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2009高考数学思想：函数与方程的思想函数与方程的思想是指在解决某些数学问题时，构造适当的函数与方程，把问题转化为研究辅助函数与辅助方程性质的思想。2009高考复习的第二阶段，要加强数学思想方法的训练，不能停留在解题的一招一势上，而要在整体上宏观上审视数学问题和方法，总结规律，提炼思想，并领会实质，自觉运用，从而形成良好的数学素养，进入到一个较高层次。（一）函数思想 函数的思想,是指对一个数学问题,构造出一个相应的函数,用函数的有关性质去分析问题,进而解决问题.例1：设不等式2x1m(x1)对满足|m|2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。解：问题可变成关于m的一次不等式：(x1)m(2x1)0在-2,2 恒成立，设f(m)(x1)m(2x1), 则 解得x 感悟此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于x的不等式讨论,应变一个角度以m为变量,即关于m的不等式的恒成立问题。例2. 设，其中，如果当时，f(x)有意义，求a的取值范围。解析：二次函数及图象、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的，许多问题都可以利用它们来解决，只要进行合理的转化就可以了。可知，即当时恒成立。而都是减函数，则在上是增函数。故当x1时，g(x)取得最大值是，从而得a的取值范围是。感悟 本例采用分离参数法，再构造函数，使不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，方向明确，解法简捷。在数学各分支中若遇到有关不等式、方程及最值之类的问题，利用函数观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种适当的解题途径。这充分体现了方程思想和函数思想的实用性和重要性。（二）方程思想 方程的思想，就是数学问题中的各字母从数量关系分析入手，转化为确定各字母的值，或各字母间的相等或不等关系，即方程或不等式关系，然后通过解方程（不等式），或利用方程、不等式的有关定理性质，使问题得到解决。例3：一抛物线的顶点在原点上，对称轴为y轴，此抛物线上各点到直线的距离的最小值为，求此抛物线的方程。解：设抛物线为，设为其上任意一点，则到直线的距离令且， 感悟把几何问题灵活地转化成求函数的最值问题。例4. ABC的三边a，b，c满足b8c，试确定ABC的形状。解析：因为bc8，所以b，c是方程的两实根，即，所以a6。从而得bc4，因此ABC是等腰三角形。感悟 构建一元二次方程的模型解决数学问题，是一种行之有效的手段，其独特功能在于充分运用构建的一元二次方程及根的判别式和求根公式变更命题，从而使问题获得圆满解决。（三）练习1已知集合，若，则b的范围是（ B ）A B C D2已知函数y=f(x)有反函数，则方程f(x)=a,(a为常数)的根的情况是（ B ）A.有且只有一个实根 B.至多有一个实根 C.至少有一个实根 D
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