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首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（数学类 2009）注意：1 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其他纸上一律无效。2 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。一（15分）求经过三平行直线，的圆柱面的方程。解：先求圆柱面的轴的方程，由已知条件易知，圆柱面母线的方向是，且圆柱面经过点，过点且垂直于的平面的方程为。（3分）与三已知直线的交点分别为，（5分）圆柱面的轴是到这三点等距离的点的轨迹，即即（9分）将的方程改为标准方程圆柱面的半径即为平行直线和之间的距离，为上的点，（12分）对圆柱面上任意一点，有，即所以，所求圆柱面的方程（15分）二（20分）设是复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，（1） 假设，若，证明：（2） 求的子空间的维数。（1）证：记，。要证明，只需证明与的各个列向量对应相等即可，若以记第个基本单位列向量，于是只需证明：对每个，。（2分）若记，则，注意到， （*）（6分）由（10分）知 ，所以。（14分）（2）解：由（1）， （16分）设，等式两边同右乘，利用（*）得：因线性无关，故，（19分）所以线性无关，因此是的基，特别地，。（20分）三（15分）假设是复数域上维线性空间，是上的线性变换，如果，证明：的特征值都是0，且有公共特征向量。证明：假设是的特征值，是相应的特征子空间，即，于是在下是不变的。（1分）下面先证明，任取非零，记为使得线性相关的最小的非负整数，于是当时，线性无关。（2分）时令，其中，因此，并且。显然，特别地，在下是不变的。（4分）下面证明：在下也是不变的，事实上，由知（5分）（6分）根据用归纳法不难证明，一定可以表示成的线性组合，且表示式中前的系数为，（8分）因此在下是不变的，在上的限制在基下的矩阵是上三角阵，且对角线元素都是，因而这一限制的迹为（10分）由于在上仍然成立，而的迹一定为零，故，即。（12分）任取，由于，所以。因此在下是不变的，从而，在中存在的特征向量。这也是的公共特征向量。（15分）四（10分）设是定义在上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在上满足（1）证明在上一致收敛；（2）设，问是否一定在上处处可导，为什么？证明：（1），将区间等分，分点为，使得，由于在有限个点上收敛，因此，,使得对每个成立。（3分）于是,设，则（5分）（2）不一定， （6分）令，则在上不能保证处处可导。（10分）五（10分）设，证明发散。解：（3分）（5分）（7分）（8分），而发散，结论得证。（10分）六（15分）是上二次连续可微函数，满足，计算积分。解：采用极坐标，则（6分）（10分）（15分）七（15分）假设函数在上连续，在内二阶可导，过点与点的直线与曲线相交于点，其中，证明：在内至少存在一点，使。证明：因为在上满足Lagrange中值定理的条件，故存在，使。（4分
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