高中数学 1.7 定积分的简单应用1课件 新人教A版选修22.ppt

1 7定积分的简单应用 利用定积分的思想方法解决一些简单曲边图形的面积 变速直线运动的路程 变力作功等问题 本节重点 应用定积分的思想方法 解决一些简单的诸如求曲边梯形面积 变速直线运动的路程 变力作功等实际问题 本节难点 把实际问题抽象为定积分的数学模型 1 在利用定积分求平面图形的面积时 一般要先画出它的草图 再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上 下限 2 要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开 定积分是一种积分和的极限 可为正 也可为负或零 而平面图形的面积在一般意义下总为正 因此当f x 0时要通过绝对值处理为正 3 用定积分解决简单的物理问题 关键是要结合物理学中相关的内容 将物理问题转化为定积分解决 1 利用定积分求平面图形的面积的步骤 1 画出草图 在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象 2 借助图形确定出被积函数 3 确定积分的 需要求出交点的坐标 4 把所求转化为求曲边梯形的面积问题 上 下限 图形的面积问题 例1 如图 求曲线y x2与直线y 2x所围图形的面积s 分析 从图形上可以看出 所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差 进而可以用定积分求出面积 为了确定出积分的上 下限 我们需要求出直线和抛物线的交点的横坐标 点评 求平面图形的面积的一般步骤 1 画图 并将图形分割成若干曲边梯形 2 对每个曲边梯形确定其存在的范围 从而确定积分上 下限 3 确定被积函数 4 求出各曲边梯形的面积和 即各积分的绝对值之和 关键环节 认定曲边梯形 选定积分变量 确定被积函数和积分上 下限 知识小结 几种典型的曲边梯形面积的计算方法 求y x2与y x 2围成图形的面积s 解法2 若选积分变量为y 则三个函数分别为x y2 x 2 y x 3y 因为它们的交点分别为 1 1 0 0 3 1 点评 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形 在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化 通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标 可以将积分区间进行细化区段 然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和 在每个区段上被积函数均是由上减下 若积分变量选取x运算较为复杂 可以选y为积分变量 同时更改积分的上下限 求由曲线xy 1及直线y x y 2所围成的平面图形的面积 例3 有一动点p沿x轴运动 在时间t时的速度为v t 8t 2t2 速度的正方向与x轴正方向一致 求 1 p从原点出发 当t 6时 求点p离开原点的路程和位移 2 p从原点出发 经过时间t后又返回原点时的t值 解析 1 由v t 8t t2 0得0 t 4 即当0 t 4时 p点向x轴正方向运动 当t 4时 p点向x轴负方向运动 故t 6时 点p离开原点的路程 点评 路程是位移的绝对值之和 从时刻t a到时刻t b所经过的路程s和位移s 情况如下 将本例第 1 问中的t 6改为t 5 结果会怎样 例4 一物体按规律x bt3做直线运动 式中x为时间t内通过的距离 媒质阻力与速度的平方成正比 试求物体由x 0运动到x a时 阻力所做的功 点评 本题常见的错误是在计算所做的功时 误将w阻 t10f阻ds写为 t10f阻dt 设有一长25cm的弹簧 若加以100n的力 则弹簧伸长到30cm 求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功 解析 设x表示弹簧伸长的厘米数 f x 表示加在弹簧上的力 则f x kx 依题意 使弹簧伸长5cm 需力100n 即100 5k k 20 f x 20 x 由x 0到x 15 力f x 所作的功 答案 c 解析 y x3与y x为奇函数且x 0时 交于 0 0 和 1 1 2 已知自由落体的速率v gt 则落体从t 0到t t0所走的路程为 答案 c 3 如果1n能拉长弹簧1cm