高考数学 8.5椭圆配套课件 文 新人教A版.ppt

第五节椭圆 1 椭圆的定义设f1 f2 m分别为平面内的两个定点与动点 若 2a 且2a f1f2 则点m的轨迹为椭圆 叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离 f1f2 叫做椭圆的 mf1 mf2 焦距 两个定点 2 椭圆的标准方程和几何性质 a a b b b b a a 坐标轴 原点 a 0 a 0 0 b 0 b 0 a 0 a b 0 b 0 2c 0 1 b2 c2 2a 2b 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与两个定点f1 f2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 2 椭圆上一点p与两焦点f1 f2构成 pf1f2的周长为2a 2c 其中a为椭圆的长半轴长 c为椭圆的半焦距 3 方程表示焦点在y轴上的椭圆 4 椭圆的离心率e越大 椭圆就越圆 5 椭圆既是轴对称图形 又是中心对称图形 6 直线l与椭圆c相切的充要条件是 直线l与椭圆c只有一个公共点 解析 1 错误 由椭圆的定义知 当该常数大于 f1f2 时 其轨迹才是椭圆 而常数等于 f1f2 时 其轨迹为线段f1f2 常数小于 f1f2 时 不存在图形 2 正确 由椭圆的定义得 pf1 pf2 2a 又 f1f2 2c pf1 pf2 f1f2 2a 2c 3 错误 方程可化为 其中4 故其表示焦点在x轴上的椭圆 4 错误 因为所以e越大 则越小 椭圆就越扁 5 正确 由椭圆的对称性知 其关于原点中心对称 也关于两坐标轴对称 6 正确 直线l与椭圆c只有一个公共点 则直线l与椭圆c相切 反之亦成立 答案 1 2 3 4 5 6 1 已知椭圆上一点p到椭圆一个焦点f1的距离为3 则p到另一个焦点f2的距离为 a 2 b 3 c 5 d 7 解析 选d a 5 且 pf1 3 pf1 pf2 10 pf2 10 3 7 2 椭圆的焦点坐标为 5 0 和 5 0 椭圆上一点与两焦点的距离和是26 则椭圆的方程为 a b c d 解析 选a 已知c 5 2a 26 a 13 又焦点在x轴上 故方程为 3 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率是 a b c d 解析 选b 由已知得4b 2a 2c 即a c 2b 又b2 a2 c2 有 a c 2 4 a2 c2 即3a2 2ac 5c2 0 亦即 5 2 2 3 0 解得 或 1 舍去 e 4 3 m 5 是 方程表示椭圆 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选b 方程表示椭圆 故方程表示椭圆 可得 3 m 5成立 但 3 m 5时 如m 1却不表示椭圆 故选b 则 解得 3 m 5且m 1 5 已知椭圆的离心率则m的值为 解析 当焦点在x轴上时 0 m 5 a2 5 b2 m c2 5 m 又 解得m 3 当焦点在y轴上时 m 5 a2 m b2 5 c2 m 5 又 解得综上可知m 3或答案 3或 6 已知椭圆的短轴长为6 离心率为 则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为 解析 因为椭圆的短轴长为6 所以b 3 又因为离心率为 所以 又因为a2 b2 c2 解 组成的方程组得 a 5 c 4 所以 焦点到长轴端点的距离为 a c 9或a c 1 答案 9或1 考向1椭圆的定义及应用 典例1 1 2013 珠海模拟 在 abc中 点b 12 0 c 12 0 且ac ab边上的中线长之和等于39 则 abc的重心的轨迹方程为 2 2013 镇江模拟 已知f1 f2是椭圆c a b 0 的两个焦点 p为椭圆c上的一点 且若 pf1f2的面积为9 则b 思路点拨 1 先寻找到 abc的重心与两定点b c的关系 再根据椭圆的定义求出轨迹方程 2 关键抓住点p为椭圆c上的一点 从而依据定义有 pf1 pf2 2a 再利用求出 pf1 pf2 即得b值 规范解答 1 如图 设m是 abc的重心 bd是ac边上的中线 ce是ab边上的中线 由重心的性质知 bm bd cm ce 于是 mb mc bd ce bd ce 39 26 又26 bc 24 根据椭圆的定义知 点m的轨迹是以b c为焦点的椭圆 2a mb mc 26 a 13 又2c bc 24 c 12 b2 a2 c2 132 122 25 故所求的轨迹方程为 y 0 答案 y 0 2 由题意知 pf1 pf2 2a pf1 2 pf2 2 f1f2 2 4c2 pf1 pf2 2 2 pf1 pf2 4c2 2 pf1 pf2 4a2 4c2 4b2 pf1 pf2 2b2 b 3 答案 3 互动探究 将本例 2 中条件 pf1f2的面积为9 分别改为 f1pf2 60 则结果如何 解析 由题意得 pf1 pf2 2a 又 f1pf2 60 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos60 f1f2 2 pf1 pf2 2 3 pf1 pf2 4c2 3 pf1 pf2 4a2 4c2 4b2 pf1 pf2 b2 b 3 拓展提升 椭圆定义的应用及焦点三角形 1 2 椭圆上一点p与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为 焦点三角形 利用定义可求其周长 利用定义和余弦定理可求 pf1 pf2 通过整体代入可求其面积等 提醒 利用椭圆的定义定形状时 一定要注意常数2a f1f2 这一条件 变式备选 2013 湛江模拟 已知a 3 0 b 3 0 pa pb 6 则点p的轨迹为 解析 设p的坐标为p x y pa pb 6 化简可得y 0 3 x 3 即线段ab 答案 线段ab 考向2椭圆的标准方程与几何性质 典例2 1 2012 江西高考 椭圆 a b 0 的左 右顶点分别是a b 左 右焦点分别是f1 f2 若 af1 f1f2 f1b 成等比数列 则此椭圆的离心率为 2 2012 广东高考 在平面直角坐标系xoy中 已知椭圆c a b 0 的离心率e 且椭圆c上的点到q 0 2 的距离的最大值为3 求椭圆c的方程 在椭圆c上 是否存在点m m n 使得直线l mx ny 1与圆o x2 y2 相交于不同的两点a b 且 oab的面积最大 若存在 求出点m的坐标及相对应的 oab的面积 若不存在 请说明理由 思路点拨 1 根据椭圆的几何性质 利用数形结合的思想 将 af1 f1f2 f1b 用含a c的代数式表示 再由其成等比数列构建a c的方程 转化为关于离心率e的方程 得e 2 先根据e 将a用b表示 再根据椭圆c上任意点p x y 满足椭圆c的方程 将 pq 表示为y的函数 求其最大值 从而求出b 得c的方程 可求出原点到直线l的距离 进而求出 ab 的长 即可求出再根据m m n 在椭圆上 即从而确定出m n的值 问题得解 因而 规范解答 1 由几何性质知 af1 a c f1f2 2c f1b a c 又三者成等比数列 所以 f1f2 2 af1 f1b 即4c2 a2 c2 a2 5c2 所以答案 2 由得a b 椭圆c 即x2 3y2 3b2 设p x y 为椭圆c上任意一点 则 pq 若b 1 则 b 1 当y b时 得b 1 舍去 若b 1 则 b 1 当y 1时 得b 1 椭圆c的方程为 假设存在点m m n 满足题意 则即设原点到直线l mx ny 1的距离为d 则 当且仅当1 即亦即时 s oab max m 或m 显然存在这样的点m 或m 或m 或m 使s aob最大 最大值为 拓展提升 1 用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 1 作判断 根据条件判断椭圆的焦点在x轴上 还是在y轴上 还是两个坐标轴都有可能 2 设方程 根据上述判断设方程 a b 0 或 a b 0 3 找关系 根据已知条件 建立关于a b c的方程组 4 得方程 解方程组 将解代入所设方程 即为所求 提醒 当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时 可设为 m 0 n 0 m n 也可设为ax2 by2 1 a 0 b 0且a b 2 利用椭圆几何性质的注意点及技巧 1 注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围 或者最值时 经常用到椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等不等关系 2 利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 3 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式 或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 提醒 椭圆离心率的范围 0 e 1 变式训练 2013 长沙模拟 已知椭圆c1 a b 0 的右焦点为f 上顶点为a p为c1上任一点 mn是圆c2 x2 y 3 2 1的一条直径 若与af平行且在y轴上的截距为的直线l恰好与圆c2相切 1 求椭圆c1的离心率 2 若的最大值为49 求椭圆c1的方程 解析 1 由题意可知直线l的方程为因为直线l与圆c2 x2 y 3 2 1相切 所以即a2 2c2 从而e 2 设p x y 则 c 0 即x2 2y2 2c2 又 x2 3 y 2 1 y 3 2 2c2 17 c y c 当c 3时 解得c 4 此时椭圆方程为 当0 c 3 解得但 3 故舍去 综上所述 椭圆c1的方程为 考向3直线与椭圆的位置关系 典例3 2013 梅州模拟 已知在平面直角坐标系xoy中的一个椭圆 它的中心在原点 左焦点为f 0 右顶点为d 2 0 设点a 1 1 求该椭圆的标准方程 2 若p是椭圆上的动点 求线段pa中点m的轨迹方程 3 判断过原点o且斜率为k k r 的直线与椭圆的位置关系 若相交 设交点为b c 求 abc面积的最大值 思路点拨 1 关键是判断焦点所在位置 求出a b的值 2 利用代入法 相关点法 求轨迹方程 3 写出直线bc方程 求出其与椭圆交点的坐标 进而求出 bc 从而构建目标函数求最值 规范解答 1 由已知得椭圆的半长轴a 2 半焦距c 则短半轴b 1 又椭圆的焦点在x轴上 椭圆的标准方程为 2 设线段pa的中点为m x y 点p的坐标是 x0 y0 由点p在椭圆上 得 线段pa中点m的轨迹方程是 由 得 3 由已知得该直线方程为y kx 代入得 1 4k2 x2 4 0 其中 02 4 1 4k2 4 16 1 4k2 0 所以直线与椭圆恒相交 当相交于b c两点时 由 解得从而得b c 则 又点a到直线bc的距离 abc的面积于是由得其中 当时 等号成立 s abc的最大值是 拓展提升 1 直线与椭圆位置关系判断的四个步骤第一步 建立直线与椭圆的方程 第二步 联立直线方程与椭圆方程 第三步 消元得出关于x 或y 的一元二次方程 第四步 当 0时 直线与椭圆相交 当 0时 直线与椭圆相切 当 0时 直线与椭圆相离 2 直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为a x1 y1 b x2 y2 则 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 变式训练 2013 肇庆模拟 一动圆与圆o1 x 1 2 y2 1外切 与圆o2 x 1 2 y2 9内切 1 求动圆圆心m的轨迹l的方程 2 设过圆心o1的直线l x my 1与轨迹l相交于a b两点 请问 abo2 o2为圆o2的圆心 的内切圆n的面积是否存在最大值 若存在 求出这个最大值及直线l的方程 若不存在 请说明理由 解析 1 设动圆圆心为m x y 半径为r 由题意 得 mo1 r 1 mo2 3 r mo1 mo2 4 由椭圆定义知m在以o1 o2为焦点的椭圆上 且a 2 c 1 b2 a2 c2 4 1 3 动圆圆心m的轨迹l的方程为 2 如图 设 abo2内切圆n的半径为r 与直线l的切点为c 则 abo2的面积当最大时 r也最大 abo2内切圆的面积也最大 设a x1 y1 b x2 y2 y1 0 y2 0 则 由得 3m2 4 y2 6my 9 0 解得 令则t 1 且m2 t2 1 有令则 当t 1时 f t 0 f t 在 1 上单调递增 有f t f 1 4 即当t 1 m 0时 4r有最大值3 得这时所求内切圆的面积为 存在直线l x 1 abo2的内切圆n的面积最大 最大值为 满分指导 解答直线与椭圆相交的综合问题 典例 12分 2012 陕西高考 已知椭圆c1 椭圆c2以c1的长轴为短轴 且与c1有相同的离心率 1 求椭圆c2的方程 2 设o为坐标原点 点a b分别在椭圆c1和c2上 求直线ab的方程 思路点拨 规范解答 1 由已知可设椭圆c2的方程为 a 2 2分其离心率为 故 则a 4 4分故椭圆c2的方程为 5分 2 方法一 a b两点的坐标分别记为 xa ya xb yb 由及 1 知 o a b三点共线且点a b不在y轴上 因此可设直线ab的方程为y kx 7分将y kx代入中 得 1 4k2 x2 4 所以 8分 将y kx代入中 得 4 k2 x2 16 所以 9分又由得即 10分解得k 1 11分故直线ab的方程为y x或y x 12分 方法二 a b两点的坐标分别记为 xa ya xb yb 由及 1 知 o a b三点共线且因此可设直线ab的方程为y kx 7分将y kx代入中 得 1 4k2 x2 4 所以 8分由得 9分 将xb2 yb2代入中 得即4 k2 1 4k2 10分解得k 1 11分故直线ab的方程为y x或y x 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2012 新课标全国卷 设f1 f2是椭圆e a b 0 的左 右焦点 p为直线上一点 f2pf1是底角为30 的等腰三角形 则e的离心率为 a b c d 解析 选c 由题意可得 pf2 f1f2 3a 4c 2 2012 山东高考 已知椭圆c a b 0 的离心率为 双曲线x2 y2 1的渐近线与椭圆c有四个交点 以这四个交点为顶点的四边形的面积为16 则椭圆c的方程为 a b c d 解析 选d 因为椭圆的离心率为 a 2b 椭圆方程为x2 4y2 4b2 又双曲线x2 y2 1的渐近线方程为x y 0 渐近线x y 0与椭圆x2 4y2 4b2在第一象限的交点为 由椭圆的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 4 b2 5 a2 4b2 20 椭圆c的方程为 3 2013 中山模拟 设f1 f2分别是椭圆e 0 b 1 的左 右焦点 过f1的直线与e相交于a b两点 且 af2 ab bf2 成等差数列 则 ab 的长为 解析 由椭圆定义知 af2 ab bf2 4a 又a 1 af2 ab bf2 4 由已知 af2 ab bf2 成等差数列 af2 bf2 2 ab 由 解得 ab 答案 4 2012 天津高考 已知椭圆 a b 0 点p 在椭圆上 1 求椭圆的离心率 2 设a为椭圆的左顶点 o为坐标原点 若点q在椭圆上且满足 aq ao 求直线oq的斜率的值 解析 1 因为点p 在椭圆上 故可得于是 2 设直线oq的斜率为k 则其方程为y kx 设点q的坐标为 x0 y0 由条件得整理得 由 aq oa a a 0 y0 kx0 得 x0 a 2 k2x02 a2 整理得 1 k2 x02 2ax0 0 x0 0 代入 整理得 1 k2 2 4k2 2 4 由 1 知故 1 k2 2 k2 4 即5k4 22k2 15 0 k2 5 所以直线oq的斜率为 1 设椭圆 a b 0 的离心率为右焦点f c 0 方程ax2 bx c 0的两个实数根分别为x1 x2 则点p x1 x2 a 必在圆x2 y2 2上 b 必在圆x2 y2 2外