3.蚂蚁怎样走最近

浅谈立体图形中最短路径问题的教学反思学情分析：本节将利用勾股定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动。学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力，并且在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础。 教学目标：1、 进一步熟练应用勾股定理；2、 通过道具直观演示，能将立体图形中两点的最短距离转化为平面展开图中两 点的最短距离，建立直角三角形模型求解；3、 通过探究过程感知数学立体几何与平面几何的关系，体会数学的美。学习重点：建立直角三角形模型，勾股定理的应用，培养分类讨论的思想；学习难点：立体几何中两点的最短距离转化为平面展开图中两点的最短距离，建立直角三角形模型。教学过程：今天我们探讨的主题是小蚂蚁寻蜜记，看看我们是怎样来帮小蚂蚁解决最短路径问题的。问题情境一：正方体的A点处有一只小蚂蚁,想去吃B点处的蜂蜜, 试问它的最短路线怎么走?（设计意图：通过问题复习公理：两点之间线段最短）.生：将AB两点连接起来。师：为什么？生：两点之间，线段最短。师：谢谢你，解释得清晰。师：最短距离首先我们想到的是？（两点之间线段最短），所以这个题直接连接AB两点，构造直角三角形，利用勾股定理求出斜边AB。师：同学们，王老师把这个三角形抽离开来，那么，我们一起来回顾勾股定理的具体内容是什么呢？生：、师：（黑板上板书）常用的勾股数有哪些？（3、4、5；5、12、13；）（设计意图：让学生回忆勾股定理的具体内容是什么？常用的勾股数有哪些？）自我挑战：师：现在我们将这个题稍微变一下，将点B的位置平移到这个点，请问此时小蚂蚁寻蜜的最短路程又该怎么求解呢？（停留片刻，等学生举手）生1：和刚才的一样，先沿斜线爬到原来的点B，然后再沿边棱长到达点B。师：这位同学将自己的想法勇敢的说出来了，值得表扬。你们认为还有其他的爬行路径吗？生2：先将这个立体图形展开成平面图，然后再将AB两点用线段连接。师：为什么要展开呢？生2：因为两点之间线段最短，要求最短距离，只能连接AB两点才是最短的。师：那怎么不直接连接呢？生2：AB两点不在同一平面内，所以不能直接连接的，所以我们就可以通过展开将AB两点放在同一平面上的。师：非常好，你成功的将立体图形中不在同一平面上的两点，通过展开放在了同一平面。这样就可以用线段直接连接，从而构造直角三角形，利用勾股定理求边长。也就是说，求立体图形中最短路径问题我们不能分开看每个面上最短距离，而应该考虑整体展开图中间的最短线段。（PPT动态演示）师：那请问有多少种最短路线的走法呢？小组讨论5分钟（要求学生：1.首先独立思考；2.以小组为单位, 合作探究蚂蚁爬行的最短路线；3.充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论，总结出最短路线。）师：请同学们在学案上完成本题：在边长为10的正方体的A点处有一只小蚂蚁,想去吃B点处的蜂蜜, 试问它的最短距离是多少?生：构建直角三角形，通过勾股定理求出斜边。师：那同学们，解决这个题，我们的步骤是怎样的呢？生：（边问边回答）立体图展开得到平面图，然后构造直角三角形，利用勾股定理求边长。（设计意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将立体最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念，将空间问题平面化.）问题情境二：师：希望通过寻蜜问题情境一，大家能清楚知道求解这类问题的几步骤。师：接下来进入我们寻蜜问题情境二，此时正方体变成了长方体，又会有什么不一样呢？（小组讨论，学生上台展示）每组学生展示：把长方体两个平面抽离出来，将所有可能的情况，都展示在黑板上。师：看来我要计算6次？生：重复了一次师：请你来告诉大家怎么去掉，同不同意？生：同意师：哪种路径最短？生：计算比较叫3个同学到黑板上板书（3分钟）师：谁的板书最规范，我们一起来纠正一下（教师进行点评），那么每一次遇到最短距离，我们都需要计算3次吗？生：不需要，只需要一次，展开图越接近正方形，斜边就越短。（设计意图：对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从正方体侧面到长方体侧面，渗透分类讨论思想。）师：非常好！看来同类型的问题已经难不倒大家了，现在我们将这个题稍微改一下，将蜂蜜由容器外改为容器内，那小蚂蚁该怎么爬行路径最短呢？（停留数秒）师：要一下子就解决这个问题，还是有一定的难度的。那么就当做今天的家庭作业！（回家做题过程中，我提出三点要求：一、画出平面展开图；二、在展开图中标出点A、B的位置；三、构造直角三角形将已知数据在图中标出来。）那么哪位同学能总结一下今天所学内容？生：、师：小蚂蚁寻蜜记到此就结束了，相信我们的小蚂蚁蜂蜜是肯定吃饱了（very delicious）。今天这节课，我们将立体图形展开成平面图形，利用轴对称、翻折等办法将异面的两点放在同一平面上，通过构造直角三角形，利用勾股定理来求解生活中常见的蚂蚁吃食的问题。直角三角形的性质很多并且应用很广，希望大家在以后的学习生活中，能用数学的眼光去看待问题，发现问题，用数学方法去解决问题，发现生活中的数学，发现不一样的美！教学反思：通过精心设计课件，让学生能运用勾股定理解决简单的实际问题。让学生学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养了学生的空间观念。在将实际问题抽象成几何图形过程中，学会观察图形，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。并在解决实际问题的过程中，通过追问和逼问的方式，目的是培养学生数学转化、建模、直观想象等核心素养。但在上课过程中，还是有3个小细节有待完善和思考：首先，学生不在同一平面的A、B两点最短路线探讨过程中，应让孩子们先独立思考，让学生在沉默中反思。这样更有益于知识的自然生成，而不是让学生来死记硬背数学思想。冷静的思维，才是数学教育成功的真谛。其次，在学生小组合作探讨完不在同一平面的A、B两点最短路径问题后，笔者叫3组1号学生回答时，他讲到最短路径会经过棱长的中点，正是一个很好的生成点，如果紧接着追问为什么经过中点，那么学生就会回答首先立体展平面，依据基本事实：两点之间线段最短，连接AB，并可以深挖出中位线的逆定理，从而使正方体表面上的异面两点间的最短路径问题迎刃而解，并且可以追问：如果是长方体，情况还相同吗？最后，讲立体图形中最短路径问题从正方体过渡到长方体时，学生小组讨论非常积极和投入，在同学们动手操作画出正方体六种展开图的基础上，学生很容易理解长方体的立体展开图也是6种，但在他们动手实践过程中，他们会发现前上和后下，前右和后左，右下和左上的情况是相同的，所以只要根据勾股定理计算3次就可以得出：在第2种情况下，线段AB是最短的。这时候笔者提问：同学们，你们发现了什么？8组2号同学主动举手，阐明自己的发现，越接近正方形，线段AB越短。这是学生一个非常棒的生成，学生数学思维碰撞出了火花。但由于时间限制，笔者也只是给与肯定，并没有拓展去讲解，打击了学生的积极性。课后自己思索研究并得出验证：在以上RtABC中，线段AC和线段BC的长度之和是固定的，所以笔者设线段AC为x，线段BC为y，建立直角坐标系，设一次函数y=-x+b。如图所示，可得：，因为在RtABC中，可知：，又因为线段AC为x，线段BC为y，所以。由此可得，在等腰RtCOD中，OE的长度就等于斜边AB长度，要想线段AB最短也就意味着线段OE最短