浅谈义务教育数学教材中抽象思想的渗透.doc

数学课程与教学论 题目：浅谈义务教育数学教材中抽象思想的渗透学 院：教师教育学院学生姓名：高凌宇学 号：1311870021专 业：学科教学（数学）年 级：2013级完成日期：2013年11月30日18浅谈义务教育数学教材中抽象思想的渗透摘要：随着我国教育制度的不断完善,传统的数学教学模式已无法满足学生的数学学习需求.数学抽象在数学教学中的应用在打破传统数学教学模式的同时,还培养学生的抽象思维,激发学生数学学习的积极性,因而在整个数学教学中有着极其重要的作用.义务教育数学教学的目的就是帮助学生增长知识的同时,获得不同层次的数学抽象和模式论观点的熏陶和训练,逐步掌握分析、应用、建立、鉴赏模式和数学抽象的思想方法.关键词：义务教育；数学；抽象；学生 Introduction to The Mathematics Teaching Material of Compulsory Education in The Infiltration of Abstract ThoughtAbstract:With the constant improvement of Chinas education system, the traditional mathematics teaching mode have been unable to meet the demand of students mathematics learning. The application of mathematical abstraction in mathematics teaching in breaking the traditional mathematics teaching mode at the same time, also cultivate the students abstract thinking, arouse the enthusiasm of students learning mathematics, which has a very important role in the mathematics teaching. The purpose of compulsory education mathematics teaching is to help students gain knowledge at the same time, for different levels of mathematical abstraction and judgement of the influence of the views and training, and gradually master the analysis, the application, establish and appreciation model and mathematical abstract way of thinking.Key words: Compulsory education；mathematics；abstract；studentsI目录一、引言（1）二、数学抽象及其基本形式（1）（一）数学抽象的涵义（1）（二）数学抽象的方法（1）（三）数学抽象的基本形式（2）三、数学抽象在数学教学中的应用（2）（一）实物层面的抽象（2）（2） 半符号层面的抽象（3）（三）符号层面的抽象（3）（四）形式化层面的抽象（3）四、数学抽象过程要特别关注归纳思维和演绎思维的培养（4）五、总结（5）参考文献（5）1数学课程与教学论 浅谈义务教育数学教材中抽象思想的渗透1、 引言 抽象性是数学的基本特点之一,所有的数学知识可以说都是经过抽象得到的.义务教育数学中的知识和方法亦是如此.数学抽象也是一种基本的数学思想.学生学习数学,不仅是要学习那些由前人抽象概括形成的数学知识,同时还要学习形成知识的抽象概括的方法,了解数学抽象的特殊性以及如何在中学数学教学中有效应用数学抽象方法就显得十分必要.本文将在分析数学抽象的内涵分类、教学中的应用及教育价值的基础上探讨如何在教学中逐渐渗透数学抽象思想. 2、 数学抽象及其基本形式 （一）数学抽象的涵义 所谓的数学抽象是指从研究的对象或问题中,抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他的属性,借助定义和推理进行逻辑构建的思维过程和方法.数学抽象的程度要远远超出自然科学中的一般抽象. （二）数学抽象的方法 徐利治认为,在数学的创造工作中,数学抽象是一种重要的方法.从数学的认识的目的来看,可以将数学抽象的方法分为等置抽象、理想化抽象和可行性抽象;从数学抽象的程度上讲,可以分为弱抽象和强抽象. 1、等置抽象 等置抽象就是利用某种等价关系,抽取出对象的共同性质的抽象方法.等置抽象是数学中常用的抽象方法之一.等置抽象的基本思想为:设给定某一集合,并给定了某种等价关系,这时集合就成了等价类,考察集合/,它的元素是这些等价类,于是我们便得到了新的数学对象等价类本身和这些类的集合.当我们从各种各样的研究对象中筛选出它们的共同性质与关系时,就是使用这个抽象方法,为此我们将等置抽象又可分为性质抽象和关系抽象. 2、理想化抽象 理想化抽象是指某种性质并非实际的存在于事物中,而是同实际明显分离,甚至是假想的性质,利用这种假想的性质形成某种抽象化的方法.理想化抽象的基本思想为：理想化元素的引入理想试验建立理想的数学模型.种种数学中的基础概念大多都是理想的对象,然后以此为基础,通过理想试验,建立各种各样的数学模型或体系. 3、可行性抽象 对现实的“无限”原型抽象成数学中的“无限”概念的抽象方法,称为可行性抽象.这种抽象把无论多大的自然数都能写出或读出的这种可能性舍去,而只承认自然数达到之后,总还能写出它后面的自然数+1. 4、强抽象 所谓的强抽象是指从原型中选取某一特征(侧面),从而获得比原结构更广的结构,使原结构成为后者的特例的抽象. 5、弱抽象 弱抽象就是指从原型中抽取其某一方面的特征或侧面加以概括,从而比原对象更为一般的概念或理论的一种抽象方式.（3） 数学抽象的基本形式 在中学数学中,数学抽象的基本形式主要有两种:一是直观现实化抽象.在感性认识中,抽去事物的一些性质,而把注意力放在对象的某些其他性质上面.当我们舍去一些性质,同时也就分离出对我们认识事物具有重大意义的其他性质.二是概括直观化抽象.这种抽象不仅仅是将事物和现象的种种性质的一般的、本质的属性抽取出来,而且对它们作了数学处理. 三、数学抽象在数学教学中的应用 在数学教学中,数学抽象具有鲜明的层次性.正如康德在他的巨著纯粹理性批判中所指出的,人类的一切知识都是从直观开始,从那里进到概念,而以理念结束.学生的学习也是这样,必须从学生的现实开始,逐步过渡到数学的高级抽象. 教学层面的数学抽象基本遵循数学抽象的层次性,但有其更深刻而具体的表现,其梯度和层次性更强. （一）实物层面的抽象 这个层面的抽象(过程),实际上是立足已有的生活经验和社会现实,进行第一步抽象,即以实物为对象进行抽象,到刚刚超越实物而尚未完全脱离实物即结束. 案例1 小学自然数的“两位数加一位数的进位加法”的“十位”的抽象：27+5=? 借助于“十个鸡蛋一盒”这个非常现实的经验,学生已经有相对丰富的类似经验或经历,27 表示两盒鸡蛋,另有一盒不满的鸡蛋( 即盒子里有7个鸡蛋,这意味着空着3个空位) ,另有5个鸡蛋.一共几个鸡蛋呢? 借助生活经验,学生很自然地将5个鸡蛋中的3个拿出来,填补在第三盒鸡蛋的3个空位上,即将空位补齐,凑成一整盒,余下2个鸡蛋. 这就是,将5分成3与2的和,而3与27凑成30,因而,结果是32. 这是最朴素的“凑十进位”,而这里的“一( 整) 盒”就是最直接、最形象的“十位”,属于典型的借助“实物”的直接抽象.（3） 半符号层面的抽象 这个阶段实际上是简约阶段的一种,是建立在实物抽象的基础之上的进一步发展.此时,有关的属性已经从实物中“提取”出来、抽象出来,但是,并没有完全脱离实物,或者更确切地说,是部分属性“脱离”了实物,而其中的关键属性已经初见端倪. 案例2 “圆”的概念的抽象过程,就需要多个层面的抽象：初升的太阳、十五的月亮、水中的波纹都能给人以圆的形象,这是“圆”概念抽象的第一步,属于实物直观层面的第一次抽象；而从太阳、月亮、波纹等具体的实物模型中,抽象出集中刻画圆的形状特点的一般概念,即几何中圆的定义“到定点的距离等于定长的点的集合”则是实物直观层面的第二次抽象. 借助圆纸片研究圆的基本性质,则是“圆”的半符号层面的抽象,属于更高层面的抽象.此时的“圆纸片”看得见、摸得着,已经是具有鲜明的“圆”的特征.只不过,数学中的“圆”是没有厚度的,只是一个缝补曲线,其边缘没有厚度,不包括边缘线所围的区域.而这种东西在现实中并不存在.毕竟,数学中的“圆”是对客观现实中的大量原型的抽象. （三）符号层面的抽象 即已经去掉了具体的内容,利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物. 符号层面的抽象具有典型的阶段性、层次性,因而,有的学者( 如徐利治先生) 将其定义为“抽象度”的概念,即从实物抽象开始,到达半符号抽象,进而达到符号层面的抽象.而以后的抽象会以上一级抽象的结果为对象,进行进一步的抽象,达到一个新的抽象高度.例如,在自然数抽象的基础上,进一步抽象得到分数,再抽象得到有理数,再抽象得到实数；以实数为对象再抽象,得到代数式,以代数式为对象的再抽象得到函数.如此,形成逐级抽象的概念体系.（四）形式化层面的抽象 这就是“普适阶段”的抽象,即通过假设和推理建立法则、模式或者模型,并能够在一般的意义上解释具体事物.“形式化”是针对数学学科而言的,而“普适”是从方法学的角度思考的结果,更有思维、方法的韵味. 这个阶段的抽象在中小学也是时常存在.例如,小学、初中的数学模型的核心在于两个基本关系,即总量=单价数量；总体=各部分之和. 例如,“除以一个数等于乘以这个数的倒数”,其本质在于,“总量=单价数量”的变式“总量份数=一份的量”. 在数学教学中,数学抽象的本质在于,让学生亲身经历数学抽象的具体过程,接受数学抽象的思维训练,进而提升数学抽象思维的水平.“与其说学数学,倒不如说学习数学化”,这是20世纪后半叶的五十年期间,深刻影响世界数学界、数学教育界的数学家弗莱登塔尔的名言,也道出了数学学习的本质. 在案例1中,学生在初次学习“两位数加一位数”时,尽管为数不少的家长已经告诉学生如何加,即“个位数字、十位数字分别相加”,然而,绝大部分学生并不知道算理,即为什么必须这样计算而不那样计算.让学生亲身经历从“实物抽象半符号抽象符号抽象”的过程,即使是对于那些已经学过的学生来说,也是一次温习的过程,更是一次经历数学抽象的熏陶过程. 四、 数学抽象过程要特别关注归纳思维和演绎思维的培养 在数学教学中,在展示数学对象逐级抽象的同时,也要充分展示数学真知发生发展的鲜活过程,即人们通过直觉,借助归纳发想,预测结论,通过演绎推理验证结论,即,既要教抽象思维,又要教归纳思维和演绎思维. 例如,对于初次学习平方差公式 ,初中生的抽象思维水平尚未达到完全符号化的程度,因而,直接采取传统的做法,即由,直接导出.这种做法的确节省时间,但是,对多数学生来说并没有真正理解平方差公式的内在含义,或者说,学生并不真正认同这个公式.不仅如此,这种学习也使学生丧失了一次思维训练的良机. 如果将其改为如下的形式,其效果可能会有质的差异. 教师一上课就出示问题： 能否将代数式分解为两个代数式的乘积的形式呢? 我们该如何思考这个问题呢? 我们不妨从最简单的情况入手： 令b=1,先讨论的情形.能否分解为两个代数式乘积的形式呢? 我们尝试着借助自然数的分解来思考： 如果,那么.结论很不明朗! 如果,结论仍不明朗! 继续试验,如果,那么,而8 除1和自身外,有两个因子2、4,而8的确可以拆成,而2=3-1,4=3+1.结论已经开始明朗!继续试验,如果,那么,而35的确可以拆成,而且是唯一的,同时5=6-1,7=6+1.至此,我们可以做出猜测,并进一步猜测.但是,时,是否成立呢? 学生可以分组研究 的情况,而后进行全班汇报,最终,综合各种情况,得出,.至此,我们发现了一个新的公式,这个公式恰恰是的逆用. 五 总结 总之,数学抽象是数学的形成和发展、数学化活动的最一般的方法,只有把握住数学抽象的内涵、特征、原则、方法和意义,才能领会真正意义上的数学、