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华中师范大学 2005 2006 学年第一学期期末考试试卷（A卷）（解答）课程名称 数学分析3（试点班） 课程编号 83410006 任课教师 刘敏思 题型填空题计算题计算题证明题讨论题证明题证明题总分分值1020151515205100得分得分评阅人一、填空题（共5小题，每题2分，共25=10分）1、 .2、()(1-) = 其中() = ).3、= 0 (其中 ).4、设是上的一条有向光滑曲线 , 为上每一点的法线正向 , 写出与第一型曲线积分的关系 (用的方向余弦表示的关系). 5、设是上的一条围线 ,. 院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： - 密 - 封 - 线 -得分评阅人二、计算下列重积分 (共3小题 , 共20分)1、 , 其中是由直线 围成的有界区域 . 解：因，所以2、 , 其中是由直线 围成的有界区域 . 解：令，则的对应区域为， ，且 所以 原式= 3、 , 其中是由锥面与平面所围成的有界区域 .解：由于关于平面对称，且是关于的奇函数 ，从而又所以 原式= 第 1 页(共 3 页) 得分评阅人三、计算下列曲线积分（共2小题，共15分）1、 ,其中为球面与平面的交线 . 解：原式=，又根据轮换对称性，所以，原式=2、 ,其中为常数 , 为由点到点的上半圆周.解：补充有向直线段，由格林公式原式= =其中得分评阅人四、证明与计算题（共2小题，共15分） (1)、设在有界闭区域上连续 ，证明：存在，使得，其中为的面积。 (2)、利用(1)计算 ,其中,连续且. - 密 - 封 - 线 - 证明：（1）由连续函数性及积分的不等式性质，得 ，其中分别为在上的最大值与最小值。再由积分中值性，存在 使得，其中为的面积。（2）由（1）知 得分评阅人五、判断题（共2题，共15分）(1)、判断含参量反常积分在上的一致收敛性 (其中为正常数).(2)、利用(1)及可积性定理求积分值 .解：（1）因为 ，而收敛 由M判别法 得 在上的一致收敛性。（2）由于再由（1）及可积性 。 第 2 页(共 3 页) - 密 - 封 - 线 - 得分评阅人六、证明题（共1题，共20分） 设为上的单连通区域 , 在上具有二阶连续的偏导数 ,则在上的调和函数(即)的充要条件是:对于任意一条围线,总有 (其中为围线的外法线方向).证：必要性： 因 由题设和两类曲线积分的关系及格林公式得 其中是围成的有界闭区域。. 充分性：(反证法) 假设存在点,使得,不妨设由连续函数的局部保号性得 存在点的闭邻域, 使得在其中 记的边界为C , 由(1)的过程得 , 这与题设矛盾。 得分评阅人七、证明题（共1题，共5分）若在无界区域上连续 ,且在上一致收敛 ,则也收敛且在上一致收敛 .证明：由题设及含参量反常积分一致收敛的柯西准则，知 对任意 ，存在正数M，使得 当时，总有（）
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