角相等练1（2014秋鼓楼区校级期中）如图，在四边形abcd中，adbc，ae平分bad交dc于点e，连接be，且aebe，求证：ab=ad+bc2添加两条垂线为辅助线【例2】（2014秋西城区校级期中）如图，在四边形abcd中，bcba，ad=cd，bd平分abc，求证：bad+bcd=180总结：当题目已知条件中出现角平分线的时候，我们应立刻想到它的两个性质：1把已知角平分成两个相等的小角；2角平分线性质定理，若此时作角的两边的垂线，则两条垂线段相等练2（2010秋柘城县校级月考）如图：在abc中，ad是它的角平分线求证：sabd：sacd=ab：ac五、课后小测解答题1（2014秋五华区校级期中）四边形abcd中，ac平分bad，ceab于e，adc+b=180求证：2ae=ab+ad2（2014秋启东市校级期中）如图，四边形abdc中，d=abd=90，点d为bd的中点，且oa平分bac（1）求证：oc平分acd；（2）求证：oaoc；（3）求证：ab+cd=ac3（2011秋兴庆区校级月考）如图，已知bd为abc的平分线，debc于e，且ab+bc=2be（1）求证：bad+bcd=180；（2）若将条件“ab+bc=2be”与结论“bad+bcd=180”互换，结论还成立吗？请说明理由4如图所示，在abc中，已知abc和abc的外角acd的平分线相交于点p求证：点p到ab、ac的距离相等5如图，ce=bf，且sdce=sdbf，求证：ad平分bac6如图，bp、cp分别是abc的外角cbd、bce的平分线求证：p点在bac的平分线上7（2014秋启东市校级月考）如图，在aob的两边oa，ob上分别取om=on，od=oe，dn和em相交于点c求证：点c在aob的平分线上8（2014秋启东市校级月考）已知：aob=90，om是aob的平分线，将三角板的直角顶点p在射线om上滑动，两直角边分别与oa、ob交于c、d，pc和pd有怎样的数量关系，请说明理由9（2012秋房山区期末）已知在abc中，cab的平分线ad与bc的垂直平分线de交于点d，dmab与m，dnac交ac的延长线于n，你认为bm与cn之间有什么关系？试证明你的发现10（2013秋海安县月考）如图，d、e、f分别是abc的三条边上的点，ce=bf，dce和dbf的面积相等求证：ad平分bac11（2012春定陶县期末）如图，点d、b分别在a的两边上，c是a内一点，且ab=ad，bc=dc，cead，cfab，垂足分别为e、f求证：ce=cf典例探究答案：【例1】【解析】过点p作peba于e，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得pe=pf，然后利用hl证明rtpea与rtpfc全等，根据全等三角形对应角相等可得pae=pcb，再根据平角的定义解答证明：如图，过点p作peba于e，1=2，pfbc于f，pe=pf，在rtpea与rtpfc中，rtpeartpfc（hl），pae=pcb，bap+pae=180，pcb+bap=180点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键练1【解析】过点e作efab于f，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得de=ef，然后利用“hl”证明rtade和rtafe全等，根据全等三角形对应角相等可得aed=aef，全等三角形对应边相等可得ad=af，再根据等角的余角相等求出bec=bef，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得bc=bf，再利用ab=af+bf等量代换即可得证证明：如图，过点e作efab于f，ae平分bad，de=ef，在rtade和rtafe中，rtadertafe（hl），aed=aef，ad=af，aebe，aef+bef=aed+bec=90，bec=bef，又efab，cebc，bc=bf，ab=af+bf，ab=ad+bc点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键【例2】【解析】首先过点d作debc于e，过点d作dfab交ba的延长线于f，由bd平分abc，根据角平分线的性质，即可得de=df，又由ad=cd，即可判定rtcdertadf，则可证得bad+bcd=180证明：过点d作debc于e，过点d作dfab交ba的延长线于f，bd平分abc，de=df.在rtcde和rtadf中，rtcdertadf（hl），fad=bcd，bad+bcd=bad+fad=180点评：此题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌利用全等把相关角进行转化，使问题得解练2【解析】根据ad平分bac，作deab，dfac，由角平分线性质可知de=df，abd与acd等高，面积比即为底边的比证明：作deab，dfac，垂足为e、f，ad平分bac，de=df，sabd：sacd=（abde）：（acdf）=ab：ac点评：本题考查了角平分线性质，三角形计算面积的方法，关键是作辅助线，得出角平分线上一点到角的两边距离相等，又是这两个三角形的高课后小测答案：解答题1【解析】证明：过c作cfad于f，ac平分bad，fac=eac，ceab，cfad，dfc=ceb=90，afcaec，af=ae，cf=ce，adc+b=180fdc=ebc，fdcebcdf=eb，ab+ad=ae+eb+ad=ae+df+ad=af+ae=2ae，2ae=ab+ad2【解析】（1）过点o作oeac于e，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得ob=oe，从而求出oe=od，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；（2）利用“hl”证明abo和aeo全等，根据全等三角形对应角相等可得aob=aoe，同理求出cod=coe，然后求出aoc=90，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等可得ab=ae，cd=ce，然后证明即可证明：（1）过点o作oeac于e，abd=90，oa平分bac，ob=oe，点o为bd的中点，ob=od，oe=od，oc平分acd；（2）在rtabo和rtaeo中，rtabortaeo（hl），aob=aoe，同理求出cod=coe，aoc=aoe+coe=180=90，oaoc；（3）rtabortaeo，ab=ae，同理可得cd=ce，ac=ae+ce，ab+cd=ac点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键3【解析】（1）首先过d作dfba，垂足为f，再根据条件ab+bc=2be可得ab+ec=be，再证明rtbfdrtbed，可得fb=be，即ab+af=be，进而得到af=ec，然后再证明afdced可得dce=fad，再根据bad+fad=180，可得bad+bcd=180；（2）过d作dfba，垂足为f，首先证明dce=fad，再证明afdced，可得af=ec，然后证明rtbfdrtbed可得fb=be，再根据线段的和差关系可得ab+bc=2be（1）证明：过d作dfba，垂足为f，ab+bc=2be，ab=be+bebc，ab=be+bebeec，ab=beec，ab+ec=be，bd为abc的平分线，debc，dfba，df=de，在rtbfd和rtbed中，rtbfdrtbed（hl），fb=be，ab+af=be，又ab+ec=be，af=ec，在afd和ced中，afdced（sas），dce=fad，bad+fad=180，bad+bcd=180；（2）解：可以互换，结论仍然成立理由如下：过d作dfba，垂足为f，bad+fad=180，bad+bcd=180dce=fad，bd为abc的平分线，debc，dfba，df=de，在afd和ced中，afdced（aas），af=ec，在rtbfd和rtbed中，rtbfdrtbed（hl），fb=be，ab+af=be，ab=beaf=beec=be（bcbe）=bebc+be=2bebc，即：ab+bc=2be点评：此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握角平分线上的点到线段两端点的距离相等4【解析】过点p作peab，pfac，pgbg，垂足分别为e、f、g，再由角平分线的性质即可得出结论证明：过点p作peab，pfac，pgbg，垂足分别为e、f、g，bp是abc的平分线，pe=pgcp是acd的平分线，pf=pg，pe=pf，即点p到ab、ac的距离相等点评：本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，利用角平分线的性质求解是解答此题的关键5【解析】过d作dnac，dmab，分别表示出再dce和dbf的面积，再根据条件“dce和dbf的面积相等”可得到bfdm=dnce，由于ce=bf，可得结论dm=dn，根据角平分线性质的逆定理进而得到ad平分bac证明：过d作dnac，dmab，则sdbf=bfdm，sdce=dnce，sdce=sdbf，bfdm=dnce，ce=bf，dm=dn，ad平分bac点评：此题主要考查了角平分线的性质，关键是过d作出dce和dbf的高，再证明两高相等6【解析】首先过点p作pmad于点m，作pnbc于点n，作pgac于点g，由bp、cp分别是abc的外角cbd、bce的平分线，根据角平分线的性质，易证得pm=pn=pg，又由在角内部，且到角两边距离相等的点，在此角的平分线上，证得p点在bac的平分线上证明：过点p作pmad于点m，作pnbc于点n，作pgac于点g，bp、cp分别是abc的外角cbd、bce的平分线，pm=pn，pg=pn，pm=pg，p点在bac的平分线上点评：此题考查了角平分线的性质与判定此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用7【解析】首先证明moenod（sas），然后利用图形中的面积关系求得smdc=snec，已知，两三角形的底相等，所以它们的高也相等，它们的高即是cg，cf，所以点c在aob的平分线上证明：作cgoa于g，cfob于f，如图，在moe和nod中，om=on，moe为公共角，oe=od，moenod（sas）smoe=snodsmoes四边形odce=snods四边形odce，smdc=snec，om=on，od=oe，md=ne，由三角形面积公式得：dmcg=encf，cg=cf，又cgoa，cfob，点c在aob的平分线上点评：本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的逆定理而且考查了三角形全等判定和性质；所以学生所学的知识要系统正确作出辅助线是解题的关键8【解析】过p分别作peob于e，pfoa于f，由角平分线的性质易得pe=pf，然后由同角的余角相等证明1=2，即可由asa证明cfpdep，从而得证解答：答：pc=pd证明：过p分别作peob于e，pfoa于f，cfp=dep=90，om是aob的平分线，pe=pf，1+fpd=90，aob=90，fpe=90，2+fpd=90，1=2，在cfp和dep中，cfpdep（asa），pc=pd点评：此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用9【解析】连接bd，cd，由角平分线的性质可得dm=dn，线段垂直平分线的性质可得bd=cd，所以rtbmdrtcnd（hl），则bm=cn解答：解：bm=cn理由：连接bd，cd，ad平分bac，dmab，dnac，dm=dn，de垂直平分bc，bd=cd，在rtbmd与rtcnd中rtbdmrtcdn（hl），bm=cn点评：此题主要考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键10【解析】首先过d作dnac，dmab，分别表示出再dce和dbf的面积，再根据条件“dce和dbf的面积相等”可得到bfdm=dnce，由于ce=bf，可得结论dm=dn，根据角平分线性质的逆定理进而得到ad平分bac证明：过d作dnac，dmab，dbf