高考数学 第七章 第五节 平面与平面垂直课件 理 苏教版.ppt

第五节平面与平面垂直 1 二面角 1 二面角的定义一条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做 每个半平面叫做 如图的二面角 可记作 二面角 或二面角 或二面角 两个半 平面 二面角的棱 二面角的面 l ab m ab n 2 二面角的平面角如图 从二面角 l 的棱l上任取一点o在两个半平面内分别作ob l oa l 则 就叫做二面角 l 的平面角 3 二面角的平面角的范围设二面角的平面角为 则 0 aob 2 平面与平面垂直 1 定义 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 2 平面与平面垂直的判定定理 垂线 l 3 平面与平面垂直的性质定理 交线 l l l a 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 异面直线所成的角与二面角的取值范围均为 0 2 二面角是指两个相交平面构成的图形 3 若两个平面垂直 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 4 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 则 5 垂直于同一个平面的两个平面平行 解析 1 错误 异面直线所成角的范围是 0 而二面角的范围是 0 2 错误 二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 3 错误 若平面 平面 则平面 内的直线l与 可平行 可相交 也可在平面 内 4 错误 平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 不能保证该直线垂直于此平面 故不能推出 5 错误 垂直于同一个平面的两个平面可能平行 也可能相交 答案 1 2 3 4 5 1 设 为不重合的平面 m n为不重合的直线 则下列命题正确的是 填序号 1 若 n m n 则m 2 若m n m n 则n 3 若n n m 则m 4 若m n m n 则 解析 1 错误 如图 所示 n m n 但m 2 错误 如图 所示 m n m n 但n与 不垂直 3 正确 n n 又 m m 4 错误 如图 所示 m n m n 但 答案 3 2 已知 表示两个不同的平面 m为平面 内的一条直线 则 是 m 的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 解析 由条件知 当m 时 一定有 但反之不一定成立 故填必要不充分 答案 必要不充分 3 若平面 平面 平面 平面 平面 平面 直线l 则直线l与平面 的关系是 解析 l 理由如下 取p 但pl 过p作 与 的交线的垂线pa 由 知pa 故l pa 过p作 与 的交线的垂线pb 由 知pb 故l pb 又pa pb p 故l 答案 l 4 将正方形abcd沿ac折成直二面角后 dab 解析 如图 取ac的中点o 连结do bo 则do ac bo ac 故 dob为二面角的平面角 从而 dob 90 设正方形边长为1 则do bo 所以db 1 故 adb为等边三角形 所以 dab 60 答案 60 考向1面面垂直的判定 典例1 如图所示 abc为正三角形 ce 平面abc bd ce ce ca 2bd m是ea的中点 求证 1 de da 2 平面bdm 平面eca 思路点拨 1 由于ce 2bd 故可考虑取ce的中点f 通过证明 def adb来证明de da 2 证明面面垂直 应先证明线面垂直 规范解答 1 如图所示 取ce的中点f 连结df ec 平面abc ec bc bd ce bd ce cf fe 四边形fcbd是矩形 df ec 又ba bc df rt def rt adb de da 2 如图所示 取ac中点n 连结mn nb m是ea的中点 mnce 由bdce 且bd 平面abc 可得四边形mnbd是矩形 于是dm mn de da m是ea的中点 dm ea 又ea mn m dm 平面eca 而dm 平面bdm 平面bdm 平面eca 拓展提升 证明面面垂直的两种思路 1 用面面垂直的判定定理 即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线 2 用面面垂直的定义 即证明两个平面所成的二面角是直二面角 把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题 变式训练 2013 常州模拟 如图的几何体中 ab 平面acd de 平面acd acd为等边三角形 ad de 2ab 2 f为cd的中点 1 求证 af 平面bce 2 求证 平面bce 平面cde 证明 1 取ce的中点g 连结fg bg f为cd的中点 gf de且gf de ab 平面acd de 平面acd ab de gf ab 又ab de gf ab 四边形gfab为平行四边形 则af bg af 平面bce bg 平面bce af 平面bce 2 acd为等边三角形 f为cd的中点 af cd de 平面acd af 平面acd de af bg af bg de bg cd 又cd de d bg 平面cde bg 平面bce 平面bce 平面cde 考向2面面垂直的性质 典例2 2013 连云港模拟 如图 四棱锥p abcd的底面为矩形 且ab bc 1 e f分别为ab pc的中点 1 求证 ef 平面pad 2 若平面pac 平面abcd 求证 平面pac 平面pde 思路点拨 1 可作辅助线构造平行四边形 在平面pad内作出与ef平行的直线 也可作辅助线构造过ef且与平面pad平行的平面 2 注意确定平面pac与平面abcd的交线 并在平面abcd内寻找与交线垂直的直线 可得线面垂直关系 规范解答 1 方法一 取线段pd的中点m 连结fm am 因为f为pc的中点 所以fm cd 且fm cd 因为四边形abcd为矩形 e为ab的中点 所以ea cd 且ea cd 所以fm ea 且fm ea 所以四边形aefm为平行四边形 所以ef am 又am 平面pad ef 平面pad 所以ef 平面pad 方法二 取cd的中点q 连结fq eq 在矩形abcd中 e为ab的中点 所以ae dq 且ae dq 所以四边形aeqd为平行四边形 所以eq ad 又ad 平面pad eq 平面pad 所以eq 平面pad 因为q f分别为cd cp的中点 所以fq pd 又pd 平面pad fq 平面pad 所以eq 平面pad 因为q f分别为cd cp的中点 所以fq pd 又pd 平面pad fq 平面pad 所以fq 平面pad 又fq eq 平面eqf fq eq q 所以平面eqf 平面pad 因为ef 平面eqf 所以ef 平面pad 2 设ac de相交于g 在矩形abcd中 因为ab bc e为ab的中点 所以又 dae cda 所以 dae cda 所以 ade dca 又 ade cde adc 90 所以 dca cde 90 由 dgc的内角和为180 得 dgc 90 即de ac 又因为平面pac 平面abcd 平面pac 平面abcd ac de 平面abcd 所以de 平面pac 又de 平面pde 所以平面pac 平面pde 拓展提升 面面垂直的性质应用技巧两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 这是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 变式训练 2013 东海模拟 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是菱形 bad 60 ab 2 pa 1 pa 平面abcd e是pc的中点 f是ab的中点 1 求证 be 平面pdf 2 求证 平面pdf 平面pab 证明 1 取pd的中点为m 连结me mf 因为e是pc的中点 所以me是 pcd的中位线 所以me cd me cd 又因为f是ab的中点 且由于abcd是菱形 ab cd ab cd 所以me fb 且me fb 所以四边形mebf是平行四边形 所以be mf 因为be 平面pdf mf 平面pdf 所以be 平面pdf 2 因为pa 平面abcd df 平面abcd 所以df pa 连结bd 因为底面abcd是菱形 bad 60 所以 dab为正三角形 因为f是ab的中点 所以df ab 因为pa ab是平面pab内的两条相交直线 所以df 平面pab 因为df 平面pdf 所以平面pdf 平面pab 考向3垂直关系的综合应用 典例3 如图所示 m n k分别是正方体abcd a1b1c1d1的棱ab cd c1d1的中点 求证 1 an 平面a1mk 2 平面a1b1c 平面a1mk 思路点拨 1 要证线面平行 需证线线平行 2 要证面面垂直 需证线面垂直 规范解答 1 如图所示 连结nk 在正方体abcd a1b1c1d1中 四边形aa1d1d dd1c1c都为正方形 aa1 dd1 aa1 dd1 c1d1 cd c1d1 cd n k分别为cd c1d1的中点 dn d1k dn d1k 四边形dd1kn为平行四边形 kn dd1 kn dd1 aa1 kn aa1 kn 四边形aa1kn为平行四边形 an a1k a1k 平面a1mk an 平面a1mk an 平面a1mk 2 连结bc1 在正方体abcd a1b1c1d1中 ab c1d1 ab c1d1 m k分别为ab c1d1的中点 bm c1k bm c1k 四边形bc1km为平行四边形 mk bc1 在正方体abcd a1b1c1d1中 a1b1 平面bb1c1c bc1 平面bb1c1c a1b1 bc1 mk bc1 a1b1 mk 四边形bb1c1c为正方形 bc1 b1c mk b1c a1b1 平面a1b1c b1c 平面a1b1c a1b1 b1c b1 mk 平面a1b1c 又 mk 平面a1mk 平面a1b1c 平面a1mk 拓展提升 垂直关系综合题的类型及解法 1 三种垂直的综合问题 一般通过作辅助线进行线线 线面 面面垂直间的转化 2 垂直与平行结合问题 求解时应注意平行 垂直的性质及判定的综合应用 3 垂直与体积结合问题 在求体积时 可根据线面垂直得到表示高的线段 进而求得体积 变式训练 如图 已知三棱锥a bpc中 ap pc ac bc m为ab的中点 d为pb的中点 且 pmb为正三角形 1 求证 dm 平面apc 2 求证 平面abc 平面apc 3 若bc 4 ab 20 求三棱锥d bcm的体积 解析 1 m为ab中点 d为pb中点 dm ap 又dm 平面apc ap 平面apc dm 平面apc 2 pmb为正三角形 且d为pb中点 md pb 又由 1 知md ap ap pb 又ap pc pb pc p ap 平面pbc ap bc 又 ac bc ap ac a bc 平面apc 又bc 平面abc 平面abc 平面apc 3 ab 20 mp 10 pb 10 又bc 4 pc 又dm 满分指导 平行 垂直关系综合证明题的规范解答 典例 14分 2012 江苏高考 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 a1b1 a1c1 d e分别是棱bc cc1上的点 点d不同于点c 且ad de f为b1c1的中点 求证 1 平面ade 平面bcc1b1 2 直线a1f 平面ade 思路点拨 规范解答 1 因为abc a1b1c1是直三棱柱 所以cc1 平面abc 1分又ad 平面abc 所以cc1 ad 2分又因为ad de cc1 de 平面bcc1b1 cc1 de e 所以ad 平面bcc1b1 4分又ad 平面ade 所以平面ade 平面bcc1b1 6分 2 因为a1b1 a1c1 f为b1c1的中点 所以a1f b1c1 因为cc1 平面a1b1c1 且a1f 平面a1b1c1 所以cc1 a1f 8分又因为cc1 b1c1 平面bcc1b1 cc1 b1c1 c1 所以a1f 平面bcc1b1 10分 由 1 知ad 平面bcc1b1 所以a1f ad 12分又ad 平面ade a1f 平面ade 所以a1f 平面ade 14分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 南京模拟 已知 为平面 m n为直线 下列命题 若m n n 则m 若m m 则 若 n m m 则m n 其中是真命题的有 填写所有正确命题的序号 解析 错误 m n n 则m 或m 正确 垂直于同一条直线的两个平面平行 正确 如图 过m作平面 a a 则由m 知m a 又m a 又 a n a n 故m n 答案 2 2013 苏州模拟 已知两条不同的直线m n 两个不同的平面 则下列命题中的真命题是 填序号 若m n 则m n 若m n 则m n 若m n 则m n 若m n 则m n 解析 由m 可得m 或m 又n 故m n 即 正确 如图 1 m n 但m n 故 错 如图 2 知 错 如图 3 正方体中 m n 但m n相交 故 错 答案 3 2013 宿迁模拟 若m n l是互不重合的直线 是互不重合的平面 给出下列命题 若 m m n 则n 或n 若 m n 则m n 若m不垂直于 则m不可能垂直于 内的无数条直线 若 m m n 且n n 则n 且n 若 m n l 且 则m n m l n l 其中正确命题的序号是 解析 错误 如图 1 所示 m m n 但n与 都不垂直 正确 错误 如图 1 所示m与 不垂直 但m与 内无数条直线垂直 正确 正确 如图 2 所示 m m 同理可证n l m n m l n l 答案 4 2012 天津高考 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 ad pd bc 1 pc pd cd 2 1 求异面直线pa与bc所成角的正切值 2 证明平面pdc 平面abcd 3 求直线pb与平面abcd所成角的正弦值 思路点拨 1 pad即是异面直线所成的角 或其补角 2 证明ad 平面pdc 3 过点p作平面abcd的垂线 垂足设为点e 解直角三角形peb 解析 1 如图 在四棱锥p abcd中 因为底面abcd是矩形 所以ad bc且ad bc 故 pad为异面直线pa与bc所成的角 或其补角 在rt pda中 tan pad 2 所以 异面直线pa与bc所成角的正切值为2 2 由于底面abcd是矩形 故ad cd 又由于ad pd cd pd d 因