高考数学 第五章 第五节 数列求和及通项课件 理 苏教版.ppt

第五节数列求和及通项 1 公式法 q 1 na1 n2 2 裂项相消求和法把数列的通项分解为两项之差 使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法 3 错位相减求和法 1 适用的数列 anbn 其中数列 an 是公差为d的等差数列 bn 是公比为q 1的等比数列 2 方法 设sn a1b1 a2b2 anbn 则qsn a1b2 a2b3 an 1bn anbn 1 得 1 q sn a1b1 d b2 b3 bn anbn 1 就转化为根据公式可求的和 4 其他求和方法 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 如果已知等差数列的通项公式 则在求其前n项和时使用公式sn 较为合理 2 如果数列 an 为等比数列 且公比不等于1 则其前n项和sn 3 当n 2时 4 求sn a 2a2 3a3 nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得 5 如果数列 an 是周期为k k为大于1的正整数 的周期数列 那么skm msk 6 如果数列 an 是公差d 0的等差数列 则 解析 1 正确 根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知 2 正确 根据等比数列的求和公式可知 3 正确 直接验证或倒推可知正确 4 错误 需要分a 0 a 1 以及a 0且a 1三种情况求和 5 正确 根据周期性可得 6 正确 直接验证或倒推可得 答案 1 2 3 4 5 6 1 等比数列 an 的前n项和为sn 且4a1 2a2 a3成等差数列 若a1 1 则s4 解析 4a1 2a2 a3成等差数列 4a1 a3 4a2 即4a1 a1q2 4a1q q2 4q 4 0 q 2 s4 15 答案 15 2 等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 其前n项和为sn 则数列 的前10项和为 解析 因为等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 所以sn n2 2n 所以 n 2 3 4 5 12 75 答案 75 3 数列 an 的通项公式an 2 n 1 n 设此数列的前n项和为sn 则s10 s21 s100的值是 解析 当n为奇数时 an 2 n 1 当n为偶数时 an 2 n 1 故有s10 60 50 110 s21 464 s100 50 10100 故s10 s21 s100 9746 答案 9746 4 一个数列 an 当n是奇数时 an 5n 1 当n为偶数时 an 则这个数列的前2m项的和是 解析 所有奇数项的和s1 6m 5m2 m 所有偶数项的和s2 2m 1 2 两部分相加即得 答案 2m 1 5m2 m 2 5 在数列 an 中 a1 sn为数列 an 的前n项和且sn n 2n 1 an 则sn 解析 因为sn n 2n 1 an sn 1 n 1 2n 3 an 1 n 2 两式相减sn sn 1 n 2n 1 an n 1 2n 3 an 1 n 2 即an n 2n 1 an n 1 2n 3 an 1 n 2 即 n 2n 1 1 an n 1 2n 3 an 1 n 2 即 2n 1 n 1 an n 1 2n 3 an 1 n 2 即 2n 1 an 2n 3 an 1 n 2 即 n 2 所以sn n 2n 1 an 答案 考向1公式求和法 典例1 1 2013 南通模拟 已知数列 an 的前n项和sn 32n n2 求数列 an 的前n项和tn 2 已知数列 an 的通项公式是an 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 求其前n项和sn 思路点拨 1 根据数列 an 的前n项和可得数列 an 的通项公式 根据求出的通项公式把数列 an 分段求解 2 由于存在 1 n 按照n为奇数和偶数分别求解 规范解答 1 当n 1时 a1 s1 31 当n 2时 an sn sn 1 33 2n an 33 2n n n 即数列 an 是公差为 2 首项为31的等差数列 令an 33 2n 0 则n 16 故当0 n 16时 tn sn 32n n2 而当n 17时 tn s16 a17 a18 an sn 2s16 即tn 32n n2 2 32 16 162 n2 32n 512 2 sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 所以当n为偶数时 当n为奇数时 ln3 ln2 1 综上所述 拓展提升 几类可以使用公式求和的数列 1 等差数列 等比数列以及由等差数列 等比数列通过加 减构成的数列 它们可以使用等差数列 等比数列的求和公式求解 2 奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的 可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式 3 等差数列各项加上绝对值 等差数列乘以 1 n 变式训练 1 在等差数列 an 中 a1 60 a17 12 求其前30项的绝对值之和 解析 设等差数列的前n项和为sn 前n项的绝对值之和为s n 由 60 16d 12得d 3 an 60 3 n 1 3n 63 由此可知当n 20时 an 0 当n 21时 an 0 s 30 a1 a2 a20 a21 a30 s30 2s20 即s 30 765 2 已知数列 an 为等比数列 a2 6 a5 162 设sn是数列 an 的前n项和 求sn 解析 设等比数列 an 的公比为q 则a2 a1q a5 a1q4 依题意得解得a1 2 q 3 得sn 考向2裂项相消求和法 典例2 1 已知数列 an 的前n项和sn 3n2 2n 求数列的前n项和tn 2 已知数列 4n 2n n n 的前n项和为sn bn 求数列 bn 的前n项和tn 思路点拨 1 求出数列 an 的通项公式 裂项求和 2 求出sn并对sn进行分解 裂项bn即可 规范解答 1 当n 2时 an sn sn 1 3n2 2n 3 n 1 2 2 n 1 6n 5 当n 1时 a1 s1 1 所以an 6n 5 n n 所以设 故 2 根据等比数列求和公式得sn 22n 1 2 2n 1 2 2n 1 2n 1 3 2n 1 2n 1 1 2n 1 所以所以 拓展提升 常见的裂项方法 其中n为正整数 提醒 裂项相消法要注意相消后剩下的是哪些项 不要漏写或写错 如求的前n项和时 剩下的是 变式训练 等差数列 an 的各项均为正数 a1 3 前n项和为sn bn 为等比数列 b1 1 且s2b2 64 s3b3 960 1 求an与bn 2 求和 解析 1 设 an 的公差为d bn 的公比为q 则d为正整数 an 3 n 1 d bn qn 1 依题意有 解得或 舍去 故an 3 2 n 1 2n 1 bn 8n 1 2 sn 3 5 2n 1 n n 2 考向3错位相减求和法 典例3 1 数列 n 4n 1 的前n项和sn 2 已知等比数列 an 的前n项和为sn 且满足sn 3n k 求k的值及数列 an 的通项公式 若数列 bn 满足 求数列 bn 的前n项和tn 思路点拨 1 写出和式sn后 把该式等号两边同时乘以4后两式相减 2 利用an sn sn 1求解 求出bn 利用错位相减法求和 规范解答 1 an n 4n 1 sn a1 a2 an 1 2 41 3 42 n 4n 1 4sn 1 4 2 42 3 43 n 1 4n 1 n 4n 两式相减得 3sn 1 41 42 43 4n 1 n 4n 4n 1 n 4n 答案 2 当n 2时 由an sn sn 1 3n k 3n 1 k 2 3n 1 因为 an 是等比数列 所以a1 2 an 2 3n 1 a1 s1 3 k 2 所以k 1 由 可得两式相减得 互动探究 把题 1 中数列改为 求其前n项和sn 解析 设则两式错位相减得 拓展提升 错位相减法求和的关注点 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列公比为负数的情形 2 在写出 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便于下一步准确地写出 sn qsn 的表达式 变式备选 2013 广州模拟 a2 a5是方程x2 12x 27 0的两根 数列 an 是递增的等差数列 数列 bn 的前n项和为sn 且sn 1 bn n n 1 求数列 an bn 的通项公式 2 记cn an bn 求数列 cn 的前n项和tn 解析 1 解x2 12x 27 0得x1 3 x2 9 因为 an 是递增的 所以a2 3 a5 9 解得所以an 2n 1 在sn 1 bn中 令n 1得b1 s1 1 b1 b1 当n 2时 sn 1 bn sn 1 1 bn 1 两式相减得bn bn 1 bn 所以 bn 是等比数列 2 cn an bn 两式相减得 所以 满分指导 解答数列求和问题 典例 14分 2012 江西高考 已知数列 an 的前n项和sn n2 kn 其中k n 且sn的最大值为8 1 确定常数k 求an 2 求数列 的前n项和tn 思路点拨 规范解答 1 当n k k n 时 sn n2 kn取最大值 即8 sk k2 k2 k2 2分故k2 16 因此k 4 3分从而an sn sn 1 n n 2 又a1 s1 适合an n 5分所以an n 6分 2 设bn 8分tn b1 b2 bn 2tn 10分所以tn 2tn tn 14分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 扬州模拟 已知 an 为等差数列 a3 7 a1 a7 10 sn为其前n项和 则使得sn达到最大值的n等于 解析 设公差为d 则由题意知 an 13 2n a6 1 0 a7 1 0 n 6时 sn最大 答案 6 2 2012 重庆高考改编 在等差数列 an 中 a2 1 a4 5 则 an 的前5项和s5 解析 因为a2 1 a4 5 所以a1 a5 a2 a4 6 所以数列的前5项和答案 15 3 2012 大纲版全国卷改编 已知等差数列 an 的前n项和为sn a5 5 s5 15 则数列 的前100项和为 解析 由a5 5 s5 15 得a1 1 d 1 所以an 1 n 1 n 所以又答案 4 2013 苏州模拟 已知数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 1 cos2 an sin2 则该数列的前20项的和为 解析 当n为奇数时 an 2 an 1 故奇数项是首项为1 公差为1的等差数列 其前10项之和等于1 10 55 当n为偶数时 an 2 2an 故偶数项是首项为2 公比为2的等比数列 其前10项之和为 211 2 2046 所以 数列 an 的前20项之和为55 2046 2101 答案 2101 5 2012 江西高考 已知数列 an 的前n项和sn kcn k 其中c k为常数 且a2 4 a6 8a3 1 求an 2 求数列 nan 的前n项和tn 解析 1 当n 1时 an sn sn 1 k cn cn 1 则a6 k c6 c5 a3 k c3 c2 c 2 a2 4 即k c2 c1 4 解得k 2 an 2n n 1 当n 1时 a1 s1 2 综上所述an 2n n n 2 nan n 2n 则tn 2 2 22 3 23 n 2n 2tn 1 22 2 23 3 24 n 1 2n n 2n 1 得 tn 2 22 23 2n n 2n 1 tn 2 n 1 2n 1 1 若数列 an 满足 d n n d为常数 则称数列 an 为 调和数列 已知正项数列 为 调和数列 且b1 b2 b9 90 则b4 b6的最大值是 解析 由已知得 bn 为等差数列 且b4 b6 20 又bn 0 所以b4 b6 答案 100 2 已知数列 an 满足a1 且对任意的正整数m n都有am n am an 若数列 an 的前n项和为sn 则sn 解析 对m 1等式am n am an也成立 即an 1 a