2009考研数学强化班讲义-微积分第5讲.pdf

水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 第 5 讲 无穷级数 清华大学数学科学系 刘坤林主讲 1 级数基本概念 定义与符号运算 LL n321 1 uuuuu n n 称为数项级数的前项部分和 部分 和记号与级数一般项的运算关系是 n k kn uS 1 n n u nnn uSS 1 n u 1 nn SS 当部分和 有极限时 称级数收敛 即 n S 1n n uSSuu n n k n k n n n 11 limlim 当 不存在时 则称级数发散 n n S lim 1n n u 收敛级数的性质 级数收敛性的实质是对其通项作为无穷小量阶的估计 1 级数收敛的必要条件 若级数收敛 则 1n n u0lim n n u 2 级数收敛的充要条件 充要条件 1 级数 收敛的充要条件是 或 存在 且 1n n u n n S2lim 12 lim n n S0lim n n u 充要条件 2 级数 收敛的充要条件是 1n n u n n S2lim 12 lim n n SS 3 运算性质 数乘运算 若级数收敛 则 1n n uR 级数收敛 且 1n n u 1n n u 1n n u 加 法 运 算 若 级 数收 敛 则 级 数收 敛 且 11 n n n n vu 1 n n n vu 1 n n n vu 11n n n n vu 这一性质 表现为充分条件 若条件不满足 结论不一定不成立 4 重组性质 更新性质 刘坤林 谭泽光 编 1 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 收敛级数加括号后所生成的新级数仍收敛 且级数的和不变 注 若合并级数相邻有限项后所得到的更新级数发散 则可推断原级数发散 一个级数去掉 增加或改变有限项后 生成的更新级数与原级数有相同的收敛性结论 从极限的概念来理解 一个级数的收敛性 只依赖于某个足够大的下标之后的无穷 多项和有极限 与级数的前端限项无关 N 例 1 补 1 证明级数 1 4 3 1 n nn 收敛 并求其和 4 1 解 首先 4 1 3 1 4 3 1 nnnn 级数的部分和为 n k n k n kkkk S 11 4 1 3 1 4 3 1 4 1 4 1 n Sn 于是 4 1 4 1 4 1 limlim n S n n n 2 正项级数与任意项级数 1 正项级数的基本属性是 部分和数列 1n n u n S为单增数列 由此属性 构成正项级 数判敛法的理论基础 正项级数收敛的充要条件 收敛的充分必要条件是其部分和数列 1n n u n S有上界 尺度级数 1 几何级数 当 0n n q1p1 p时 级数发散 特别当 时 称 1 p n k n 0 1 为调和级数 2 正项级数的判敛法 一般表现为充分条件 刘坤林 谭泽光 编 2 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 直接比较法 若存在 使得当时 有0 NNn nn vu 0 则 当级数 收敛时 级数收敛 当级数发散时 级数发散 1n n v 1n n u 1n n u 1n n v 极限比较法 比阶法 设 且0 n a0 n bA b a n n n lim 当时 级数 与同为收敛或同为发散 0 A 1n n a 1n n b 当时 由级数收敛可推断收敛 0 A 1n n b 1n n a 当 A 由级数 发散可推断发散 1n n b 1n n a 自我比较法 比率法 设 且0 n u n n nu u 1 lim 则 1 当1 时 级数 发散 且 1n n u n n ulim 3 当1 时 本方法失效 证 只证 1 1lim 1 0 N 使当时有 Nn 则1 2 1 1 n n u u 令1 2 1 q 于是有 NN quu 1NN uqu 2 2 N p pN uqu n u n n n ulim 则当1 时 级数发散 且 当 1n n u n n ulim1 时 本方法失效 注 与比率法类似 但根值法比比率法适应范围要宽 另外 根值法与比率法可以与绝对 值判敛法结合在一起判断任意项级数的敛散性 也是求幂级数的收敛半径的重要方法 例 2 补 2 判断 1 3 1 2 n n n 的收敛性 解 1 3 1 3 1 2 lim n n n n 因此该级数收敛 注 若用比率法 n n n n n n n n 1 23 1 2 lim 1 2 3 3 1 2 lim 1 1 1 不存在 因为时上 述极限为 kn2 9 1 时上述极限为1 故不能得出收敛性结论 一般来说 由比率法 可以判断收敛性的级数 用根值法一定可以给出同样结论 而反之未必 12 kn 说明 N p pN uqu 1 2 1 q 1 pxd x dx xx pp ln ln 1 ln 1 22 2ln 1 1 1 ln 1 1 1 1 2 1 pp pxp 3 任意项级数 1 绝对收敛与条件收敛 若级数 1n n u收敛 则称级数绝对收敛 若级数收敛 但级数 1n n u 1n n u 1n n u发散 则称级数条件收敛 1n n u 绝对值判敛法 若级数 1n n u收敛 则级数收敛 1n n u 证 由不等式 nnn uuu20 及 1n n u收敛 则正项级数 1 n n n uu 收敛 而 1n n u 1n n u 1 n n n uu 由运算法则得到 收敛 1n n u 注 绝对收敛级数可以重排其通项顺序 重排后所得更新级数的保持敛散性 收敛时其和 不变 这类似于有限个数加法的交换率 而条件收敛的级数不具备这种性质 2 交错级数 设 称级数为交错级数 0 n u 1 1 1 n n n u 莱布尼兹判敛准则 若 3 2 1 0L nun满足 数列 单减 即 且 n u 3 2 1 1 L nuu nn 0lim n n u 则交错级数收敛 且满足 1 1 1 n n n u n n n k k k n n n uuuR 1 1 1 11 1 1 注 以上的两个条件也称为莱布尼兹条件 莱布尼兹判敛法不仅给出了交错级数的收敛性 刘坤林 谭泽光 编 5 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场B座503室 结论 而且还给出了用部分和近似级数和时的误差限 这是一般判敛法所没有的功能 3 判断一个级数收敛性的的方法有 除了正向级数法的若干判敛法以外 还可利用 必要条件 定义 极限的 存在性 运算性质与重组性质 绝对值判敛法与莱布尼兹准则 可进一步参考下面例题 SSn n lim 每一位考生 应总结归纳级数收敛性分析的一般程序 逻辑框图 例 4 147 设在 xf1 x上有定义 在0 x的某一邻域内具有二阶连续导数 且 0lim 0 x xf x 则当的取值范围满足 p 时 级数 1 1 n p n f绝对收敛 解 由 0lim 0 x xf x 得到00 0 limfxf x 与00 f 2 2 1 xfxf 在与之间 0 x 因为在的某一邻域内具有二阶连续导数 因此存在使得 xf0 x0 M Mf 于是 2 2 1 Mxxf 令 p n x 1 其中 则 0 p pp n M n f 2 1 2 1 1 当 2 1 p时 级数 1 2 1 2 n p n M 收敛 由比较法 所以当 2 1 p时级数 1 1 n p n f一定收敛 且绝对收敛 例 5 补 5 级数 1 1ln n n n n n a 的收敛性结论是 答案 A A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 与的取值有关 a 解 应选 A 当 时 原级数显然收敛 当0 a0 a时 记 n n n n n a u 1ln 则 且 0 n u 1 1 1ln 1 1ln limlim 1 1 n n n n n a n a u u n n n n n n 1 1 1 1 1 lim时 2 1 n b 且 2 1 n a 极限的有界性 于是 nnn bba n n 且 1 1 1 1ln lim n n n 所以 n n 1 1ln 1 1 1 nnnn 其中 1 nn 是 n时的无穷小量 而级数p 1 1 nnn 收敛 由比阶判敛法 级数 1 1 ln 1 n n n n 收敛 方法 2 因为 nn 11 1ln0 所以 nn n n 11 1ln 1 0 正项级数收敛 则级数 1n n a 1 2 2 cos1 1 n nn n a A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 收敛性与 的值有关 解 答案为 C 若正项级数收敛 则 收敛 1n n a 1 2 n n a 刘坤林 谭泽光 编 8 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场B座503室 另外有 cos1 1 2 1 cos1 1 2 2 2 2 n a n a n nn 级数 1 2 cos1 1 n n 对任意常数 都收敛 所以原级数绝对收敛 例 11 152 1 设级数 收敛 则必收敛的级数为 1n n u A 1 1 n n n n u B 1 2 n n u C D 1 2 n nn uu 1 1 n nn uu 解 记 考虑 1n n uS 1 1 n nn uuLL 113221nnnn uuuuuuuu Suuu n n 22 1 2 1 因此 收敛 1 1 n nn uu 若取 n u n n 1 则 B C 不成立 取 ln n u n n 1 1 则 A 不成立 答案为 D 例 12 152 2 己知级数 则级数 等于 5 21 1 2 1 1 n n n n n aa 1n n a A 3 B 2 C 8 D 12 提示 本题练习级数的符号运算 以及收敛级数的运算法则 而级数的运算法则的实质是 极限的运算法则 解 答案 D 方法 1 1 1 1 n n n aLL nn aaaaaaaa 212654321 刘坤林 谭泽光 编 9 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场B座503室 1 12 n n a 1 2 n n a 因此 1 12 n n a 1 2 n n a 7251 1 1 n n n a 所以 1n n a1257 2 1 12 n n n aa 方 法 2 由 则 又 因 为 所 以 5 1 2 n n a102 1 2 n n a2 1 1 n n n a 1 1 2 1 1 2 n n n n n n aaa12210 1 2 11 2 n n n n n aa 例 13 152 3 设常数 则级数0 1 2 1 1 n n nn ln A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 收敛性与 取值有关 解 因为 n n n n nn lim 1ln lim可知 1ln 1 n n 发散 而级数 1 1 n n n 收敛 所以由运算法则 级数 1 1 1ln n n nn 发散 答案为 C 例 14 152 4 设函数 10Cf n n n xxfna 1 1 1 d L 21 n 则级数 的 收敛情况是 1n n a A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 与增减性有关 xf 解 1 0 1 1 1 nn 于是由积分中值定理 10Cf 1 1 11 nn Mn f nn nan 刘坤林 谭泽光 编 10 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场B座503室 1 1 n nn Mn 收敛 由比较法 应此选 A 例 15 补 6 设 L21 1 0 n n an 则下列级数中必收敛的为 A B 1n n a 1 1 n n n a C 1n n a D na n n ln 2 2 解 应选 D 由 L21 1 0 n n an可得 2 2 0 n n nan ln ln 由0 1 2 ln lim nn n n n 则级数 1 2 n n nln 收敛 取 nn an 1 2 1 则 A 与 C 不成立 以下考察 B 取 12 12 1 2 2 1 2 kn k kn k an 则 1 2 12 1 n n 收敛 而 12 1 n n 发散 假设收敛 由收敛的级数可对相临有限 项加括号 但 1 1 n n n a 1 1 n n n a nn n 2 1 12 1 1 2 11 2 2 1 12 1 nn nn 发散 矛盾 因而发散 B 不成立 1 1 n n n a 例 16 补 7 若级数收敛 则由下列选项 能得出级数收敛 1n n a 1n n b 1lim n n n a b A 0lim n n n a b B 1 lim nn n banC 1 lim 2 nn n banD 刘坤林 谭泽光 编 11 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场B座503室 解 应注意 判断正项级数收敛性的方法不能直接适用于任意项级数 由选项 D 得到 1 1 22 n o n ba nn 再由运算法则推出收敛 答案 1n n bD 1lim n n n a b A 与0lim n n n a b B 只对正项级数是对的 例17 补8 2006 1 3 9 若 级 数收 敛 则 级 数 D 1n n a A 1n n a收敛 B 收敛 1 1 n n n a C 收敛 D 1 1 n nna a 1 1 2 n nn aa 收敛 解析与点评 解法 1 直接感觉法 首先 也收敛 运用运算法则可知 D 收敛 1 1 n n a 解法 2 反例排它法 取反例 n a n n 1 1 可排除 A B C 参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 9 2 基础班例 8 15 强化班第 6 讲例 5 例 9 等 题目 4 幂级数的收敛域 幂级数作为一种特殊的函数项级数 其收敛域也具有某些特定的性质 这主要体现在 以下的 定理和其推论中 1 关于幂级数的收敛域的特别提示 通常的幂级数有两种形式 一般幂级数 GPS 0 0 n n n xxa 标准幂级数 NPS 0n n nx a 幂级数收敛域的基本属性 特点 是 刘坤林 谭泽光 编 12 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场B座503室 幂级数收敛域是非空点集 对 至少在 0 0 n n n xxa 0 xx 处收敛 对 至 少在处收敛 0n n nx a 0 x 0 0 n n n xxa的收敛域是以 0 xx 为对称点的一个对称区间 收敛区间 即 rxrx 00 r为收敛半经 的收敛域是以 0n n nx a 0 0 x为对称点的一个对称区间 收敛区间 区间端点对应的收敛情况 需视具体级数进行个别考察而定 幂级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点 阿贝尔定理 若幂级数 在 0n n nx a0 0 x处收敛 则其在 0 xx 时发散 例 18 148 幂级数 1 2 5 2 n nn n nx 的收敛域为 解 2 211 1 2 5 1 5 2 5 2 1 limx nx xn n nn nn n n 因此收敛半径5 R 当5x级数发散 当5 x时 对应的级数 1 2 5 2 n nn n nx 发散 因此收敛域为 5 5 注 求幂级数的收敛域时应注意 或 以及 的区别 请参见下列例题 1n n nx a 1 2 n n nx a 1 12 n n nx a 1 0 n n n xxa 0 0 x 例 19 148 1 幂级数 1 1 1 2 1 2 n n n n x的收敛域是 解 由 11 2 1 1 2 1 2 lim 1 1 点 2 1 2 x 在收敛域的外部 因此选 C 或 0 2ln 1 n n ax n 的收敛区间为 0 2 或 2 4 又因为0 2 1 2 x 因此应选 C 例 23 153 3 若级数 在 1 1 n n n xa1 x处收敛 则此级数在2 x处 B A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 敛散性不能确定 提示 注意到 点2 1 0 Rx2 x在收敛域内部 5 幂级数的展开与求和 级数展开与求和常用的基本元素 基本零部件 是五类基本初等函数的展开式 利 用已知的基本元素或基本零部件 配合必要的代数运算及逐项微分积分运算 可以快速处 理级数展开与求和问题 最常用的重点基本元素是 1 0 1 1 n n x x 0 1 1 1 n nn x x 1 1 x 2 1 1 1 1ln 1 1 xx n x n n n 1 1 1 1ln 1 xx n x n n 3 0 1 n nx x n e 0 1 n n n x x n e x 幂级数的解析性质 和函数的连续性 幂级数的和函数在其收敛域 0n n nx a xSI上连续 即任给 有 Ix 0 00 00 limlim n n n xx n n n xx xaxa lim 0 0 xSxS xx 刘坤林 谭泽光 编 15 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场B座503室 和函数的可积性与逐项积分性质 幂级数的和函数在其收敛域 0n n nx a xSI上可积 且可逐项积分 即任给 有Ix dttS x 0 00 00 0 1 n nn n x n n x n n n x n a dttadtta 和函数的可导性与逐项求导公式 幂级数的和函数在其收敛区间 内可导 且可逐项求导 即 0n n nx a xS RR 1 1 0 n n n n n n xnaxaxS 逐项积分或微分后的幂级数收敛半径不会改变 例23 149 xx xf 2 1 在1 x处 的 幂 级 数 展 开 式 及 其 收 敛 域 为 解 1 2 1 1 1 1 1 111 2 xxxxxx xf 2 1 1 1 2 1 1 1 1 x x 00 2 1 1 2 1 1 1 n n nn n nn x x 0 1 1 2 1 1 1 n n n n x 收敛域 11 a 1n n a n 的和为 解 考虑 1 2 1 1 11 1 n n n n x x x xnxxnx 收敛域为 令 11 a x 1 11 得到 1 2 1 n n a a a n 例 27 150 3 幂级数 1 1 n n n x 的和函数为 1 1 1 n n n 的和为 解 方法 1 1ln 1 1 1 xx n n n n 其中 1 1 x 幂级数 1 1 n n n x 1ln 1 xSxx n x x n n 其中 1 1 x 而 1 1 1 n n n 相当于 且由在收敛域 1 S xS 1 1 上连续得 刘坤林 谭泽光 编 17 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场B座503室 2ln 1ln lim lim 1 11 xxxSS xx 方法 2 令 1 1 n n n x xS 其收敛域即为的定义域 1 xS 1 1 且 任给 由逐项求导公式得 1 xxSxS 1 1 x 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x n x xS n n n n 因此 1 1 1ln 1 1 0 0 111 xxdt t SxSxS x 所以 1 1 1ln 1 xxxxxSxS 由在收敛域 xS 1 1 上连续得 2ln 1ln lim lim 1 11 xxxSS xx 例 28 150 4 幂级数 的和函数 1n n nx xS 解 令 其收敛域即为的定义域 为 1 1 1 n n nxxS 1 xS 1 1 且 任给 逐项积分得 1 xxSxS 1 1 x 1 1 1 11 0 1 0 1 x x x xdtntdttS n n n x n x 因此 1 1 1 1 1 2 1 x xx x xS 所以 1 1 1 2 1 x x x xxSxS 例 29 157 求 级数 1 1 2 1 1 n n n nn 的和 刘坤林 谭泽光 编 18 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场B座503室 解 先求 的和函数 1 1 1 1 n nn xnn 1 1 1 1 n nn xnn与二阶导数有关 先考虑一阶导数 1 1 1 n nn x x x x n nn 1 1 1 1 因此 1 11 0 1 n nn x nxdxxS 1 112 1 n nn nxx 2 2 2 1 12 1 1 1 x x x x xxx n nn 再求一阶导数得到 1 1 2 3 x x x xS 于是 27 8 2 1 2 1 1 1 1 S nn n n n 几个综合例题 例 30 156 设级数在 1 1 n n n xa 3 x点处条件收敛 判断级数 1 2 2 1 1 n n n n a 是否 收敛 若收敛 说明是条件收敛 还是绝对收敛 解 由幂级数的收敛性质 条件收敛点3 x只能处于收敛区间的端点 而该级数收敛区间的中点为 由此得知其收敛半径1 x2 R 由 e n n n lim 2 1 1 又序列 n n 2 1 1 单调增加 因此 n e n n 2 2 1 1 进一步有 n nn ea n n a 2 2 1 1 而 1n n n ea 是相应于幂级数在 1 1 n n n xa 1 ex处的数项级数 且 311 ex 所以 1n n n ea 绝对收敛 刘坤林 谭泽光 编 19 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场B座503室 由正项级数的比较准则 级数 1 2 2 1 1 n n n n a 绝对收敛 例 31 158 设为正整数 记积分n 2 0 22 dxxxI nn n sincos 证明级数 n n n nI n n 1 12 22 收敛 并求该级数的和 解 2 0 2 2 2 0 2 2 2 1 dxxdxxxI n n n n sin sin cos 令 tx 2 sinsin sin 2 22 0 2 12 0 2 12 2 1 2 1 dttdttdttI nn n n n n 令ut 2 cossin 22 0 2 0 2 12 2 1 ududttI nn n n coscos n n dttdtt n n n n n 2 12 22 1 2 1 12 0 2 2 2 12 22 2 n n n nI n n 1 12 22 1 1 2 n n n 1 1 2 n n n 1 12 22 n n n 收敛 取 x x xxS n n 1 1 则只需求 2 1 S 即可 1 1 1 1 1 0 1 x x xdttS n n x 于是 2 1 1 1 1 1xx x nxxS n n 4 2 1 S 最后得到 n n n nI n n 1 12 22 注 作为和定积分应用以及微分方程的交叉运用 可进一步参考下述例题 例 32 158 1 设两条抛物线 n nxy 1 2 和 1 1 1 2 n xny 记他们交点 X 坐标的绝 对值为 n a 1 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 n S 刘坤林 谭泽光 编 20 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场B座503室 2 求级数 1n n n a S 的和 解 1 解出交点坐标的绝对值为 1 1 nn an 因图形关Y轴对称 于是 dx n xn n nxS n a n 1 1 1 1 2 2 0 2 2 3 2 0 1 1 3 4 1 1 2 nn dxx nn n a 2 1 1 3 4 nna S n n 1n n n a S 3 4 1 1 1 3 4 limlim 1 na S n n k k k n 例 33 158 2 设级数 x xxx L 864264242 864 的和函数为 求 xS 1 所满足的一阶微分方程 xS 2 的表达式 xS 解 1 xS 864264242 864 L xxx 显然 S 0 0 2 642422 642422 2 642 753 xS x x xxx x xxx xS L L 因此是初值问题 xS 00 2 3 y x xyy的解 xSy 刘坤林 谭泽光 编 21 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场B座503室 2 方程 2 3 x xyy 的通解为 1 22 2 2 23 x Ce x Cdxe x ey xdxxdx 由初始条件求得 00 y1 C 故 1 2 2 2 2 x e x y 即和函数 1 2 2 2 2 x e x xS 注 下述例题属于将函数及其导数性质与级数综合运用的例题 提高练习 例 34 159 设 x 在上连续 周期为 1 且 在上 有连续导数 令 证明级数收敛 0 1 0 dxx xf 1 0 1 0 dxnxxfan 1 2 n n a 思路 级数收敛性的实质是对其通项作为无穷小量阶的估计 为估计无穷小量 的阶次 需要运用积分性质 对此含参积分 为参数 进行估计 面对抽象函数的积分 应考虑到分部积分方法 其中将涉及到 1 0 dxnxxfan n 1 0 dxnxxf nx 的原 函数 为表达上的方便 令 显然 为 x n dtntxG 0 xGn nx 的一个原函数 证 对 取变换 x n dtntxG 0 ntu 则 nx n duu n xG 0 1 由周期性及已知条件得到 0 0 n G n n k k k n duu n duu n G 0 1 0 1 0 1 1 1 于是 1 0 1 0 1 0 dxxfxGxGxfdxnxxfa nnn 1 0 dxxfxGn 由及 x f x 的连续性 可令 max max 21 xMxfM 刘坤林 谭泽光 编 22 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场B座503室 则 2 00 1 1 1 M n duu n duu n dtntxG nx nx nxx n 于是 1 0 1 1 0 dxxGMdxxfxGa nnn 所以 2 21 2 2 1 MM n an 从而收敛 2 n a 例 35 155 设在上单调增加且有界 证明级数收敛 xf 0 1 1 n n n dxxfnf 证 由在上 单 调 增 加 有 界 则可 积 且 有 或 xf 0 xf nfdxxfnf n n 1 1 1 1 nfdxxfnf n n 于是 10 1 nfnfdxxfnf n n 所以级数 为正项级数 1 1 n n n dxxfnf 再注意到 0 1 1 fnfkfkfS n k n 且由于在单调增加且有界 所以极限存在 由此得到 xf 0 x xf lim 极限存在 即级数收敛 0 limlimfnfS n n n 1 1 n nfnf 由正项级数比较判定准则 级数 收敛 1 1 n n n dxxfnf 例 36 补 9 2006 3 19 求幂级数 1 121 12 1 n nn nn x 的收敛域及和函数 xS 解析与点评 采用比率法 2 121 32 1 12 12 1 1 limx x nn nn x nn nn n 当即1 2 x1x时幂级数发散 刘坤林 谭泽光 编 23 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场B座503室 当时 相 应 幂 级 数 为 1 x 1 1 12 1 n n nn 收 敛 当1 x时 相 应 幂 级 数 为 1 12 1 n n nn 收敛 于是该幂级数的收敛域为 1 1 以下采用水木艾迪 2006 考研数学 36 计之 10 所述级数求和的零部件安装法来求和函数 本题用零部件 1 5 令 1 21 1 121 12 1 12 1 n nn n nn nn x x nn x xS 1 x 记 1 21 1 12 1 n nn nn x xS 1 x 则 1 xxSxS 0 0 1 S 0 0 1 S 逐项求导两次得到几何级数 1 1 2 2 1 2 2 1 12 1 221 1 x x xxxs n n n nn 逐项积分一次得 x xx t dt SxS 0 2 11 1 arctan2 1 2 0 再逐项积分一次得 x tdtSxS 0 11 arctan2 0 1 arctan 2 0 2 0 x x t tdt t 1 1ln 2 1 arctan 2 2 xxxx 幂级数 1 21 12 1 n nn nn x 在收敛 其和函数在1 x1 x连续 故 1 21 1 12 1 n nn nn x xS1 1ln arctan2 2 xxxx 和函数 1 121 12 1 n nn nn x xS1 1ln arctan2 22 xxxxx 水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 10 12 例 10 13 强化班第 6 讲例 24 25 等典型例题 6 傅里叶级数 傅里叶级数是刻画周期信号的常用工具 重点是理解傅里叶级数的概念 掌握狄里克 刘坤林 谭泽光 编 24 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场B座503室 雷收敛定理 能写出函数的傅里叶系数 傅里叶级数及其和函数等 1 周期为 2的傅里叶级数 三角函数系 L 2 1 1 nntSinntCos 是 上的正交性 即 mn mn mxdxnx 0 coscos mn mn mxdxnx 0 sincos mn mn mxdxnx 0 sinsin LL 2 1 2 1 0 mn 2 上定义的周期函数展开为傅里叶级数 设函数是周期为 xf 2的可积周期函数 2 1 0 cos 1 L nnxdxxfan 3 2 1 sin 1 L nnxdxxfbn 傅里叶级数 记作 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a xf 当是周期为 xf 2的可积奇函数时有正弦级数 1 sin n n nxbxf 2 1 0 0L nan 3 2 1 sin 2 0 L nnxdxxfbn 而当是周期为 xf 2的可积偶函数时有余弦级数 1 0 cos 2 n n nxa a xf 2 1 0 cos 2 0 L nnxdxxfan 2 1 0 0L nbn 根据周期函数的性质 傅里叶系数可在任何一个周期长度的区间上积分得到 即 2 cos 1 nxdxxfan 2 sin 1 nxdxxfbn 3 傅里叶级数的收敛性 狄里克雷收敛定理 设是周期为 xf