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装订线.学院： 专业年级： 姓名： 学号： .密.封线.中国矿业大学(北京) 2009级高等数学单元测验三试卷 得分： 一、 填空题（每空3分，共34分（第10题4分）1. 已知则。2. 向量在向量上的投影等于。 3. 平面曲线绕轴旋转一周所生成的曲面方程为 。4. 曲线在xoy平面上的投影曲线为。5. 过点且与向量及平行的平面方程为 。6. 2 。7. 设，则。8. 设函数具有二阶连续偏导数，则。9. 设，则。10. 设，则，沿梯度方向的方向导数=。二、 计算题（每题9分，共36分）1. 求过点且与直线垂直相交的直线方程。解：过点且与直线垂直的平面为：即：，则直线与平面的交点为：，故交点，而，因此可取直线的方向向量，得所求直线方程为：2. 设，试求。解：记，则，所以。3. 设，求。解：对上述方程组两边对求导得由上式可得：4. 求曲线上一点处的切线方程，且此切线与平面平行。解：曲线在点处的切向量为，平面的法向量为，依题意，故，即：，解得，因此，过点的切向量为，所求切线方程为：三、 （5分）求锥面与柱面所围立体在面上的投影区域，并画出此投影区域。解：在面上，立体由3个曲面围成，其交线在面上的投影为面上的曲线：所围的区域，即：. 四、 （10分）设，证明在点处连续且偏导数存在，但不可微分。证明：令，则当时，所以在点处连续。（解法二：由于所以，因此在点处连续。）因此在点处偏导数存在。由于，不同，上述极限则不同，因此上述极限不存在，当然不趋于零，所以在点处不可微分。五、 （15分）在椭球面第一卦限部分上求一点，使得椭球面在该点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小。解：过点的切平面的法向量为，切平面的方程为：，即：由于点在椭球面上，所以，代入上式得切平面方程为：，平面在三个坐标轴上的截距分别为：则问题转化为求在附加条件下的最小值问题。作拉格朗
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