【步步高】高考数学总复习 4.4三角函数的图象和性质配套文档 理 新人教B版 (1).DOC

4.4三角函数的图象和性质1 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)2 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数性质ysin xycos xytan x定义域rrx|xk，kz图象值域1,11,1r对称性对称轴：xk(kz)；对称中心：(k，0)(kz)对称轴：xk(kz)；对称中心：(k，0) (kz)对称中心：(kz)周期22单调性单调增区间2k，2k(kz)；单调减区间2k，2k (kz)单调增区间2k，2k (kz)；单调减区间2k，2k(kz)单调增区间(k，k)(kz)奇偶性奇函数偶函数奇函数1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)常数函数f(x)a是周期函数，它没有最小正周期()(2)ysin x在x0，上是增函数()(3)ycos x在第一、二象限上是减函数()(4)ytan x在整个定义域上是增函数()(5)yksin x1(xr)，则ymaxk1.()(6)若sin x，则x.()2 (2012福建)函数f(x)sin的图象的一条对称轴是()ax bx cx dx答案c解析方法一正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令xk，kz，xk，kz.取k1，则x.方法二用验证法x时，ysin0，不合题意，排除a；x时，ysin，不合题意，排除b；x时，ysin1，符合题意，c项正确；x时，ysin，不合题意，故d项也不正确3 若函数f(x)sin x (0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于()a. b. c2 d3答案b解析f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x (0)在上单调递增，在上单调递减知，.4 (2013湖北)将函数ycos xsin x(xr) 的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是 ()a. b. c. d.答案b解析ycos xsin x2sin(x)向左平移m个单位长度后得到y2sin(xm)，它关于y轴对称可得sin(m)1，mk，kz，mk，kz，m0，m的最小值为.5 函数ylg sin 2x的定义域为_答案x|3x或0x解析由，得3x或0x.函数ylg sin 2x的定义域为x|3x或0x.题型一求三角函数的定义域和最值例1(1)(2012山东)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()a2 b0 c1 d1(2)函数y的定义域为_思维启迪求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数最值或值域时要利用图象、三角变换、二次函数等知识答案(1)a(2)x|xk且xk，kz解析(1)利用三角函数的性质先求出函数的最值0x9，x，sin.y，ymaxymin2.(2)要使函数有意义，必须有，即故函数的定义域为x|xk且xk，kz思维升华(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如yasin xbcos xc的三角函数化为yasin(x)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)(1)函数ylg(sin x)的定义域为_(2)函数ysin2xsin x1的值域为()a1,1 b，1c，1 d1，答案(1)x|2kx2k，kz(2)c解析(1)要使函数有意义必须有即解得(kz)，2kx2k，kz，函数的定义域为x|2k0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为 ()a(，0) b(0,0)c(，0) d(，0)(2)设函数ysin(x)(0，(，)的最小正周期为，且其图象关于直线x对称，则在下面四个结论：图象关于点(，0)对称；图象关于点(，0)对称；在0，上是增函数；在，0上是增函数中，所有正确结论的编号为_答案(1)c(2)解析(1)由条件得f(x)sin(ax)，又函数的最小正周期为1，故1，a2，故f(x)sin(2x)将x代入得函数值为0.(2)t，2.又2k(kz)，k(kz)(，)，ysin(2x)，由图象及性质可知正确三角函数的单调性、对称性典例：(20分)(1)已知0，函数f(x)sin(x)在(，)上单调递减，则的取值范围是()a， b，c(0， d(0,2(2)已知函数f(x)2cos(x)b对任意实数x有f(x)f(x)成立，且f()1，则实数b的值为()a1 b3c1或3 d3(3)(2012课标全国)已知0,00且|)在区间，上单调递减，且函数值从1减小到1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为 ()a. b.c. d.思维启迪(1)(，)为函数f(x)某个单调减区间的子集；(2)由f(x)f(x)可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)f(x)sin(x)图象相邻两条对称轴之间的距离是；(4)可结合图象分析函数的单调性，周期性确定，.解析(1)由x得x，由题意知(，)，故选a.(2)由f(x)f(x)可知函数f(x)2cos(x)b关于直线x对称，又函数f(x)在对称轴处取得最值，故2b1，b1或b3.(3)利用三角函数的对称轴求得周期由题意得周期t22，2，即1，f(x)sin(x)，fsin1，0，0)的形式2函数yasin(x)和yacos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.3对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t的性质失误与防范1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2要注意求函数yasin(x)的单调区间时的符号，尽量化成0时的情况a组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 下列函数中，周期为且在0，上是减函数的是 ()aysin(x) bycos(x)cysin 2x dycos 2x答案d解析对于函数ycos 2x，t，当x0，时，2x0，ycos 2x是减函数2 (2012湖南)函数f(x)sin xcos的值域为 ()a2,2 b，c1,1 d.答案b解析将函数化为yasin(x)的形式后求解f(x)sin xcossin xcos xcos sin xsin sin xcos xsin xsin(xr)，f(x)的值域为，3 (2013浙江)已知函数f(x)acos(x)(a0，0，r)，则“f(x)是奇函数”是“”的 ()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件答案b解析f(x)acosasin x为奇函数，“f(x)是奇函数”是“”的必要条件又f(x)acos(x)是奇函数f(0)0k(kz)d/.“f(x)是奇函数”不是“”的充分条件4 函数ycos 2xsin2x，xr的值域是 ()a0,1 b，1c1,2 d0,2答案a解析ycos 2xsin2xcos 2x.cos 2x1,1，y0,15 (2012天津)将函数f(x)sin x(其中0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是()a. b1c. d2答案d解析根据题意平移后函数的解析式为ysin ，将代入得sin 0，则2k，kz，且0，故的最小值为2.二、填空题6 函数ycos(2x)的单调减区间为_答案k，k(kz)解析由ycos(2x)cos(2x)得2k2x2k(kz)，故kxk(kz)所以函数的单调减区间为k，k(kz)7 当x时，函数ysin xcos x的最大值为_，最小值为_答案21解析y2sin(x)，x，sin(x)1，1y2，故ymax2，ymin1.8 已知函数f(x)atan(x)(0，|)，yf(x)的部分图象如图，则f()_.答案解析由题中图象可知，此正切函数的半周期等于，即最小正周期为，所以2.由题意可知，图象过定点(，0)，所以0atan(2)，即k(kz)，所以k(kz)，又|，所以.又图象过定点(0,1)，所以a1.综上可知，f(x)tan(2x)，故有f()tan(2)tan .三、解答题9 设函数f(x)sin (0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调增区间解(1)令2k，kz，k，kz，又0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间解(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)