线性代数—习题参考与解答.doc

第一章行列式1求下列各排列的逆序数.（1）32154 (2) 54123 (3) 13(2n-1)24(2n)解： (1) 32154. t=0+1+2+0+1=4 . (2) 54123. t=0+1+2+2+2=7(3) 13(2n-1)24(2n). t=(n-1)+(n-2)+2+1=2利用对角线法则计算下列三阶行列式(1) (2) (3)解：(1)原式=141+3(-1)2+50212(-1)031245=46+240=-40.(2)原式=1bc2+1ca2+1ab21b2c1ac2a2b1=bc2a2cab2b2cac2a2b. (3)原式=xxx+0xx+x0xxxx00xxxx=x3x3x3=x3.3计算下列各行列式(1) (2) (3)(4) (5)解： (1) 917=0(2) =19(3)=-211(4) =(5)(a+4x)(a+4x)=(a-x)4(a+4x)4.证明下列各式(1)=(a3+b3)(2) =证：(1) 左边=+考虑=a=a=a2=a2=a3同理可得 =b3=b3所以 左边=(a3+b3) =右边(2)左边=D2n=an+bn(-1)2n+1=andnbncn=andnD2(n-1)-bncnD2(n-1)=右边5. 计算下列各行列式(1)Dn= (2) Dn+1=(3) Dn+1=(提示：利用范德蒙行列式的结果.)(4) Dn=,其中a1a2an0解： (1)Dn=（2） Dn+1=a1a2an=a1a2anMn+1.记Mn+1=所以即 所以计算M3=3(3) Dn+1=其中 (4) Dn= 6用克莱姆法则解下列方程组(1) (2)解： (1) D= (2)D= D1 7问a与b为何值时下列齐次线性方程组有非零解？(1) (2)解： (1) (2) 第二章矩阵1设A=，B=求4A+3B解： 4A+3B=2.求2AT-5B,其中A=，B=解： 3设A，B是n阶对称矩阵，k是常数，P是任意n 阶矩阵，试证(1)A+B与kA是对称矩阵；(2)PTAP是对称矩阵证：(1)由故 A+B和kA是对称矩阵.(2)由(PTAP)T=PTAT(PT)T=PTAP 故PTAP是对称矩阵4求下列矩阵的乘积(1) (-1 2) (2) (9 -7 3)(3) (4) (5) (x1 x2 x3)解： (1) (-1 2)=(2) (9 -7 3)=18-35+12 = -5(3) (4)(5)(x1 x2 x3)=(x1 x2 x3) =5.设ABBA，证明（1）（AB）2A2+2ABB2 （2）（AB）（AB）A2B2（3）对任意非负整数k，AkB=BAk证： (1) (2) (3)由， 同理类推归纳得6. A，求Ak(k是正整数)解：设C=，对角矩阵则A=又对角矩阵可与任何矩阵交换，特别有,故.又得7设f(x)=3-7x-x2，A=，求f(A)解： 由得=8设P，APQ，求A100解 因124151故 由 ,得 9设A，证明：当正整数n3时，An=An-2+A2-E,并求A100解： 由等式成立，即 当n=3时成立，假设当n=m时上式成立 ，当n=m+1时有即等式，当n=m+1时也成立.由数学归纳法知此等式成立.且10设A是主对角元素互不相等的n 阶对角阵，试证与A可相乘交换的n阶矩阵必是对角阵证：设对角阵当时，为任意矩阵，由矩阵乘法可知根据题设要求条件AB=BA，则有当时知得bij=0,故 B=(bij)为对角阵.11.求下列矩阵的逆阵（1） （2）(3) (4) (5)解： 由逆矩阵计算公式求得：(1)(2)(3)(4) (5) =12.求下列矩阵方程中的矩阵X（1）X= （2）X=（3）X=解： (1)(2) 13利用逆阵解下列线性方程组（1） （2）解：(1)由则= (2) 由则14设A，矩阵B满足A1BA6ABA.求B解：由存在，等式两边同时右乘即 知B6由可逆，故15设（2EC1B）AT=,其中B，C，求A解： 将两边同时左乘C，得，两边转置得知可逆，故16设A，矩阵X满足X=A-1+2X,求X解：由整理得两边同时左乘A，得由 故得 所以17设n阶矩阵A满足A23A5E，证明A2E，A7E都可逆，并写出其逆阵解：由同理知则有18设矩阵A，B是三阶非零矩阵，且ABO，求t解：先证明|A|=0。反证：设|A|0，由A可逆，对AB=O两边同时左乘A-1，有B=A-1O=O，与题设B非零矛盾，故知|A|=0。再由|A|=t+18+8-(-6t-3+8)=7t+21=0,解得t= -3.19设A是三阶矩阵，A10，计算解法(1) 由公式则解法(2) 由则 20证明（1）若A是非奇异对称矩阵，则A1，A*也是对称矩阵（2）奇数阶反称矩阵是奇异矩阵证：由为对称 .由知A*对称(2) ，且n为奇数；, 所以A 奇异矩阵.21设A、B是n阶非奇异矩阵，证明（1）A*An-1（2）(A*)*=|A|n-2A (n2)（3）(A-1)*=(A*)-1（4）(AB)*=B*A*证：(1)由又两式联立有|A|A*|=|A|n,故 |A*|=|A|n(2) 由，两边左乘A得已知 AA*=|A|E代入有(3) 由又，两式联立有(4)由=22设矩阵，.且已知行列式试求.解：=+ =8+8 23用分块矩阵方法求下列矩阵的逆阵（1）（2）解：（1）由故(2) 设则且由教材书第48页例15知24设s阶方阵A与t阶方阵B都可逆，（1）求解：(1) 设由则整理由 得解得(2) 由（1）的结果，设，则则.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1.把下列矩阵化为行最简形矩阵(1) (2)(3)解：（1）（2）（3）（4）2.设A是n阶可逆矩阵，将A的第i行和第j行交换后的矩阵记为B(1)证明B可逆；(2)求AB-1（1）证：B |B|=|E(i, j)| | A |A|0, 所以B可逆.（2）解：3.从矩阵A中划去一行得到矩阵B，问A、B的秩的关系怎样？解：4.求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是(1，0，1，0，0)，(1，-1，0，0，0)解： 所求方阵可以为5用初等变换方法求下列矩阵的逆矩阵：A= B= C=D=解：（1），所以（2） ，所以(3) 所以（4） ，所以6利用初等变换求下列矩阵方程：(1)X= (2)X=解：（1）所以X（2） 所以X7设A是任意矩阵，判断下列关于秩的命题是否正确？(1)若r(A)=r，则A的所有r阶子式都不等于零.(2)若r(A)=r1,则A至少有一个r-1阶子式不等于零.(3)若A的所有r+1阶子式全为零，则r(A)=r.(4)若r(Amn)=n,则mn.(5)若A是非零矩阵，则r(A)=r0.(6)若A是n阶满秩方阵，则的(A2)=r(A)2.(7)若4阶方阵A的秩为2，则A*的秩为0.(8)若r(A)=r,则没有等于0的r-1阶子式.解 (1)否。A只需存在一个r阶子式不为零即可.(2)是，若A的所有r-1阶子式全为零，则A的r 阶子式也一定全为零.(3)否，此时有r(A)r.(4)是，由r(A)=n, r(A)min(m,n)，知nmin(m,n),即nm.(5)是，A至少有一个元素不为零，所以r(A)0.(6)否，r(A2)=r(A)r(A)2.(7)是，此时A的所有三阶子式全为零，A*为零矩阵，所以r(A*)=0.(8)否，理由同（1）8.求下列矩阵的秩A= B=C= D=解： A=B=r(B)=r()=4.C=D=，r(D)=r()=3.9.设A=的秩为2，求解：由于r(A)=2,所以|A|=0, 而 |A|=, 即 ，解得15， 2。10.设A是43矩阵，r(A)=2,B=求r(AB)解：B40，所以B为满秩阵，由书第66页推论知r(AB)=r(A)=2.11.设n阶非零矩阵A=(aij),Aij是aij的代数余子式，若aij=Aji(i,j =1,2,n),试证r(A)=n证：设n阶非零阵A（aij）中第i行有非零元素，则A=所以.12.证明mn矩阵A的秩r(A)1的充分必要条件是存在矩阵B=和C=(c1,c2,cn)，使A=BC.证：充分性：显然r(B)1，由书第66页定理7知r(A)r(BC) r(B) 1所以r(A) 1。必要性：（1）若r(A)0，则A0，取B，C（0，00），得ABC；（2）若r(A)1，则A的任意两列两行成比例，则A13. 证明秩为r的矩阵可表示为r个秩为1 的矩阵之和.证：由书第60页定理2可知，存在满秩方阵Pmm及Qnn，使APmm其中J=J1+ J2+ +Jr,Ji为第i列第i行元素为1，其余元素均为零的且与A同型的矩阵（lir）。于是A=由书第66页推论知即A为r个秩为1的矩阵之和.14计算下列各题(1)设1=(1,3,-1,6)，2=(1，5,4,5)，3=(2,6,7,-3)求(2)且求(3)设且求解：（1）3(1，3，-1，6)4(1，5，4，5)+2(2，6，7，3)=(3，1，5，8).（2）由312233可得（31223）（3）由2（12）3（2）5（322）0可得15设为三维列向量，矩阵A=，矩阵B=，且|A|=3，求|A+B|.解：16求解下列非齐次线性方程组(1) (2)(3) (4)解：（1）（Ab）=(2) (Ab)= (3) (Ab)=(4) (Ab)=2=r(A)r(Ab)=3,所以无解.17求解下列齐次线性方程组(1) (2)(3) (4)解：（1）A（2） A （3）A,r(A)=4.所以此方程组只有零解。（4）A18取何值时，非齐次线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解？解：故时，有唯一解.（2）当 令时方程组无解.（3）应r(A)=r(Ab)3, 由（2）的运算，令故r=1时方程组有无穷多个解.19非齐次线性方程组当取何值时有解？并求出它的解解：（Ab）=当（1）（2）0，即1或2时有解.(1)1. (2）2, .20设当取何值时，此方程组有惟一解？无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解.解（1）A，故时方程组有惟一解.（2）r(A)r(Ab), ,(Ab)= 令所以，时无解.（3）r(A)=r(Ab)3,令故1时有无穷多解，此时第四章 向量组的线性相关性1.试将向量表示成，的线性组合.解： 设，即， ， 即：，故.2. 设线性表示,但不能线性表示,证明线性表示, 但不能线性表示。证：因线性表示，则有由条件不能线性表示，可知（否则矛盾）。故可得下面反设线性表示,设有，整理则有（）得这与题设条件不能线性表示矛盾，故由反证法得证。已知距阵（） 写出距阵的列向量组；（） 能否由距阵的列向量组线性表示？若能，写出线性组合式。解：（1） 的列向量组为 ， ， （2） 由定理知,若能由距阵的列向量组线性表示，则方程组有解，即解方程组 得 即4.假如向量可由线性表示, 中的每一个又可以被线性表示,试证:可由线性表示.证：可由线性表示,. 又中的每一个可以被线性表示, (. .故为的线性组合.5.下列论断哪些是对的?哪些是错的?如果是对的,请说明理由;如果是错的,请举出反例.(1)如果当时，都使,那么线性无关;(2)如果任何不完全都是零的数,都使,那么线性无关.(3)如果线性相关,那么线性表示.(4)若线性相关,也线性相关,则存在一组不全为零的数,使及都成立.(5)若向量组线性无关,向量不能由线性表示,则向量组,线性无关.(6)若线性无关, 也线性无关,则向量组,也线性无关.解： (1); (2) ; (3) ;(4) ;(5) P;(6) .（理由和反例略）。6.判断下列向量组的线性相关性:(1),(2),(3),(4),解：(1)相关.因为向量维数小于向量个数.(2) ,线性无关.(3) 因线性相关。(4) 取,.,故线性无关,所以线性无关.7.设,证明线性相关.证 存在一组不全为零数-1,1,-1,1使上式成立 由线性相关定义知线性相关.8. 略(参看定理7(2).9. 设向量线性相关,其中任意个向量均线性无关.证明存在一组全不为零的数使.证：反证：线性相关存在不全为零的数,使.若,则.由于为个向量,由题设知它们线性无关,同时为零,于它们不全为零相矛盾 .10.设向量组线性无关,向量,其中.证明向量组,中任意个向量均线性无关.证：不妨证明,线性无关.设.(1)若,由于线性无关,得,所以,线性无关.(2)若,则,又,使得,由线性无关,得,这与已知矛盾.从而只能 ,线性无关.利用初等变换求下列矩阵列向量组的一个极大无关组:(1) (2)解：(1),为极大无关组.(2),为极大无关组. 求下列向量组的秩,并求一个极大线性无关组:(1),(2)(3)解：(1)为一个极大无关组.(2) 为一个极大无关组.(3) 为一个极大无关组.13. 已知向量组的秩为2,求.解：设向量为行构成的矩阵为,由题设知其秩为2,知所有三阶子式为零. ,.14. 求下列向量组的一个极大无关组,并把其余向量表示为这个极大无关组的线性组合.(1)(2)解：(1)以为列构成的矩阵为,为极大无关组,.(2)为极大无关组.,.15. 证明维向量组线性无关的充分必要条件是任意维向量都能由向量组线性表示.证：线性无关 为的一个极大无关组.中任一向量均可由线性表示.若中任一向量均可用向量组表示 能由线性表示,则又 , 线性无关.16.设向量组的秩为,向量组的秩为,向量组,的秩为,证明证：设向量组由与组成,其秩. .取与的极大无关组与,它们合并组成向量组,其中共有个向量.任取向量,若,则可由线性表示,从而由线性表示,若,则可由线性表示,从而由线性表示.故向量组可由线性表示,即.17.设问是不是向量空间?为什么?解： 由定义可知,是向量空间,而不是向量空间.18.设,试证是的子空间,并写出的维数和一个基.证：,则 是的子空间.的维数为,其基为.19.设;(1) 验证是的一个基;(2) 求向量关于这个基的表达式.解：(1)线性无关,即为的一组基.(2)设,. .20.求下列齐次线性方程组的基础解系:(1) (2)解：(1) .21.设 ，都是n阶方阵，且,证明：证：设，可知，n个列向量属于齐次线性方程X=O 的解空间。若, 则由定理10，知只有解，即，故有若, 则由定理13的推论，知线性方程组的解空间维数为，即 列向量组的秩，则有棕合上述两结论，此命题得证。 .求齐次线性方程组的解空间的一个基.，解：, ,.解空间一个向量基为,.正交化并单位化为,.求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为.解：齐次线性方程组的解为,则.求下列非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1) (2)解：(1) .,其中一个解为, 对应的齐次线性方程组一个基础解系为,.设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明(1)线性无关(2) 线性无关证：(1)设.若,则,而为的一个基础解系.其线性组合为的解,即与的解矛盾,又线性无关由定义线性无关.(2) 设,即：.因线性无关，故， 线性无关.26设线性方程组的s个解,是实数，满足，证明 也是方程组的解。证： =b故也是方程组的解。27将齐线性方程组 的基础解系先正交化再单位化。 解：的基础解系 整理为 正交化，取， 再单位化，得28用施密特正交化方法把下列向量组标准正交化（1） （2） 解：取， 再单位化，得(2)取， 再单位化，得29.若是正交矩阵,试证明:(1)也是正交矩阵;(2)也是正交矩阵.证：(1)正交矩阵 正交.(2) 正交正交.(3)正交正交.(4)正交正交.30.下列矩阵是不是正交矩阵?(1) (2)解：,不是正交矩阵.(2)是正交矩阵.第五章 矩阵的特征值与特征向量1.设，.验证,是否为的特征向量;如果是,就求出对应的特征值.解：计算乘积 可见是矩阵的特征向量,对应的特征值是1;也是的特征向量,对应的特征值是3;不是矩阵的特征向量.2.求下列矩阵的特征值和特征向量. (1) (2)(3) (4)解：(1) 矩阵的特征方程矩阵的特征值.对于特征值,解齐次线性方程组,即得其基础解系.矩阵的属于特征值2的全部特征向量为,.当时,解齐次线性方程组,即得基础解系.矩阵的属于特征值3的全部特征向量为,.(2) 矩阵的特征方程矩阵的特征值.对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系.矩阵的属于特征值2的全部特征向量为,.对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系.矩阵的属于特征值9的全部特征向量为,.(3) 矩阵的特征方程矩阵的特征值.对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系.矩阵的属于特征值-3的全部特征向量为,;对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系.矩阵的属于特征值7的全部特征向量为,.(4) 特征方程矩阵的特征值,.对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系.矩阵的属于特征值的全部特征向量为,;对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系.矩阵的属于特征值11的全部特征向量为,.3.求下列矩阵的特征值和特征向量.(1) (2) (3) (4) 解：(1)矩阵的特征方程矩阵的特征值.对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系.矩阵的属于特征值-1的全部特征向量为,.对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系.矩阵的属于特征值1的全部特征向量为,;对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系.矩阵的属于特征值2的全部特征向量为,.(2) 矩阵的特征方程矩阵的特征值.对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系,.矩阵的属于特征值2的全部特征向量为,不同时为零.(3) 矩阵的特征方程矩阵的特征值,.对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系.矩阵的属于特征值2的全部特征向量为,;对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系.矩阵的属于特征值3的全部特征向量为,.对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系.矩阵的属于特征值0的全部特征向量为,.(4) 矩阵的特征方程矩阵的特征值,.对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系.矩阵的属于特征值0的全部特征向量为,;对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系.矩阵的属于特征值-5的全部特征向量为,;对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系.矩阵的属于特征值9的全部的特征向量为,.4.验证1,2,3是否为矩阵的特征值;如果是,就求出对应的特征向量.解：矩阵的特征方程为 (1)将代入方程(1),其满足方程,故1是矩阵的特征值.对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系.矩阵的属于特征值1的全部特征向量为,;将代入方程(1)满足方程,故是矩阵的特征值.对于特征值,解齐次线性方程组得其基础解系,.矩阵的属于特征值2的全部特征向量为,不同时为零;将代入方程(1),其不满足方程,故不是矩阵的特征值.5.设和都是矩阵的特征向量,对应的特征值依次是1和0,求.解：由题设知,把上述两式合并成一个矩阵方程得故.6.设都是矩阵的特征向量,对应的特征值依次是3,2,1,求.解：由题设知 ,把上述三式合并成一个矩阵方程得 故7.设,求和的特征值.解：矩阵的特征方程为故矩阵的特征值为,.因此的特征值为,.的特征值为,.8.已知三阶矩阵的特征值为1,-1,2,求的值.解：1,-1,2是矩阵的特征值得出矩阵的三个特征值,其中,由于矩阵是三阶矩阵,其只有三个特征值,因此9.设三阶矩阵有一个特征向量,求,和对应的特征值.解：由得于是由上述方程组解得,.10.设是维非零列向量,求证是矩阵的特征向量.证：令,则.故是的特征向量.11.设阶矩阵满足,且的特征值都是1,证明.证：由得 (1)由于的特征值都是1,-1不是的特征值,即所以可逆.用左乘(1式)两端得.12.设阶矩阵满足,证明的特征值只能是1或-1.证：设是矩阵的特征值,是矩阵的属于特征值的特征向量,则用矩阵左乘上式两端,并利用得故由于特征向量是非零向量,所以,即.13.设阶矩阵的特征值为，求矩阵的特征值与行列式的值.解：因为是的矩阵多项式,所以的特征值为,即且14.判断矩阵能否相似于矩阵;若能相似,求出可逆矩阵,使.(1) ， (2) ，.解：(1)由题设知矩阵只有一个三重特征值,且所以矩阵只有一个线性无关的特征向量，其不能对角化.又因为矩阵是对角矩阵,所以矩阵不能与矩阵相似.故不能相似于.(2)由题设知3阶矩阵有三个不同的特征值,因此一定存在可逆矩阵,使得而上式右端恰好是矩阵,所以矩阵与矩阵相似,同时矩阵与矩阵也相似.易求得矩阵对应于特征值的特征向量分别为,.令,则,.再令,则.15.设与相似.(1) 求的值;(2) 求可逆矩阵,使.解：(1)因为与相似,从而有相同的特征值,而2是的特征值,重数不小于2,于是2也是的特征值,重数也不小于2,故.又因为所以.(2)由上讨论知矩阵的特征值为,.由于相似矩阵的特征值完全相同,所以,即求矩阵的属于特征值2的线性无关的特征向量:属于特征值2的线性无关的特征向量,.求矩阵的属特征值于6的线性无关的特征向量:属于特征值6的线性无关的特征向量.令,则.16.设是主对角线上元素全为2的上三角矩阵,并且当时,存在.问能否与对角矩阵相似?解：设,由于上三角矩阵的个主对角线上的元素即为的个特征值,所以2是的重特征值.考虑齐次线性方程组.由于当时,存在,所以.因此方程组的基础解系中所含向量的个数小于等于,即矩阵的线性无关的特征向量的个数小于等于,所以不能与对角矩阵相似.17.计算:(1) 设,求;(2) 设,求(是正整数).解：(1)解矩阵的特征方程得其特征值,对应的特征向量依次为,.记则是正交矩阵,且,从而故(2)解矩阵的特征方程得其特征值,对应的特征向量依次为,.令,则,即 18.设为阶实对称正交矩阵,且1为的重特征值.(1) 求的相似对角矩阵;(2)求的值.解：(1)由于为阶实对称正交矩阵,故必能相似于对角矩阵.而由上述12题知,的特征值只能为1或-1.由于1为的重特征值,故-1为的重特征值,因而的相似对角矩阵为(2) 由上述讨论知, 的特征多项式为故19.已知下列矩阵,求正交矩阵,使,其中是对角矩阵.(1) 解：解矩阵的特征方程得其特征值,对应的特征向量依次为.令则为正交矩阵,且(2) 解：解矩阵的特征方程得其特征值,.对应的特征向量依次为. 令则为正交矩阵,且 (3) 解：解的特征方程得其特征值，,对应的特征向量依次为,.令则为正交矩阵,且(4) 解：解矩阵的特征方程得其特征值,.与特征值对应的特征向量为,将与正交化得,与特征值对应的特征向量为,将,单位化得,令则为正交矩阵,且(5) 解：解矩阵的特征方程得其特征值,对应的特征向量依次为,.令则为正交矩阵,且(6) 解：解矩阵的特征方程得其特征值,对应的特征向量依次为,令则为正交矩阵,且20.设和都是阶矩阵,并且都相似于对角矩阵.证明的充分必要条件是和的特征多项式相等. 证：必要性.因为,所以存在可逆矩阵,使得.于是充分性.因为和有相同的特征多项式,所以它们有完全相同的特征值.记全部特征值为,则有,由相似关系的传递性知.21.设三阶实对称矩阵的特征值为1(二重)和-1,并且是矩阵属于特征值-1的特征向量,求.解：先求矩阵的属于特征值1的两个线性无关的特征向量,.因为,都与正交(因为是实对称阵),所以,即,都是齐次线性方程组的非零解.求出此方程组的一个基础解系,令则=解此矩阵方程得22.设实对称矩阵有特征值2,求的另外两个特征值.解：由矩阵的对称性知,由得.故,设矩阵的另外两个特征值为,记.则由,知, 即 解上述方程组得,.第六章 二次型1.求下列二次型的矩阵和秩.(1) (2) 解：(1),. (2),.2.写出下列实对称矩阵的二次型.(1) (2) 解：(1). (2).3.求正交变换,把下列二次型化为标准形.(1)解：的矩阵,的特征方程解得的特征值为,.对于特征值,解齐次线性方程组,即得到矩阵的属于特征值的特征向量.同理, 矩阵的属于特征值的特征向量.将单位化得 ,则正交矩阵所用的正交变换为二次型的标准形为(2)解：的矩阵,的特征方程解得的特征值为,对应的特征向量依次为,.将单位化得 ,则正交矩阵所用的正交变换为二次型的标准形为(3)解：的矩阵, 的特征方程解得的特征值为,对应的特征向量依次为,.将,单位化得, ,则正交矩阵所用的正交变换为二次型的标准形为(4)解：的矩阵,的特征方程解得的特征值为,.属于的特征向量为,属于的两个线性无关的特征向量为.将,正交化得,将,单位化得,则正交矩阵所用的正交变换为二次型的标准形为4.略5.略6.略7.已知二次型的秩为2.求,并求的矩阵的特征值.解：的矩阵. 因为,所以 ,.的特征方程故的矩阵的特征值为.8.设二次型经正交变换化为,求.解：的矩阵与其标准形的矩阵满足,即.其中,由得取代入上式得,再取代入上式得,故9.已知二次型可用正交变换化为,求和所用的正交变换.解：的矩阵与其标准形的矩阵相似,即.其中,于是矩阵的特征值为1,2,5,即方程的根为1,2,5.据此可算出.当时，矩阵的特征值1,2,5所对应的特征向量依次为,将单位化得,则正交矩阵,所用的正交变换为当时，矩阵的特征值1,2,5所对应的特征向量依次为,将单位化得,则正交矩阵,所用的正交变换为考试题及答案线性代数试卷（A卷）院系_班级_姓名_学号_题号一二三四五六七八总分成绩一 填空(每题3分,公30分)1. =_.2. 设,则3.n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是_.4.设是一向量空间,试写出V的一个标准正交基_.5.已知是正交向量组,且6.设7.设8.设可逆方阵A满足9. 则该方程组的通解为10.设二次型则该二次型的秩为_.二 计算行列式(每题6分,共12分)1. 2. 三 解矩阵方程(10分) 设且四 设 试确定值使该方程组有唯一解,有无穷多解,无解(8分)五 设A为三阶实对称矩阵,它的特征值为,且对应的一个特征值为,试确定属于的两个正交特征向量(8分)六 求一正交变换化二次型为标准行,并计算七 设向量组线性无关,而向量组线性相关,试证可由线性表示.(6分).八 设向量组是正交向量组,是正向量组线性无关.(6分)线形代数试卷（B）卷院（系）班级姓名学号题号一二三四五六七八总分成绩一、 填空（每题3分，共30分）1、=2、设Q=，则Q=3、n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是4、设A=，则=5、设=，V是一向量空间，试写出V的一个标准正交基6、设向量组，线性无关，=，=+，=+，且+=，则= ，= ，=7、设A=，则R（A）=8、设，是非齐次线性方程组A=的两个线性无关解，且R（A）=2，则该方程组的通解为= 9、设A是可逆方阵，且满足3=A，则为A必有特征值=10、设二次型=，写出二次型的矩阵_.二、 计算行列式（每题分，共分）、 、三、 解矩阵方程（分）设，且，求矩阵。四、 设，问为何值时该方程（）有唯一解；（）无解；（）有无穷多解（分）五、 设为三阶实对称矩阵，它的特征值为六、 求一正交变换，将二次型（20分）七、设n阶方阵有n个线性无关的特征向量，试证可对角化（分）八、 设向量组是正交向量组，试证向量组线性无关（分）1、.2、,3、A有n个线性无关的特征向量.4. 。5. 6. 错7.8、19.10、1二 、1. 2. 三 四 、（1），有唯一解；（2）时无解；（3）时，有无穷多解。五、设对应特征值的特征向量为即为所求。六、,的特征方程= ,特征值为。 对于特征值 得到矩阵A的属于特征值的特征向量,矩阵A的属于特征值的特征向量为. 正交矩阵所用正交变换为二次型的标准型为七、解：由于线性相关，故存在一组不全为零的，使，若，则不全为零与向量组线性无关，矛盾。故，所以。八、证明：设有个数，使。上式两边分别与作内积得由正交定义，所以由所以。同理可证都为。所以线性无关.线性代数试卷（B卷）答案一、填空（每题3分，共30分）1、2、3、A有n个线性无关的特征向量4、5、（1，0，0），（0，1，0）6、0，0，07、28、9、10、二、计算行列式（每题6分，共12分）、解2、解： =n三、 解：解矩阵方程（10分）解：四、解： 五、解：令，对应特征向量为X=。由于X与正交，故=+=0， =正交化得令=，六、解：A= 特征值 对=3，=-1，对=3，解齐次方程的基础解系为，对，解齐次方程组，得基础解系，单位化，令，使，即令七、证明： 令A有n个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别是，则有 线性无关，可逆，记，则AP=P，即AP=，故A，即A可对角化八证明：用与（1）式两边做内积得：又因为 线性代数试卷（A卷）(共3张6页)院系_班级_姓名_学号_题号一二三四五六七八九总分成绩一 填空(每题3分,公24分)1.设A是三阶方阵,的伴随矩阵,若2.设则3.行列式的值为_.4.已知向量组的秩为2,则 5.设A是矩镇,且A的秩为,而,则6.设A是正交阵,则行列式7.设A是三阶方阵,其秩为2, 是非奇次线性方程组的两个不同的解,则该方程组的通解为_.8.若方阵A有一个特征值是1,则二 (10分)求矩阵X,使AX=B,其中 .三 (10分) 求向量组 的秩，并求一个极大线性无关组。四 （7分） 设A，B都是矩阵，证明：如果AB=0，那么，秩（A）+秩（B）五 （10分） 求方程组 的通解（要求用基础解系表示通解）。六 （10分） 如果向量组线性无关，而线性相关，证明向量可以由向量组线性表示。七 （10分） 设，（1）求A的特征值；（2）A是否相似于对角阵A？若是写出A。八 （7分）设施用施密特正交化法把这组向量规范正交化。九（12分） 求正交变换将二次型化为标准型。线性代数（B）卷（共页张）2004年5月题号一二三四五六七八九总分分数教师签名一、填空题（每题3分，共24分）1.已知方阵A的行列式|A|=2，A*是A的伴随矩阵，则|A*-A-1|=_.2.设，则_.3.行列式的值为_.4.已知向量组的秩为2，则t=_.6.正交阵A的行列式|A|=_.7.设二次型经过满秩线性变换化为标准型则该二次型的秩等于_.8.设可逆方阵A满足A2=A，则A必有一个特征值=_.二、（10分）设，且AXB=C，求矩阵X.三、（10分）向量组是否线性相关？求出其一个极大线性无关组.四、（7分）证明：，其中A是矩阵().五、（10分）求方程组的通解（要求用基础解系表示通解）.六、（10分）设向量组是正交向量组，试证向量组线性无关.七、（10分）设，（1）求A的特征值；（2）A是否相似于对角阵A？若是，写出.八、（7分）设，试用施密特正交化法把这组向量正交化.九、（12分）求正交变换X=PY将二次型化为标准型.线代2003-2004(A)解答一.1. - 2. 3. 12 4. t=35.r(AB)=2 6. =1 7. k(-),k为任意数. 8. =0二.解: A故r(A)=3.从而A为可逆阵=故= 于是 X=B=#三.解: 秩为3. 极大无关组为,. #四,证明:因为AB=0,故B的每个列向量均为齐次线性方程组AX=0的解向量.于是r(B)=B的列向量组的秩AX=0的解空间维数=n-r(A)从而r(A)+ r(B) n. #五,解: 自由未知量为, 对应的方程组为故令=0, =0 得特解= 对应的齐次线性方程组为设=1, =0得= 设=0, =1得= 故通解为+ + 为数.六.证明,因为,线性相关,故有不全为0的数,L 使的+.+L=0L必然非零,若不然,有不全为0的使得+.+=0于是线性相关,得矛盾.从而=-.-.即可由向量组线性表示七,解: =(-1) =(-1) =(-1) (-4) (+2)于是特证根为=1, =4, =-2因为有三个比同的特证根,故必然相似于对角阵=diag(1,4,-2). #八=-=-=再规范化得. = =九.解:二次型的矩阵A= 特证根对 3E-A= 解得基础解系为=对 E-A= 解得基础解系为=将单位化得 设P= 则X=PY将二次型化为标准型f=#线性代数参考答案及参考评分标准2004、5一、填空题 1.1/2；2. ；3. ；4.3；5