高考数学 8.7抛物线配套课件 文 新人教A版.ppt

第七节抛物线 1 抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线 1 在平面内 2 动点到定点f距离与到定直线l的距离 3 定点 定直线上 相等 不在 2 抛物线的标准方程与几何性质 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py y 0 x轴 x 0 y轴 1 o 0 0 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py x 0 y r x 0 y r y 0 x r y 0 x r 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 2 方程y ax2 a 0 表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线 且其焦点坐标是 0 准线方程是x 3 抛物线既是中心对称图形 又是轴对称图形 4 直线l与抛物线c相切的充要条件是 直线l与抛物线c只有一个公共点 5 直线l与抛物线c的方程联立消元得到的关于x的方程ax2 bx c 0有一解 则直线与抛物线相切 解析 1 错误 当定点在定直线上时 轨迹为过定点f与定直线l垂直的一条直线 而非抛物线 2 错误 方程y ax2 a 0 可化为x2 y 是焦点在y轴上的抛物线 且其焦点坐标是 0 准线方程是y 3 错误 抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形 4 错误 因为直线l与抛物线的对称轴平行时 也有一个公共点 是相交但不相切 5 错误 有一解可能相交于一点 也可能相切 答案 1 2 3 4 5 1 坐标平面内到定点f 1 0 的距离和到定直线l x 1的距离相等的点的轨迹方程是 a y2 2x b y2 2x c y2 4x d y2 4x 解析 选d 由抛物线的定义知 点的轨迹是以f 1 0 为焦点的抛物线 且 1 p 2 故方程为y2 4x 2 若抛物线y2 2px的焦点与椭圆的右焦点重合 则p的值为 a 2 b 2 c 4 d 4 解析 选d 椭圆的右焦点为 2 0 所以 2 即p 4 3 抛物线x2 4y上一点a的纵坐标为4 则点a到抛物线焦点的距离为 a 2 b 3 c 4 d 5 解析 选d 由抛物线定义得 4 抛物线y 8x2的准线方程为 a x 2 b x c y d y 解析 选d 抛物线y 8x2的标准方程为x2 y 焦点在y轴上 且2p p 准线方程为y 5 顶点在原点 对称轴是x轴 且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是 解析 因为抛物线顶点与焦点的距离等于6 所以 6 又因为顶点在原点 对称轴是x轴 所以抛物线方程为 y2 24x 答案 y2 24x 6 线段ab是抛物线y2 x的一条焦点弦 若 ab 4 则弦ab的中点到直线x 0的距离等于 解析 设a x1 y1 b x2 y2 则 ab x1 x2 4 x1 x2 弦ab的中点的横坐标为 中点到直线的距离为 答案 考向1抛物线的定义及其应用 典例1 1 2013 珠海模拟 已知动圆过定点且与直线相切 其中p 0 则动圆圆心的轨迹e的方程为 2 2012 安徽高考 过抛物线y2 4x的焦点f的直线交该抛物线于a b两点 若 af 3 则 bf 3 已知点p是抛物线y2 2x上的一个动点 则点p到点 0 2 的距离与点p到该抛物线准线的距离之和的最小值为 思路点拨 1 利用抛物线定义 先定形状 再求方程 2 利用抛物线的定义求出a点坐标 建立直线af的方程与y2 4x联立 求出b点坐标 再利用抛物线定义求出 bf 3 利用抛物线的定义 将点p到准线的距离转化为点p到焦点的距离 数形结合求解 规范解答 1 设m为动圆圆心 过点m作直线的垂线 垂足为n 由题意知 mf mn 即动点m到定点与定直线x 的距离相等 由抛物线定义知 点m的轨迹为抛物线 其中为焦点 x 为准线 所以轨迹方程为y2 2px p 0 答案 y2 2px p 0 2 由题意知 抛物线的焦点f的坐标为 1 0 又 af 3 由抛物线定义知 点a到准线x 1的距离为3 点a的横坐标为2 将x 2代入y2 4x 得y2 8 由图知 直线af的方程为又解得或由图知 点b的坐标为 答案 3 如图 由抛物线的定义知 点p到该抛物线的准线的距离等于点p到其焦点的距离 因此点p到点 0 2 的距离与点p到该抛物线准线的距离之和即为点p到点 0 2 的距离与点p到焦点的距离之和 显然当p在点p0 点p0与f 0 2 三点共线 时 距离之和取得最小值 最小值等于答案 互动探究 在本例 2 的条件下 如何求 aob的面积 解析 由 2 的解析知 拓展提升 利用抛物线的定义可解决的两类问题 1 轨迹问题 用抛物线的定义可以确定动点与定点 定直线距离有关的轨迹是否为抛物线 2 距离问题 涉及抛物线上的点到焦点的距离 到准线的距离问题时 注意两者之间的转化在解题中的应用 变式备选 设m x0 y0 为抛物线c x2 8y上一点 f为抛物线c的焦点 以f为圆心 fm 为半径的圆和抛物线c的准线相交 则y0的取值范围是 a 0 2 b 0 2 c 2 d 2 解析 选c 圆心到抛物线准线的距离为p 即4 根据已知只要 fm 4即可 根据抛物线定义 fm y0 2由y0 2 4 解得y0 2 故y0的取值范围是 2 考向2抛物线的标准方程与性质 典例2 1 2013 肇庆模拟 将两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n 则 a n 0 b n 1 c n 2 d n 3 2 2012 山东高考 已知双曲线c1 a 0 b 0 的离心率为2 若抛物线c2 x2 2py p 0 的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2 则抛物线c2的方程为 a x2 y b x2 y c x2 8y d x2 16y 思路点拨 1 利用抛物线的性质及正三角形的性质 数形结合求解 2 先利用离心率为2 求出渐近线方程 再利用焦点到渐近线的距离为2构建方程求p 从而求解 规范解答 1 选c 根据抛物线的对称性 正三角形的两个顶点一定关于x轴对称 且过焦点的两条直线的倾斜角分别为30 和150 这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点 如图 所以正三角形的个数n 2 2 选d 因为双曲线c1 a 0 b 0 的离心率为2 双曲线的渐近线方程为 抛物线c2 x2 2py p 0 的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为 所求的抛物线方程为x2 16y 拓展提升 1 求抛物线的标准方程的方法及注意事项 1 方法 求抛物线的标准方程常用待定系数法 因为未知数只有p 所以 只需一个条件确定p值即可 2 注意事项 因为抛物线方程有四种标准形式 因此求抛物线方程时 需先定位 再定量 2 确定应用抛物线性质的关键及技巧 1 关键 利用抛物线方程确定与应用其焦点 准线等性质时 关键是将抛物线方程化成标准方程 2 技巧 要结合图形分析 灵活运用平面几何的性质以图助解 变式训练 1 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆x2 y2 6x 7 0相切 则p的值为 a b 1 c 2 d 4 解析 选c 由y2 2px 得抛物线准线方程为圆x2 y2 6x 7 0可化为 x 3 2 y2 16 由圆心到准线的距离等于半径得 所以p 2 2 焦点在直线x 2y 4 0上的抛物线的标准方程是 解析 令x 0得y 2 令y 0 得x 4 抛物线的焦点为 4 0 或 0 2 当焦点为 4 0 时 p 8 此时抛物线方程为y2 16x 当焦点为 0 2 时 p 4 此时抛物线方程为x2 8y 所求抛物线方程为y2 16x或x2 8y 答案 y2 16x或x2 8y 考向3直线与抛物线的位置关系 典例3 2013 广州模拟 如图所示 f是抛物线x2 2py p 0 的焦点 点r 1 4 为抛物线内一定点 点q为抛物线上一动点 qr qf 的最小值为5 1 求抛物线的方程 2 已知过点p 0 1 的直线l与抛物线x2 2py p 0 相交于a x1 y1 b x2 y2 两点 l1 l2分别是该抛物线在a b两点处的切线 m n分别是l1 l2与直线y 1的交点 求直线l的斜率的取值范围 并证明 pm pn 思路点拨 1 利用抛物线定义 并数形结合寻找到 qr qf 取最小值为5的条件 构建p的方程求解 2 建立l的方程并与x2 2py p 0 联立消去y得一元二次方程 使判别式 0求斜率的取值范围 再建立l1 l2的方程 只需证明xm xn 0即xn xm即可 规范解答 1 设抛物线的准线为l 过q作qq l于q 过r作rr l于r 由抛物线定义知 qf qq qr qf qr qq rr 折线段大于垂线段 当且仅当r q r 三点共线时取等号 由题意知 rr 5 即故抛物线的方程为x2 4y 2 由已知条件可知直线l的斜率存在且不为0 设直线l y kx 1 则 x2 4kx 4 0 依题意 有 16k2 16 0 k1 由 所以抛物线在a处的切线l1的方程为即令y 1 得同理 得注意到x1 x2是方程 的两个实根 故x1x2 4 即从而有因此 pm pn 拓展提升 直线与抛物线的位置关系问题设直线方程ax by c 0与抛物线方程y2 2px p 0 联立 消去x得到关于y的方程my2 ny l 0 1 位置关系与其判别式 的关系 2 相交问题的求解通法涉及抛物线的弦长 中点 距离等相关问题时 一般解直线与抛物线方程联立的方程组进行求解 提醒 涉及弦的中点 斜率时一般用 点差法 求解 变式训练 2013 惠州模拟 已知直线y 2上有一个动点q 过点q作直线l1垂直于x轴 动点p在l1上 且满足op oq o为坐标原点 记点p的轨迹为c 1 求曲线c的方程 2 若直线l2是曲线c的一条切线 当点 0 2 到直线l2的距离最短时 求直线l2的方程 解析 1 设点p的坐标为 x y 则点q的坐标为 x 2 op oq kop koq 1 当x 0时 得化简得x2 2y 当x 0时 p o q三点共线 不符合题意 故x 0 曲线c的方程为x2 2y x 0 2 直线l2与曲线c相切 直线l2的斜率存在 设直线l2的方程为y kx b 由得x2 2kx 2b 0 直线l2与曲线c相切 4k2 8b 0 即 点 0 2 到直线l2的距离 当且仅当即时 等号成立 此时b 1 直线l2的方程为或 满分指导 解答直线与抛物线的综合题 典例 12分 2012 新课标全国卷 设抛物线c x2 2py p 0 的焦点为f 准线为l a为c上一点 已知以f为圆心 fa为半径的圆f交l于b d两点 1 若 bfd 90 abd的面积为 求p的值及圆f的方程 2 若a b f三点在同一直线m上 直线n与m平行 且n与c只有一个公共点 求坐标原点到m n距离的比值 思路点拨 规范解答 1 由抛物线的对称性可得 bfd为等腰直角三角形 bd 2p 圆f的半径由抛线线定义可知a到l的距离d fa p 因为 abd的面积为4 所以即 解得p 2 舍去 或p 2 3分所以f 0 1 圆f的方程为x2 y 1 2 8 5分 2 因为a b f三点在同一直线m上 所以ab为圆f的直径 adb 90 由抛物线定义知所以 abd 30 m的斜率为或 7分当m的斜率为时 由已知可设代入x2 2py得 由于n与c只有一个公共点 故解得因为m的纵截距所以坐标原点到m n距离的比值为3 当m的斜率为时 由图形对称性可知 坐标原点到m n距离的比值为3 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 珠海模拟 已知抛物线c y 4x2 若存在定点a与定直线l 使得抛物线c上任一点p 都有点p到点a的距离与点p到l的距离相等 则定点a到定直线l的距离为 a b c 2 d 4 解析 选a 由题意知定点a即为焦点定直线l即为准线于是定点a到定直线l的距离为 2 2012 陕西高考 如图是抛物线形拱桥 当水面在l时 拱顶离水面2米 水面宽4米 水位下降1米后 水面宽 米 解析 建立适当的坐标系 如图所示 设抛物线方程为x2 2py p 0 则点 2 2 在此抛物线上 代入可求出抛物线的方程是x2 2y 当y 3时x2 2 3 6 所以x 水面宽是2米 答案 2 3 2012 北京高考 在直角坐标系xoy中 直线l过抛物线y2 4x的焦点f 且与该抛物线相交于a b两点 其中点a在x轴上方 若直线l的倾斜角为60 则 oaf的面积为 解析 抛物线y2 4x的焦点f 1 0 直线l 由解得所以答案 4 2013 广州模拟 已知抛物线l x2 2py和点m 2 2 若抛物线l上存在不同两点a b满足 1 求实数p的取值范围 2 当p 2时 抛物线l上是否存在异于a b的点c 使得经过a b c三点的圆和抛物线l在点c处有相同的切线 若存在 求出点c的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 不妨设且x1 x2 x1 x2 4 x12 x22 8p p 1 即p的取值范围为 1 2 当p 2时 由 1 求得a b的坐标分别为 0 0 4 4 假设抛物线l上存在点 t 0且t 4 使得经过a b c三点的圆和抛物线l在点c处有相同的切线 设经过a b c三点的圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 则整理得t3 4 e 4 t 16 e 8 0 函数的导数为 抛物线l在点处的切线的斜率为 经过a b c三点的圆n在点处的切线斜率为 t 0 直线nc的斜率存在 圆心n的坐标为 即t3 2 e 4 t 4 e 8 0 t 0 由 消去e 得t3 6t2 32 0 即 t 4 2 t 2 0 t 4 t 2 故满足题设的点c存在 其坐标为 2 1 1 在平面直角坐标系xoy中 动点m到定点f的距离比它到x轴的距离大设动点m的轨迹是曲线e 1 求曲线e的轨迹方程 2 设直线l x y 2 0与曲线e相交于a b两点 已知圆c经过原点o和a b两点 求圆c的方程 并判断点m 0 4 关于直线l的对称点m 是否在圆c上 解析 1 由已知 动点m的轨迹曲线e是顶点在原点 焦点为f的