2011年建模a题获奖论文.doc

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： J3446 所属学校（请填写完整的全名）： 西安理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 李 广 2. 吕图圆 3. 付之勇 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2011 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：城市表层土壤重金属污染分析摘要城市表层土壤是城市环境的重要组成部分，对整个城市的可持续发展有着重要的意义，表层土壤的受污染程度将直接关系到人类生产生活的健康和安全。研究人类活动影响下城市地质环境的演变模型，成为我们关注的焦点。针对问题一，通过用excel对附件1和附件2的数据进行处理，并用matlab分别画出了8种元素在整个城区的空间分布，得出五个不同功能区的污染状况为：工业区交通区生活区绿地山区。针对问题二，建立单因子污染指数模型，确定每个功能区主要的重金属污染元素，得到除山区没有受到Zn元素的污染外，五个功能区均有不同程度的污染。工业区的Hg污染最为严重，污染指数达到了7.86，是因为Hg是重要的工业金属元素，所以工业区的Hg元素浓度会相对较高；再建立内梅罗污染指数模型，对五个功能区的8种重金属元素污染状况进行综合分析，得到五个功能区的污染状况指数分别为：2.8561.163.322.04，其中工业区污染状况指数最大，山区污染状况指数最小，比较符合实际情况。针对问题三，通过采用熵权法求出每重金属元素对土壤污染的权重，求出所给319个采样点的综合污染指数，进而运用系数相关性原理求出对不同的功能区之间的相关系数，再采用相关性原理确定不同区污染指数间的相关程度，由此得到污染源的传播特征。最后建立高斯扩散模型，确定污染源的位置是：1号区内的地址坐标：（7302,5230），（8077,6041）（21418,10721），（9283,4311）。2号区内地址的坐标：（4948,5567），（5006,8846）（7106,9467），（7458,8920），（12644,14943）。针对问题四，首先评价了前面建立的模型，清晰地说明了模型的优缺点。针对缺点需要收集更多的信息来完善改进模型。收集了地表不同深度进行采样，采集每种重金属对环境影响的大小等信息。对重金属污染传播特性模型的改进：考虑比较不同功能区相同重金属元素之间的相关系数，然后按照第三问模型的方法得出同种元素在不同功能区的流动方向，从而确定各种重金属的传播特性，这样能更好的通过模型求出不同重金属元素的污染源，结果更加实际可靠。关键词：土壤污染，单因子，内梅罗，传播特征18一 问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（010 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。现要求通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？二 问题分析问题一的分析：对附件1给出的采样点信息和附件2给出的8种主要重金属元素在采样点的浓度数据，先进行筛选，给出一个合理的浓度区域，剔除明显过高或过低的不合理点，再对筛选出的点进行图像处理，给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布图，并据图分析该城区内不同功能区重金属的污染程度。问题二的分析：题目中要求找出重金属污染的主要原因，就是要找出对土壤环境污染影响最大的重金属元素，为此我们建立了单因子污染指数模型来对问题二进行说明，算出的第个功能区的第种重金属元素的单因子污染指数为对每个功能区的第种重金属元素的所有污染指数求平均值的结果。共求出40个平均值后，进行比较。再建立内梅罗模型，是对前面求出的40个平均值分区进行分析处理后的一个评价，从而对每个功能区的污染状况进行计算，得到的五个结果分别是五个功能区的风险指数，即污染状况，再以中华人民共和国土壤环境质量标准中的二级标准作为参照，对表层土壤重金属污染状况进行评价，以判定土壤重金属污染是否已经对表层土壤环境造成危害，产生生态风险。问题三的分析： 为了分析重金属污染的传播特征，并确定污染源的位置，我们先定义一个污染指数的概念，这个污染指数由该地点的8种重金属指标共同确定，也就是污染程度的一个总体评价。在把每个地点的污染指数确定好以后，可以把污染指数按照区的划分看做是该区污染指数的样本，运用统计学相关知识，计算每两个区之间的相关系数，根据相关系数绝对值的大小额，可以判断任意两个区污染之间的关系。当两个区的相关系数绝对值接近1的时候，表示这两个区污染物之间是直接传播；当两个区污染指数的相关系数绝对值接近0的时候，表示这两个区之间没有直接污染的关系。确定了分区之间的污染关联程度以后，可根据相关系数确定出不同分区之间污染物的流向，由第二问已经知道污染的主要原因，因此结合第二问的结果，我们可以找到污染物的主要来源。问题四的分析： 通过对所建模型的分析，找到优缺点，然后针对缺点，收集必要的信息，对所建模型进行改进。 三 模型假设1. 假设各个采样点能真实反映该网格内的土壤重金属浓度；2. 假设各种重金属不受土壤属性影响（如酸碱度，湿度等）3. 假设各种金属在土壤单位面积内扩散速率相等；4. 假设各种重金属在土壤中传播符合扩散定律；四 符号及变量说明第区元素的污染指数第种元素的背景值第区元素编号为的污染指数第区元素的污染指数第区元素的污染指数的平均值第区的土壤综合污染指数两个功能区之间的相关系数第区元素编号为的综合污染指数五 模型建立与求解问题一的模型建立与求解：对题中所给数据进行分析后发现，有的数据明显的不符合实际，因此我们对数据进行了一定的处理。即根据统计学知识现给出一个筛选范围：，对数据进行筛选。其中：样本均值： (1)样本标准差： (2)Matlab运行结果如图所示： 图1：As和Cd元素在整个城区的空间分布图其余三幅图见附录。五个不同的功能区的污染状况为：工业区交通区生活区绿地山区。问题二的模型建立与求解：问题二通过金属对土壤的污染指数来表现它的污染程度，最终分析污染的主要原因。1.单因子污染指数模型： （3） 分别对附件2中的每一个数据除以相应重金属元素的背景值得到污染指数，再求出每种金属污染指数的平均值，即得到不同的，如表1所示：表1：不同功能区土壤重金属污染检测分析表生活区工业区山区交通区绿地As平均值6.276.833.945.316.26污染指数1.741.771.091.481.74Cd平均值272.41393.11144.49338.70258.65污染指数2.093.021.112.991.99Cr平均值53.3346.7836.8949.8943.64污染指数1.721.511.191.611.41Cu平均值44.7658.9415.8552.7126.86污染指数3.44.471.23.992.03Hg平均值82.41274.9938.40125.6378.98污染指数2.357.861.093.592.26Ni平均值18.3419.8114.5516.7115.29污染指数1.491.541.181.361.24Pb平均值59.7374.5034.1660.2460.71污染指数1.941.96Zn平均值175.23204.7569.30194.81117.91污染指数2.542.9712.821.71通过对数据的分析发现每种元素都存在不同程度的污染，其中：As在各区土壤污染程度的大小为：工业区生活区绿地交通区山区；Cd，Cu，Hg，Zn在各区土壤污染程度的大小为：工业区交通区生活区绿地山区；Cr在各区土壤污染程度的大小为：生活区交通区工业区绿地山区；Ni在各区土壤污染程度的大小为：工业区生活区交通区绿地山区；Pb在各区土壤污染程度的大小为：工业区交通区生活区绿地山区；2.内梅罗污染指数模型： （4）其中： (5)对表1的数据进行上式的处理，就会得到每个功能区的土壤重金属污染状况风险评价值，如表2所示：表2：不同功能区土壤重金属污染检测风险指数分析生活区工业区山区交通区绿地综合污染指数2.856001.163322.04得到综合污染指数：工业区交通区生活区绿地山区。表3：土壤综合污染状况评价分析标准等级划分土壤综合污染指数污染等级1安全级2警戒级3轻度污染4中度污染5重度污染通过对模型的出的数据进行分析：我们得到不同类区同种重金属元素的污染程度的比较图（图5）和不同类区各种重金属的污染程度图（图6）。图5：不同功能区8种重金属元素污染指数比较图6：同一功能区8种重金属元素污染程度比较从图中我们可以看到这个城区的Ni浓度是最低的，但在生活区和公园绿地区它的平均含量是所有区域中最高的。Ni主要来自土壤母质，而生活区和公园绿地区的绿化面积比较大，一些树木的树龄也比较大，为了更好的保护树木花草的健康成长，就会常年的施一些含有Ni的化肥，经过常年的累积就会致使这两个区域的土壤里的Ni污染比较严重。而Hg在土壤的污染很严重, 污染区域大多集中于某一工业区或某大型污染企业, 其来源较单一，废气和废水排放是其污染的主要来源。例如, 火力发电、钢铁冶炼、水泥制造、垃圾焚烧及燃煤锅炉等都可能成为大气Hg的排放源，所以在工业区和主干道路区Hg的含量的是最高的。 还有在生活区和工业区Cu的积累量是相当大的,即不同的人类活动造成城市土壤中不同类型的重金属积累。有机肥、化肥和农药的大量使用，是土壤中的Cu污染的主要途径。其形成污染的主要原因可能是来自一些大型的矿工企业、农业活动及交通等共同作用所造成的。在不同工矿企业周围,Cu含量也表现出明显的特性,如Cu矿冶炼厂废弃物的排放即可导致其周边城市土壤Cu 含量增高。 城区的Zn、Cd浓度是较高的，Zn、Cd在土壤中的主要来源有污水灌溉、垃圾堆肥以及大量使用的农药、化肥带来的污染以及工业废水。在生活区，一些人会以务农为业，所以长年的长期耕种一些农作物，并对他们进行长年的施肥施农药以及灌溉污水，当然还有居民生活制造的大量垃圾，致使含有大量的垃圾堆肥的产生。主干道路区以及公园绿地区的Zn、Cd含量比较高主要是因为同时公园与花园绿化过程中污水、污泥堆肥的广泛使用也明显影响到城市土壤中的重金属组成与含量。城区的Cr污染还不是很严重平均浓度在36.8952.37之间，它的污染在生活区域表现得最为明显，因为Cr的含量主要受成土母质的影响。Pb的来源广泛，可能来源于工业“三废”排放、污水灌溉和交通运输。其中，燃煤和交通运输可能是其重要的来源。交通运输所用各种工具，如汽车、飞机等使用的汽油燃烧后可把含Pb的化合物排入大气，使得机场附近和交通道路两侧的土壤严重污染。As的含量也是主要来自土壤母质，其含量大约为Ni的两倍，最高可达22.9。 问题三的模型建立与求解：污染程度（指数）的确定：根据题目已知条件，每个地点的污染是由8种重金属元素影响的，为了定义污染指数，需要全面充分考虑这8种重金属的污染程度。根据我们的假设，污染程度是评价本题中重金属污染最直观且最实用的参数，该参数表示的是被检测重金属超标与否。 首先，将数据进行归一化处理，其计算公式如下： (6) 其中，为归一化的元素；归一化后的矩阵见附录1。在确定评价指标的熵权值时，本文规定其运算公式如下： (7) 其中,为调节系数，且。定义第个重金属的差异系数为，且 (8)将评价指标的熵值转化为权重值： (9)可得不同功能区各采样点的综合指标值： (10)综合指标值越小，则污染程度越小。我们用该综合值来表示污染程度的大小。下面数据给出了五个功能区的污染程度值（1-100之间），可以把他们看做污染程度的样本。（见附录） 根据数据表格，我们可以将污染指数的值看成污染指数的样本，只需要计算出任意两个分区污染指数的相关系数就可以确定污染传播的特征。正与前面所说的那样，当两个区的相关系数绝对值接近1的时候，表示这两个区污染物之间是直接传播；当两个区污染指数的相关系数绝对值接近0的时候，表示这两个区之间没有直接污染的关系。下面就计算分区之间的相关系数。在统计学中，相关系数定义如下： （11），的协方差： （12） 变量的标准差： （13） 因此，相关系数可表现为如下形式： （14）相关系数有如下性质：当时，表示与存在着一定的线性关系。的数值愈接近于1，表示与的相关程度愈高；愈接近0，表示与的相关程度愈低。通常的判断标准为为微弱相关，称为低度相关，称为显著相关，称为高度相关或者强相关。称为完全相关，即表示与呈线性关系。时表示的变化与无关，两者之间完全没有线性相关的关系。各区之间的相关系数见下表：表6：相关系数表（交叉处相关系数） 分区号12345110.100.080.010.3020.1010.230.51-0.2530.080.2310.210.3040.010.510.211-0.3350.30-0.250.30-0.331根据以上表中数据，我们可以看到，2、3、4类区与1类区之间的相关系数都在0.1以内，按照上述分类为微弱相关，即2、3、4类区与1类区之间的污染物传播的特征并不明显，没有直接关联，同时1、3、4类区与5类区的相关系数均在0.3以上，根据上述判断标准，称为低度相关相关，即1、3、4类区与5类区之间的污染具有低度相关的特征，可认1、3、4类区与5类区具有直接的污染传播关系。而最明显的是2类区与4类区相关系数达到0.51，呈显著相关。因此，可根据以上数据和实际情况分析判断，这8种重金属污染物的传播主要特征是有1、2、4号区的污染物向3、5号区流动，因此可判断污染物的主要来源在1、2、4号区。在时刻，在空间任意一点处的重金属污染物浓度可记为。据单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比，有： （15）是扩散系数，表示梯度，散符号的正负表示重金属污染物扩散方向假设土壤中一空间域，其体积为，包围的曲面为，为一规则的球面，外法线向量为。则在内通过的重金属污染物流量为： （16）而内重金属污染物的增量为： （17） 从从污染源扩散的金属污染物的总量为： （18） 根据质量守恒定律可知： （19）即，（20）又根据曲面积分的Gauss公式： (其中是散度记号) （21） （22）由以上两式得：即为： （23）且 （24） 解得： （25）这样我们便确定了距离污染源处时刻的污染浓度，据相关数据我们用matlab软件确定方程（24），据此我们求得了污染源坐标位置。主要污染源地址的坐标是：1号区内的地址坐标是：（4777,4897），（2486,5999），（7302,5230），（8077,6041），（21418,10721），（9283,4311）2号区内地址的坐标是：（4948,5567），（5006,8846），（7106,9467），（7458,8920）（12644,14943）问题四的模型建立与求解模型的优点：1.本模型在解决问题一时，使用的是matlab软件作图，空间立体效果好，容易观察出具体污染物的分布位置。2.在处理第二问的时候的时候，用的是单因子分析法，具有较好的科学性。3.处理第三问的时候，我们采用统计的分析方法，数据处理精确。在对数据进行处理之前，每一步都有详细的推导过程，理论证明充分。模型的缺点：1.由于题中的数据是按网格离散划分的，没有连续性，因此得到的问题的解可能会与实际有偏差。2.在查找污染物的源头时，我们只能确定在所给定的地区块内，无法确定更加具体的地点。3.对于每种重金属元素对环境的污染程度和人对人体的伤害程度我们是都看成一样的，实际上每种重金属元素的影响因子其实不一样。为了建立更好的模型多需的信息在模型缺点中已经提到了一些不足，为了建立更加精确地模型，我们应当收集如下信息：1、 对网格进行加密，也就是将区块的划分范围减小，这样能提高模型的精度。2、 对地表不同深度进行采样，进行对比。3、 采集每种重金属对环境影响的大小，将其加入模型中，提高模型的可用性。4、 一切以人为本，必须考察每种重金属元素对人体的伤害程度，这样可提高重金属元素对环境影响的精确度。对重金属污染传播特性模型的改进部分：（1） 在使用内梅罗指数法时我们对求出来综合污染指数做进一步处理，具体方法如下： 的算术平均值: （26） 的几何均数: （27） 最后我们用作为土壤综合污染指数: （28）其中： ， （29） （30）（2）对于第三问的模型，首先我们可以对重金属污染传播特性模型的改进：我们可以考虑比较不同功能区相同重金属元素之间的相关系数，然后按照原来模型中的方法得出同种元素在不同功能区的流动方向，从而确定各种重金属的传播特性，这样能更好的通过模型求出不同重金属元素的污染源，结果更加实际可靠。六 结果分析问题一的结果为：五个不同的功能区的污染状况为：工业区交通区生活区绿地山区。因为工业区每天都进行大量的工业生产，产生并排放大量的工业重金属污染物，所以污染状况应该位于五个功能区的首位；交通区每天都会有大量的汽车经过，汽车排放的尾气中含有大量的重金属元素，但又因为汽油是经过工业提炼净化的，所以尾气中的污染物没有工业区的废渣废水废弃多，所以污染状况仅次于工业区；生活区因为要居住大量人口，所以环境污染要轻。但是人们在日常生活中又会产生生活垃圾，涉及到重金属元素的污染，所以污染状况次于工业区和交通区；绿地区因为种植有大量的植物，植物具有净化能力，会净化掉一部分污染，所以污染状况次于生活区；山地区地处山区，受到人类生产生活的影响最小，所以污染程度最低，污染状况排于五个功能区的最后。问题二的结果为：工业区交通区生活区绿地山区，与预期值较吻合。所得污染指数比较符合工业区，交通区污染物排放量大的特性和绿地，山区污染小的常识。问题三的结果为：我们分别计算出任何两个区域之间的相关系数，然后根据相关系数的大小判断出污染物的传播特征，再结合第二问的结果，即可确定污染源的坐标位置。七 模型评价与推广优点：1.在解决问题一时，使用的是Matlab软件作图，空间立体效果好，容易观察出具体污染物的分布位置。2.在处理第二问的时候用的是单因子分析法，具有较好的科学性。3. 处理第三问的时候我们采用统计的分析方法，数据处理精确。在对数据进行处理之前，每一步都有详细的推导过程，理论证明充分。缺点：1.由于题中的数据是按网格离散划分的，没有连续性，因此得到的问题的解可能会与实际有偏差。2.在查找污染物的源头时，我们只能确定在所给定的地区块内，无法确定更加具体的地点。3.对于每种重金属元素对环境的污染程度和人对人体的伤害程度我们是都看成一样的，实际上每种重金属元素的影响因子其实不一样。模型的推广：问题三的模型在确定污染物源位置的时候，是先对每个地点的污染物做出整体评价后，再针对污染指数的相关性找出污染物的传播的特征，再结合第一问的结果进而确定污染源的位置。该模型是从整体上综合确定污染源的位置，是从8种重金属总体对环境的影响出发的。同理，也可以从单一重金属方面确定污染源，也就是在确定了污染源所在的分区之后，可以以单独某一种重金属元素进行考察，所用方法和前述方法是一样的，这样就可以确定具体重金属元素的污染源的位置。八 参考文献1 余健,芜湖市不同功能区土壤重金属污染状况与环境质量评价 2011-9-102 Gallego J L R, OrdezA, Loredo J1 Investigation of trace element sources from an Industrialized area (Avils, northern Spain) using multivariate statistical methods J 1 Environment International,27 (7) : 589 5961,2002;3 Miguel D E, J imenezD GM, Llamas J F, et al1 The overlooked contribution of compost app lication to the trace element load in the urban soil ofMadrid ( Spain) J 1 The Science of the Total Environment,215 (1 - 2) : 113 1221,1998;4 王应刚, 辛晓云, 郭翠花, 太原市土壤中汞污染及成因研究 J , 生态学杂志，22 (5) 4042，2003；5 雒昆利, 王斗虎, 谭见安等, 西安市燃煤中铅的排放量及其环境效应 J , 环境科学，23 (1) 123125 ，2002.九 附录图2：Pb和Zn元素在整个城区的空间分布图图3：Cr和Cu元素在整个城区的空间分布图图4：Hg和Ni元素在整个城区的空间分布图表4:1类区污染程度评价值地点编号污染指数地点编号污染指数地点编号污染指数123.85721.741951.20132.64940.921980.94165.641060.561990.99185.251072.162432.31205.391523.152540.84212.611546.642582.08233.611561.542591.23250.701572.272671.51334.861581.322680.95364.251762.712692.85396.351802.132722.73422.781832.372733.15631.231841.172761.59671.701861.182061.22682.101871.42表5:2类区污染程度评价值地点编号污染指数地点编号污染指数地点编号污染指数415.52265.112701.83621.452283.922712.4385.082302.792742.95294.562315.92757.263012.582324.652771.37315.462332.102781.781030.862371.351533.322381.841772.052392.921850.912462.991971.502472.922215.912481.052233.17249 1.182244.522554.7422510.362621.19表6:3类区污染程度评价值地点编号污染指数地点编号污染指数地点编号污染指数621.1561231.012171.43760.561240.742181.93801.221251.142191.51811.161260.842200.89821.521271.372511.50921.271280.902801.761001.831291.962810.881011.061310.712820.891042.001320.742860.681081.571331.162871.041091.161340.762880.881101.071351.422901.641110.941360.672911.081121.151370.452951.161141.571380.992961.151151.151891.072971.081160.681941.312981.331171.072071.112991.141190.992091.643000.991201.382100.883010.981210.992110.973021.061220.762172.173021.57表7:4类区污染程度评价值地点编号污染指数地点编号污染指数地点编号污染