高考数学 第五章 第四节 数列求和课件 理 新人教A版.ppt

第四节数列求和 1 公式法 1 使用已知求和公式求和的方法 2 数列求和常用公式 q 1 q 1 na1 n2 2 裂项相消法把数列的通项分解为两项之差 使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法 3 错位相减法 1 适用的数列 anbn 其中数列 an 是公差为d的等差数列 bn 是公比为q 1的等比数列 2 方法 设sn a1b1 a2b2 anbn 则qsn a1b2 a2b3 an 1bn anbn 1 得 1 q sn a1b1 d b2 b3 bn anbn 1 就转化为根据公式可求的和 4 其他求和方法 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 如果已知等差数列的通项公式 则在求其前n项和时使用公式sn 较为合理 2 如果数列 an 为等比数列 且公比不等于1 则其前n项和sn 3 当n 2时 4 求sn a 2a2 3a3 nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得 5 如果数列 an 是周期为k k为大于1的正整数 的周期数列 那么skm msk 6 如果数列 an 是公差d 0的等差数列 则 解析 1 正确 根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知 2 正确 根据等比数列的求和公式可知 3 正确 直接验证或倒推可知正确 4 错误 需要分a 0 a 1 以及a 0且a 1三种情况求和 5 正确 根据周期性可得 6 正确 直接验证或倒推可得 答案 1 2 3 4 5 6 1 等比数列 an 的前n项和为sn 且4a1 2a2 a3成等差数列 若a1 1 则s4 a 7 b 8 c 15 d 16 解析 选c 4a1 2a2 a3成等差数列 4a1 a3 4a2 即4a1 a1q2 4a1q q2 4q 4 0 q 2 s4 15 2 sin21 sin22 sin23 sin288 sin289 a 44 5 b 45 c 45 d 89 解析 选a 设s sin21 sin22 sin23 sin288 sin289 则s sin289 sin288 sin287 sin22 sin21 即s cos21 cos22 cos23 cos288 cos289 与第一个式子相加 得2s 89 所以s 44 5 3 等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 其前n项和为sn 则数列 的前10项和为 a 70 b 75 c 100 d 120 解析 选b 因为等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 所以sn n2 2n 所以 n 2 3 4 5 12 75 4 数列 an 的通项公式an 2 n 1 n 设此数列的前n项和为sn 则s10 s21 s100的值是 a 9746 b 4873 c 9736 d 9748 解析 选a 当n为奇数时 an 2 n 1 当n为偶数时 an 2 n 1 故有s10 5 5 60 50 110 s21 11 10 464 s100 50 50 10100 故s10 s21 s100 9746 5 一个数列 an 当n是奇数时 an 5n 1 当n为偶数时 an 则这个数列的前2m项的和是 解析 所有奇数项的和s1 6m 5m2 m 所有偶数项的和s2 2m 1 2 两部分相加即得 答案 2m 1 5m2 m 2 考向1公式法求和 典例1 解答下列各题 1 已知数列 an 的前n项和sn 32n n2 求数列 an 的前n项和tn 2 已知数列 an 的通项公式是an 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 求其前n项和sn 思路点拨 1 根据数列 an 的前n项和可得数列 an 的通项公式 根据求出的通项公式把数列 an 分段求解 2 由于存在 1 n 按照n为奇数和偶数分别求解 规范解答 1 当n 1时 a1 s1 31 当n 2时 an sn sn 1 33 2n an 33 2n n n 即数列 an 是公差为 2 首项为31的等差数列 令an 33 2n 0 则n 16 故当0 n 16时 tn sn 32n n2 而当n 17时 tn s16 a17 a18 an sn 2s16 即tn 32n n2 2 32 16 162 n2 32n 512 tn 2 sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 所以当n为正偶数时 sn 当n为奇数时 sn 2 ln2 ln3 n ln3 3n ln3 ln2 1 综上所述 sn 拓展提升 几类可以使用公式求和的数列 1 等差数列 等比数列以及由等差数列 等比数列通过加 减构成的数列 它们可以使用等差数列 等比数列的求和公式求解 2 奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的 可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式 3 等差数列各项加上绝对值 等差数列乘以 1 n 变式训练 解答下列各题 1 在等差数列 an 中 a1 60 a17 12 求其前30项的绝对值之和 2 已知数列 an 为等比数列 a2 6 a5 162 设sn是数列 an 的前n项和 求sn 解析 1 设等差数列的前n项和为sn 前n项的绝对值之和为s n 由 60 16d 12得d 3 an 60 3 n 1 3n 63 由此可知当n 20时 an 0 当n 21时 an 0 s 30 a1 a2 a20 a21 a30 s30 2s20 即s 30 765 2 设等比数列 an 的公比为q 则a2 a1q a5 a1q4 依题意得解得a1 2 q 3 得sn 3n 1 考向2裂项相消法求和 典例2 解答下列各题 1 2013 珠海模拟 已知数列 an 是各项均不为0的等差数列 公差为d sn为其前n项和 且满足an2 s2n 1 n n 数列 bn 满足bn n n tn为数列 bn 的前n项和 求数列 an 的通项公式an和数列 bn 的前n项和tn 2 已知数列 4n 2n n n 的前n项和为sn bn 求数列 bn 的前n项和tn 思路点拨 1 利用等差数列通项公式求an 用裂项法求 bn 的前n项和 2 求出sn并对sn进行分解 裂项bn即可 规范解答 1 在an2 s2n 1中 令n 1 n 2 得即解得a1 1 d 2 an 2n 1 bn tn 2 根据等比数列求和公式得sn 22n 1 2 2n 1 2 2n 1 2n 1 3 2n 1 2n 1 1 2n 1 所以bn 所以tn bi 拓展提升 常见的裂项方法 其中n为正整数 提醒 裂项相消法要注意相消后剩下的是哪些项 不要漏写或写错 如求 的前n项和时 剩下的是 变式训练 等差数列 an 的各项均为正数 a1 3 前n项和为sn bn 为等比数列 b1 1 且s2b2 64 s3b3 960 1 求an与bn 2 求和 解析 1 设 an 的公差为d bn 的公比为q 则d为正整数 an 3 n 1 d bn qn 1 依题意有解得或 舍去 故an 3 2 n 1 2n 1 bn 8n 1 2 sn 3 5 2n 1 n n 2 考向3错位相减法求和 典例3 1 数列 n 4n 1 的前n项和sn 2 2013 济南模拟 已知等比数列 an 的前n项和为sn 且满足sn 3n k 求k的值及数列 an 的通项公式 若数列 bn 满足 求数列 bn 的前n项和tn 思路点拨 1 写出和式sn后 把该式等号两边同时乘以4后两式相减 2 利用an sn sn 1求解 求出bn 利用错位相减法求和 规范解答 1 设an n 4n 1 sn a1 a2 an 1 2 41 3 42 n 4n 1 4sn 1 4 2 42 3 43 n 1 4n 1 n 4n 两式相减得 3sn 1 41 42 43 4n 1 n 4n 4n 1 n 4n sn 答案 2 当n 2时 由an sn sn 1 3n k 3n 1 k 2 3n 1 因为 an 是等比数列 所以a1 2 an 2 3n 1 a1 s1 3 k 2 所以k 1 由 可得bn bn tn tn 互动探究 把本例题 1 中 数列 n 4n 1 改为 数列 求其前n项和sn 解析 由题得sn 则 两式错位相减得 sn 拓展提升 错位相减法求和的关注点 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列公比为负数的情形 2 在写出 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便于下一步准确地写出 sn qsn 的表达式 变式备选 a2 a5是方程x2 12x 27 0的两根 数列 an 是递增的等差数列 数列 bn 的前n项和为sn 且sn 1 bn n n 1 求数列 an bn 的通项公式 2 记cn an bn 求数列 cn 的前n项和tn 解析 1 解x2 12x 27 0得x1 3 x2 9 因为 an 是递增的 所以a2 3 a5 9 解得所以an 2n 1 在sn 1 bn中 令n 1得b1 s1 1 b1 b1 当n 2时 sn 1 bn sn 1 1 bn 1 两式相减得bn bn 1 bn 所以 bn 是等比数列 bn b1 n 1 2 cn an bn tn 3tn 两式相减得 2tn 4 所以tn 2 满分指导 解答数列求和问题 典例 12分 2012 江西高考 已知数列 an 的前n项和sn n2 kn 其中k n 且sn的最大值为8 1 确定常数k 求an 2 求数列 的前n项和tn 思路点拨 规范解答 1 当n k k n 时 sn n2 kn取最大值 即8 sk k2 k2 k2 2分故k2 16 因此k 4 3分从而an sn sn 1 n n 2 又a1 s1 适合an n 5分所以an n 6分 2 设bn 7分tn b1 b2 bn 2tn 8分所以tn 2tn tn 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 深圳模拟 已知数列 an 的通项为an sn为数列 an 的前n项的和 则s20等于 a 2246 b 2148 c 2146 d 2248 解析 选c s20 a1 a2 a3 a4 a20 a1 a3 a5 a19 a2 a4 a6 a20 1 3 5 19 21 22 23 210 100 211 2 2146 2 2012 重庆高考 在等差数列 an 中 a2 1 a4 5 则 an 的前5项和s5 a 7 b 15 c 20 d 25 解析 选b 因为a2 1 a4 5 所以a1 a5 a2 a4 6 所以数列的前5项和s5 15 3 2012 大纲版全国卷 已知等差数列 an 的前n项和为sn a5 5 s5 15 则数列 的前100项和为 a b c d 解析 选a 由a5 5 s5 15 得a1 1 d 1 所以an 1 n 1 n 所以 又 4 2013 梅州模拟 已知数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 1 cos2 an sin2 则该数列的前20项的和为 解析 当n为奇数时 an 2 an 1 故奇数项是首项为1 公差为1的等差数列 其前10项之和等于1 10 55 当n为偶数时 an 2 2an 故偶数项是首项为2 公比为2的等比数列 其前10项之和为 2 2046 所以 数列 an 的前20项之和为55 2046 2101 答案 2101 5 2012 江西高考 已知数列 an 的前n项和sn kcn k 其中c k为常数 且a2 4 a6 8a3 1 求an 2 求数列 nan 的前n项和tn 解析 1 当n 1时 an sn sn 1 k cn cn 1 则a6 k c6 c5 a3 k c3 c2 c3 8 c 2 a2 4 即k c2 c1 4 解得k 2 an 2n n 1 当n 1时 a1 s1 2 综上所述an 2n n n 2 nan n 2n 则tn 2 2 22 3 23 n 2n 2tn 1 22 2 23 3 24 n 1 2n n 2n 1 得 tn 2 22 23 2n n 2n 1 tn 2 n 1 2n 1 1 若数列 an 满足 d n n d为常