高考数学 4.5 数系的扩充与复数的引入课件.ppt

第五节数系的扩充与复数的引入 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 复数的有关概念 a bi a b b 0 b 0 a 0 且b 0 a c且 b d a c 且b d 实 轴 虚轴 2 复数的几何意义 复数z a bi a b r 和复平面内的点z a b 一一对应 复数z a bi a b r 和向量一一对应 3 复数代数形式的四则运算 运算法则 设z1 a bi z2 c di a b c d r 则 a c b d i ac bd ad bc i 复数加法的运算律 设z1 z2 z3 c 则复数加法满足以下运算律 交换律 z1 z2 结合律 z1 z2 z3 z2 z1 z1 z2 z3 2 必备结论教材提炼记一记 1 i乘方的周期性 2 z z 2 2 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 利用复数的运算法则求复数的和差积商的方法 以等式或点的坐标的形式给出考查复数的几何意义的方法 2 常用思想 函数与方程 数形结合 分类讨论 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 若a c 则a2 0 2 在实数范围内的两个数能比较大小 因而在复数范围内的两个数也能比较大小 3 一个复数的实部为0 则此复数必为纯虚数 4 复数的模就是复数在复平面内对应向量的模 解析 1 错误 若a i 则a2 1 0 因而 1 错 2 错误 若两个复数为虚数 或一个为实数 一个为虚数 则它们不能比较大小 3 错误 当虚部也为0时 则此复数为实数0 4 正确 由复数的几何意义可知该结论正确 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 选修2 2p112a组t2改编 在复平面内 已知6 5i对应的向量为 4 5 则对应的复数为 解析 由已知得 6 5 又 4 5 故 6 5 4 5 10 10 故对应的复数为10 10i 答案 10 10i 2 选修2 2p112a组t6改编 已知实数m是方程x2 2 i x n 2i 0 n r的一个根 则m n 解析 由已知得m2 2 i m n 2i 0 即 m2 2m n m 2 i 0 故得故m n 2 答案 2 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 新课标全国卷 a 1 ib 1 ic 1 id 1 i 解析 选d 1 i 2 2014 山东高考 已知a b r i是虚数单位 若a i与2 bi互为共轭复数 则 a bi 2 a 5 4ib 5 4ic 3 4id 3 4i 解析 选d 因为a i与2 bi互为共轭复数 所以a 2 b 1 所以 a bi 2 2 i 2 4 4i i2 3 4i 3 2014 江苏高考 已知复数z 5 2i 2 i为虚数单位 则z的实部为 解析 由题意z 5 2i 2 21 20i 故实部为21 答案 21 考点1复数的有关概念 典例1 1 2014 大纲版全国卷 设z 则z的共轭复数为 本题源于教材2 2p116a组t1 2 a 1 3ib 1 3ic 1 3id 1 3i 2 2013 上海高考 设m r m2 m 2 m2 1 i是纯虚数 其中i是虚数单位 则m 解题提示 1 利用已知求得复数z后再求z的共轭复数 2 由纯虚数概念求解 规范解答 1 选d z 3i 1 则 1 3i 2 m2 m 2 m2 1 i是纯虚数 m 2 答案 2 易错警示 解答本例题 2 易出现以下错误 1 条件考虑不完整 只考虑m2 m 2 0得m 2或m 1 忽略m2 1 0的条件 2 虽然考虑了m2 1 0 但未取舍而保留原答案 2或1 规律方法 求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类 复数的相等 复数的模 共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关 所以解答与复数相关概念有关的问题时 需把所给复数化为代数形式 即a bi a b r 的形式 再根据题意求解 变式训练 2014 安徽高考 设i是虚数单位 表示复数z的共轭复数 若z 1 i 则 a 2b 2ic 2d 2i 解析 选c 因为z 1 i 所以 1 i 故 i 1 i i 1 i 2i2 2 加固训练 1 2013 天津高考改编 已知a b r i是虚数单位 若 a i 1 i bi 则复数z a bi的共轭复数是 a 2 ib 2 ic 1 2id 1 2i 解析 选d 因为 a i 1 i a 1 a 1 i bi 所以a 1 0 a 1 b 即a 1 b 2 所以z a bi 1 2i 故复数z的共轭复数是1 2i 2 2013 江苏高考 设z 2 i 2 i为虚数单位 则复数z的模为 解析 z 2 i 2 4 i2 4i 3 4i 故 z 5 答案 5 考点2复数的几何意义 典例2 1 2014 新课标全国卷 设复数z1 z2在复平面内的对应点关于虚轴对称 z1 2 i 则z1z2 a 5b 5c 4 id 4 i 2 2014 重庆高考 复平面内表示复数i 1 2i 的点位于 本题源于教材2 2p116a组t1 3 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解题提示 1 利用对称得出两复数实虚部关系后代入可解 2 利用复数运算后虚部与实部的正负判断 规范解答 1 选a 因为z1 2 i z1与z2关于虚轴对称 所以z2 2 i 所以z1z2 1 4 5 故选a 2 选a i 1 2i 2 i 对应复平面内的点为 2 1 位于第一象限 互动探究 本例 2 中i 1 2i 对应点关于实轴对称的点对应的复数为 解析 由i 1 2i 2 i可知其对应点坐标为 2 1 其关于实轴对称点坐标为 2 1 故其对应的复数为2 i 答案 2 i 规律方法 复数几何意义及应用 1 复数z 复平面上的点z及向量相互联系 即z a bi a b r z a b 2 由于复数 点 向量之间建立了一一对应的关系 因此可把复数 向量与解析几何联系在一起 解题时可运用数形结合的方法 使问题的解决更加直观 提醒 z 的几何意义 令z x yi x y r 则 z 由此可知表示复数z的点到原点的距离就是 z 的几何意义 z1 z2 的几何意义是复平面内表示复数z1 z2的两点之间的距离 变式训练 在复平面内 复数z i为虚数单位 的共轭复数对应的点位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 选d z i 1 1 i 所以复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 加固训练 1 2013 湖南高考 复数z i 1 i i为虚数单位 在复平面上对应的点位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 选b 因为z i 1 i 1 i 而 1 1 对应的点在第二象限 所以选b 2 2015 临沂模拟 已知复数z1 1 2i z2 1 i z3 3 4i 它们在复平面上对应的点分别为a b c 若 r 求 的值 解析 由已知得a 1 2 b 1 1 c 3 4 故 3 4 1 2 1 1 若 即 3 4 1 2 1 1 得解得故 1 2 1 考点3复数的四则运算知 考情复数的四则运算是高考考查的一个重要考向 常利用复数的加减乘运算求复数 利用复数的相等或除法运算求复数 利用复数的有关概念求复数等 以选择题 填空题的形式出现 明 角度命题角度1 复数的加减乘法运算 典例3 2014 福建高考 复数z 3 2i i的共轭复数等于 a 2 3ib 2 3ic 2 3id 2 3i 解题提示 利用复数的运算法则进行计算 规范解答 选c 因为z 2 3i 所以 2 3i 命题角度2 复数的除法运算 典例4 2014 天津高考 i是虚数单位 复数 解题提示 利用复数除法运算 分子分母同乘以分母的共轭复数求解 规范解答 选a 1 i 悟 技法利用复数的四则运算求复数的一般思路 1 复数的乘法运算满足多项式的乘法法则 利用此法则后将实部与虚部分别写出即可 2 复数的除法运算主要是利用分子 分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简 3 利用复数的相关概念解题时 通常是设出复数或利用已知联立方程求解 通 一类1 2014 湖北高考 i为虚数单位 a 1b 1c id i 解析 选a 1 2 2014 辽宁高考 设复数z满足 z 2i 2 i 5 则z a 2 3ib 2 3ic 3 2id 3 2i 解析 选a 由 z 2i 2 i 5得z 2i 2i 2 i 2i 2 3i 一题多解 选a 设z a bi a b r 则由 z 2i 2 i 5 得z 2i 2 i 又z 2i a bi 2i a b 2 i 所以a b 2 i 2 i 所以得故z 2 3i 3 2014 四川高考 复数 解析 1 i 2 2i 答案 2i 自我纠错12复数有关概念的应用 典例 2013 陕西高考 设z是复数 则下列命题中的假命题是 a 若z2 0 则z是实数b 若z2 0 则z是虚数c 若z是虚数 则z2 0d 若z是纯虚数 则z2 0 解题过程 错解分析 分析上面解题过程 你知道错在哪里吗 提示 上述解题过程错在对纯虚数与虚数概念含混不清 搞不明白 纯虚数一定是虚数 而虚数不一定是纯虚数 从而判断错误 规避策略 1 弄清虚数与纯虚数的区别 对于z a bi a b r 若b 0 则z为虚数 若b 0且a 0 则z为纯虚数 2 利用排除法解题时 不要找到一个就停止 这样极易误选 应该将剩余选项再观察 若有选项适合