高考数学 第三章 第八节 应用举例课件 理 新人教A版.ppt

第八节应用举例 1 三角形中常用的面积公式 1 s ah h表示边a上的高 2 s bcsina 3 s r a b c r为三角形的内切圆半径 2 实际问题中的有关概念 1 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中 视线在水平线 的角叫仰角 在水平线 的角叫俯角 如图 上方 下方 2 方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如b点的方位角为 如图 3 方向角 相对于某一正方向的水平角 如图 i 北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向 ii 北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 iii 南偏西等其他方向角类似 4 坡角与坡度 坡角 坡面与水平面所成的二面角的度数 如图 角 为坡角 坡度 坡面的铅直高度与水平长度之比 如图 i为坡度 坡度又称为坡比 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 面积公式中s bcsina absinc acsinb 其实质就是面积公式s ah bh ch h为相应边上的高 的变形 2 俯角是铅垂线与视线所成的角 其范围为 0 3 方位角与方向角其实质是一样的 均是确定观察点与目标点之间的位置关系 4 方位角大小的范围是 0 2 方向角大小的范围一般是 0 提示 1 正确 如s absinc ah h bsinc h即为边a上的高 2 错误 俯角是视线与水平线所构成的角 3 正确 方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置关系的 4 正确 方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 故大小的范围为 0 2 而方向角大小的范围由定义可知为 0 答案 1 2 3 4 1 在 abc中 a ab 1 ac 2 则s abc的值为 a b 1 c d 解析 选c 由已知得a ab c 1 ac b 2 s abc bcsina 2 1 2 在 abc中 ac ab s abc 则cosa等于 a b c d 解析 选d 由已知得ac b ab c s abc 得 bcsina 即 故sina cosa 3 如图所示 已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离相等 灯塔a在观察站c的北偏东40 灯塔b在观察站c的南偏东60 则灯塔a在灯塔b的方向为 a 北偏西5 b 北偏西10 c 北偏西15 d 北偏西20 解析 选b 由已知 acb 180 40 60 80 又ac bc a abc 50 60 50 10 灯塔a位于灯塔b的北偏西10 4 已知a b两地的距离为10km b c两地的距离为20km 现测得 abc 120 则a c两地的距离为 km 解析 如图所示 由余弦定理可得 ac2 100 400 2 10 20 cos120 700 ac 10 km 答案 10 5 某运动会开幕式上举行升旗仪式 在坡度为15 的看台上 同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 第一排和最后一排的距离为米 如图所示 则旗杆的高度为 米 解析 如图所示 依题意可知 aec 45 ace 180 60 15 105 eac 180 45 105 30 由正弦定理可知 ac sin cea 20 米 在rt abc中 ab ac sin acb 30 米 即旗杆的高度为30米 答案 30 考向1与三角形面积有关的问题 典例1 1 2013 中山模拟 已知o为 abc内一点 满足 0 2 且 bac 则 obc的面积为 a b c d 2 2013 揭阳模拟 在 abc中 若a 30 b 2 且 0 则 abc的面积为 a 2 b c 1 d 2 3 2013 北京模拟 已知 abc的三个内角a b c所对的边分别为a b c 角a是锐角 且b 2a sinb 求角a的度数 若a 7 abc的面积为10 求 abc的周长 思路点拨 1 先确定o点的位置 可知o为 abc的重心 再利用向量关系求得 abc面积即可求得s obc 2 利用已知条件求边a b 角c 即可求得面积 3 利用正弦定理得角a 再利用余弦定理得b c 从而可求周长 规范解答 1 选b 由 0 可知o为 abc的重心 故s obc s abc 由 2得c bcos bac 2 又cos bac 故bc 4 s abc bcsin bac 故s obc s abc 2 选b 由2 0得2cacosb c2 即2acosb c 方法一 由正弦定理得2sinacosb sinc sin a b 得2sinacosb sinacosb cosasinb 故sinacosb cosasinb 0 即sin a b 0 又a b是 abc的内角 故a b 0 a b a b 2 a 30 b 30 c 120 由s abc absinc得s abc 方法二 由余弦定理得 2a c 即a2 c2 b2 c2 a2 b2 即a b 2 a b 又a 30 b 30 c 120 s abc absinc 3 由已知得 由正弦定理得sina 又a为锐角 故a 由余弦定理得cosa 即b2 c2 49 bc 由bcsina 10 得bc 40 故b2 c2 89 得 b c 2 169 又b 0 c 0 b c 13 故 abc的周长为20 互动探究 若将本例题 1 中 0 修改为 o为 abc中线ad的中点 其他条件不变 则 obc的面积又该如何求解 解析 由 2得cbcosa 2 又 bac cos bac bc 4 s abc bcsin bac 又 o为 abc中线ad的中点 故s obc s abc 拓展提升 三角形的面积公式 1 已知一边和这边上的高 s aha bhb chc 2 已知两边及其夹角 s absinc acsinb bcsina 3 已知三边 s 其中p 4 已知两角及两角的共同边 s 5 已知三边和外接圆半径r 则s 变式备选 在 abc中 内角a b c的对边分别为a b c 已知 1 求的值 2 若cosb b 2 求 abc的面积s 解析 1 方法一 在 abc中 由及正弦定理可得 即cosasinb 2coscsinb 2sinccosb sinacosb 则cosasinb sinacosb 2sinccosb 2coscsinb sin a b 2sin c b 而a b c 则sinc 2sina 即 2 方法二 在 abc中 由可得 bcosa 2bcosc 2ccosb acosb 由余弦定理可得 整理可得c 2a 由正弦定理可得 2 2 由c 2a及cosb b 2可得4 c2 a2 2accosb 4a2 a2 a2 4a2 则a 1 c 2 s acsinb 1 2 即s 考向2测量距离问题 典例2 1 2013 聊城模拟 如图 设a b两点在河的两岸 一测量者在a的同侧的河岸边选定一点c 测出ac的距离是50m acb 45 cab 105 后 就可以计算出a b两点的距离为 a 50m b 50m c 25m d m 2 2011 上海高考 在相距2千米的a b两点处测量目标点c 若 cab 75 cba 60 则a c两点之间的距离为 千米 思路点拨 1 利用三角形的内角和定理得 abc 再利用正弦定理可解 2 利用已知角求得 acb 再利用正弦定理求解 规范解答 1 选a 由 acb 45 cab 105 得 abc 30 由正弦定理得 ab m 2 由 cab 75 cba 60 得 acb 180 75 60 45 由正弦定理得 即ac 千米 答案 互动探究 若将本例题 1 中a b两点放到河岸的同侧 但不能到达 在对岸的岸边选取相距km的c d两点 同时 测得 acb 75 bcd 45 adc 30 adb 45 a b c d在同一平面内 则两点a b之间的距离又如何求解 解析 如图所示 在 acd中 adc 30 acd 120 cad 30 ac cd 在 bdc中 cbd 180 45 75 60 由正弦定理可得bc 在 abc中 由余弦定理可得ab2 ac2 bc2 2ac bc cos bca ab2 5 ab km 即两点a b之间的距离为km 拓展提升 解三角形应用题的一般步骤 1 读懂题意 理解问题的实际背景 明确已知和所求 理清量与量之间的关系 2 根据题意画出示意图 并将所求量放到三角形中去 将实际问题抽象成解三角形问题 3 选择正弦定理 余弦定理或其他相关知识求解 4 将三角形的解还原为实际问题的解 变式备选 如图 a b是海面上位于东西方向相距5 3 海里的两个观测点 现位于a点北偏东45 b点北偏西60 的d点有一艘轮船发出求救信号 位于b点南偏西60 且与b点相距20海里的c点的救援船立即前往营救 其航行速度为30海里 小时 该救援船到达d点需要多长时间 解析 由题意知ab 5 3 海里 dba 90 60 30 dab 90 45 45 adb 180 45 30 105 在 abd中 由正弦定理得 db 10 海里 又 dbc dba abc 30 90 60 60 bc 20海里 在 dbc中 由余弦定理得cd2 bd2 bc2 2bd bc cos dbc 300 1200 2 10 20 900 cd 30海里 故所需时间t 1 小时 故救援船到达d点需要1小时 考向3测量高度 角度问题 典例3 1 如图 当甲船位于a处时获悉在其正东方向相距20海里的b处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往营救 同时把消息告知在甲船的南偏西30 相距10海里c处的乙船 乙船立即朝北偏东 角的方向沿直线前往b处救援 则sin 的值等于 a b c d 2 某气象仪器研究所按以下方案测试一种 弹射型 气象观测仪器的垂直弹射高度 a b c三地位于同一水平面上 在c处进行该仪器的垂直弹射 观测点a b两地相距100米 bac 60 在a地听到弹射声音的时间比b地晚秒 在a地测得该仪器至最高点h时的仰角为30 求该仪器的垂直弹射高度ch 声音在空气中的传播速度为340米 秒 思路点拨 1 先根据题意作出图象 在 abc中 利用余弦定理求得bc 然后根据正弦定理求得sin acb 则cos acb可得 进而利用sin sin 30 acb 根据正弦函数的两角和公式解决 2 利用已知条件先求ac 再利用正切求ch即可 规范解答 1 选d 根据题目条件可作图 如图 在 abc中 ab 20 ac 10 cab 120 由余弦定理有bc2 ab2 ac2 2ab accos cab 202 102 2 20 10cos120 700 bc 10 再由正弦定理得 sin acb cos acb 所以sin sin 30 acb sin30 cos acb cos30 sin acb 2 由题意 设ac x 则bc x 340 x 40 在 abc中 由余弦定理得 bc2 ab2 ac2 2ab ac cos bac 即 x 40 2 10000 x2 100 x 解得x 420 在 ach中 ac 420 cah 30 ach 90 所以ch ac tan cah 140 米 故该仪器的垂直弹射高度ch为140米 拓展提升 1 处理高度问题的注意事项 1 在处理有关高度问题时 要理解仰角 俯角 视线在水平线上方 下方的角分别称为仰角 俯角 是一个关键 2 在实际问题中 可能会遇到空间与平面 地面 同时研究的问题 这时最好画两个图形 一个空间图形 一个平面图形 这样处理起来既清楚又不容易搞错 提醒 高度问题一般是把它转化成三角形的问题 要注意三角形中的边角关系的应用 若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合 2 测量角度问题的一般步骤 1 在弄清题意的基础上 画出表示实际问题的图形 并在图形中标出有关的角和距离 2 用正弦定理或余弦定理解三角形 3 将解得的结果转化为实际问题的解 同时注意把所求量放在有关三角形中 有时直接解此三角形解不出来 需要先在其他三角形中求解相关量 变式训练 要测量底部不能到达的电视塔ab的高度 在c点测得塔顶a的仰角是45 在d点测得塔顶a的仰角是30 并测得水平面上的 bcd 120 cd 40m 求电视塔的高度 解析 如图 设电视塔ab的高为xm 则在rt abc中 由 acb 45 得bc x 在rt abd中 由 adb 30 得bd x 在 bdc中 由余弦定理 得bd2 bc2 cd2 2bc cd cos120 即 x 2 x2 402 2 x 40 cos120 解得x 40 电视塔高为40米 满分指导 三角形中面积公式的应用 典例 12分 2012 江西高考 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 已知a bsin c csin b a 1 求证 b c 2 若a 求 abc的面积 思路点拨 规范解答 1 由bsin c csin b a 应用正弦定理 得sinbsin c sincsin b sina 3分sinb sinc cosc sinc sinb cosb 整理得sinbcosc cosbsinc 1 即sin b c 1 5分 由于0 b 0 c 从而b c 6分 2 b c a 由 1 知b c 因此b c 8分 2sin 10分所以 abc的面积s 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 汕头模拟 在 abc中 a 60 ac 8 面积s 4 则bc a b 2 c 2 d 3 解析 选c 因为a 60 ac b 8 面积s 4 bcsina bc 16 b 8 c 2 a2 b2 c2 2bccosa 52 a 2 2 2013 深圳模拟 小明的爸爸开汽车以80km h的速度沿着正北方向的公路行驶 小明坐在车里向外观察 在点a处望见电视塔p在北偏东30 方向上 15分钟后到点b处望见电视塔在北偏东75 方向上 则汽车在点b时与电视塔p的距离是 km 解析 如图所示 bap 30 cbp 75 bpa 45 由已知得ab 80 20 km 由正弦定理得 故bp 10 km 答案 10 3 2013 珠海模拟 如图 一艘船上午9 30在a处测得灯塔s在它的北偏东30 方向上 之后它继续沿正北方向匀速航行 上午10 00到达b处 且与灯塔s相距8nmile 此船的航速是32nmile h 则灯塔s对于点b的方向角是 解析 由已知可得 ab 32nmile h h 16nmile bs 8nmile bas 30 由正弦定理得