高中数学 第一节 坐标系课件 理 新人教A版选修41.ppt

选修4 4坐标系与参数方程第一节坐标系 1 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点p x y 是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 的作用下 点p x y 对应到点p x y 称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 简称伸缩变换 2 极坐标系与点的极坐标 1 极坐标系 在平面内取一个定点o 叫做 自极点o引一条射线ox 叫做 再选定一个长度单位 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 就建立了极坐标系 2 点的极坐标 对于极坐标系所在平面内的任一点m 若设 om 0 以极轴ox为始边 射线om为终边的角为 则点m可用有序数对 表示 极点 极轴 3 极坐标与直角坐标的互化公式 设点p的直角坐标为 x y 它的极坐标为 则相互转化公式为 3 直线的极坐标方程 1 特殊位置的直线的极坐标方程 cos sin 2 一般位置的直线的极坐标方程 若直线l经过点m 0 0 且极轴到此直线的角为 直线l的极坐标方程为 sin 0sin 0 4 半径为r的圆的极坐标方程 1 特殊位置的圆的极坐标方程 r 2rcos 2rsin 2rsin 2rsin 2 一般位置的圆的极坐标方程 圆心为m 0 0 半径为r的圆的极坐标方程为 2 2 0 cos 0 02 r2 0 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在极坐标系中 点m的坐标是惟一的 2 极坐标系所在平面内的点与极坐标是一一对应的关系 3 三角函数是联系极坐标与直角坐标的纽带 4 椭圆伸缩后仍是椭圆 解析 1 错误 极坐标系中的点 当 0 2 时 除极点外 m的极坐标是惟一的 当 r时 m的极坐标不惟一 2 错误 建立极坐标系后 给定 就可以在平面内惟一确定一点m 反过来 给定平面内一点m 它的极坐标 r 却不是惟一的 所以二者不能建立一一对应关系 3 正确 由转化公式 根据任意角的三角函数的定义及其基本关系式 诱导公式 可以把二者联系起来 4 错误 变换系数 与 的值 伸缩后有可能为圆 答案 1 2 3 4 考向1伸缩变换公式及其应用 典例1 1 曲线x2 y2 1在伸缩变换 作用下得到曲线的焦距等于 2 若函数y f x 的图象在伸缩变换 作用下得到曲线的方程为则函数y f x 的最小正周期为 思路点拨 1 设变换前后的曲线上的点的坐标 利用代换法求出变换后的曲线方程再求解 2 求出函数y f x 的解析式 再求最小正周期即可 规范解答 1 设曲线x2 y2 1上任意一点的坐标为p x y 在伸缩变换 作用下得到曲线的对应点的坐标为p x y 将代入曲线方程x2 y2 1 得这是焦点在纵轴上的椭圆 其中a2 25 b2 16 所以c2 a2 b2 9 所以2c 6 答案 6 2 设函数y f x 的图象上任意一点的坐标为p x y 在伸缩变换 作用下得到点p的对应点的坐标为p x y 将 代入曲线方程得即所以函数y f x 的最小正周期为 答案 互动探究 本例 2 中 若改为 函数的图象在伸缩变换 作用下得到曲线的方程为 则 解析 设函数的图象上任意一点为p x y 在伸缩变换 的作用下得到曲线的对应点为p x y 则将其代入得 依题意 得 2 3 答案 23 拓展提升 求伸缩变换的曲线方程的解题思路 1 曲线的伸缩变换是通过曲线上每一点的坐标的伸缩变换实现的 解题时需要区分变换前的点p的坐标 x y 与变换后的对应点p 的坐标 x y 再利用伸缩变换公式建立联系即可 2 若已知变换前与变换后的曲线方程 则可以确定伸缩变换公式 可以由相等函数的关系求 的值 变式备选 1 将正弦曲线y sinx按 变换后的函数的值域为 解析 设点p x y 为正弦曲线y sinx上的任意一点 在变换的作用下 点p x y 对应到点p x y 即代入y sinx得 所以即所以函数的值域为 3 3 答案 3 3 2 将正弦曲线y sinx变换为曲线y 2sin3x的伸缩变换公式为 解析 将变换后的曲线y 2sin3x改写为由变换前曲线为y sinx得即得伸缩变换公式答案 考向2点的极坐标与直角坐标的转化 典例2 1 若点m的极坐标为则点m的直角坐标为 2 若 0 0 2 直角坐标为则点m的极坐标为 思路点拨 1 由公式计算点的直角坐标 2 由公式求m的极坐标 规范解答 1 由公式得 点m的直角坐标为答案 2 由公式得 点在第四象限 且 0 2 所以点m的极坐标为答案 拓展提升 直角坐标化为极坐标的不惟一性 1 根据终边相同的角的意义 角 的表示方法具有周期性 故点m的极坐标 的形式不惟一 即一个点的极坐标有多种表达形式 当限定 0 0 2 时 除极点外 点m的极坐标是惟一的 极点o的极坐标为 0 为任意值 但一般取 0 即极点的极坐标为 0 0 2 把点的直角坐标化为极坐标时 求极角 应注意判断点p所在的象限 即角 的终边的位置 以便正确地求出角 提醒 若没有特别要求 求出 0 2 内的主值角即可 变式训练 1 将点的极坐标化为直角坐标为 解析 由公式得 极坐标化为直角坐标为 0 1 答案 0 1 2 若 0 r 将点的直角坐标 1 1 化为极坐标为 解析 由公式得 点 1 1 在第三象限 所以点 1 1 的极坐标为答案 考向3求曲线的极坐标方程 典例3 1 2013 岳阳模拟 以极坐标系中的点为圆心 1为半径的圆的极坐标方程是 2 2012 上海高考 如图 在极坐标系中 过点m 2 0 的直线l与极轴的夹角若将l的极坐标方程写成 f 的形式 则f 思路点拨 1 可以先求出圆的直角坐标方程 再化为极坐标方程 也可以结合图形解直角三角形直接得到圆的极坐标方程 2 先求直线的直角坐标方程 再化为极坐标方程 也可以利用正弦定理直接求直线的极坐标方程 规范解答 1 方法一 在极坐标系中 圆心的直角坐标为由半径为1 得圆的直角坐标方程为即由公式得即为所求 方法二 设圆上任意一点的极坐标为m 如图 在 omp中 为所求 答案 2 方法一 在平面直角坐标系中 直线的倾斜角为故直线的斜率为直线又过点 2 0 所以直线的方程为由公式得即化简 得即为所求 方法二 设直线上的任一点的极坐标为p 因为所以根据正弦定理得即即答案 拓展提升 求曲线方程的方法步骤 1 求曲线方程 首先要根据条件建立适当的平面直角坐标系 或极坐标系 2 设出曲线上任意一点的坐标为m x y 找出此动点满足的几何条件 最后通过代数变换化简方程即可 提醒 在平面直角坐标系中 求曲线的轨迹方程的方法有直译法 定义法 相关点法 在极坐标系中 求曲线的极坐标方程以上几种方法仍然是适用的 变式训练 如图 点a在直线x 3上移动 点o p a按顺时针方向排列 等腰 opa的顶角 opa为则点p的轨迹的极坐标方程为 解析 以o作为极点 ox轴的正方向为极轴 建立极坐标系 则直线x 3的极坐标方程为设a 0 0 p 点a在直线 cos 3上 0cos 0 3 opa为等腰三角形 且代入 得为所求 答案 考向4极坐标方程化为直角坐标方程 典例4 1 2012 安徽高考 在极坐标系中 圆 4sin 的圆心到直线的距离是 2 在极坐标系下 直线与圆的公共点个数是 思路点拨 1 先求直线与圆的直角坐标方程 再用点到直线的距离公式计算 2 先求直线与圆的直角坐标方程 再判断直线与圆的位置关系即可求得 规范解答 1 圆 4sin 即x2 y 2 2 4的圆心为c 0 2 直线l 点c到直线l的距离是答案 2 直线即 cos sin 2 故直角坐标方程为x y 2 圆的直角坐标方程为x2 y2 2 圆心 0 0 到直线x y 2的距离满足即直线与圆相切 所以直线与圆的公共点个数是1 答案 1 拓展提升 极坐标方程与直角坐标方程的转化公式由公式可以将极坐标方程化为直角坐标方程 由公式可以将直角坐标方程化为极坐标方程 提醒 注意曲线方程互相转化时的等价性 变式训练 1 极坐标系中 直线l的方程为 sin 4 则点到直线l的距离为 解析 直线l sin 4的直角坐标方程为y 4 点的直角坐标为则点到直线l的距离为3 答案 3 2 在极坐标系中 圆上的点与直线的最大距离是 解析 圆的极坐标方程即 2 2 sin 化为直角坐标方程为x2 y2 2y 0 配方 得x2 y 1 2 1 可得圆心为 0 1 半径为1 直线的极坐标方程即 cos sin 2化为直角坐标方程为x y 2 0 圆心 0 1 到此直线的距离为所以直线与圆相离 所以圆上的点与直线的最大距离是答案 1 直线 cos 3的倾斜角等于 解析 直线 cos 3的直角坐标方程为x 3 所以直线的倾斜角为答案 2 2013 丰台模拟 在极坐标系中 圆 2sin 的圆心的极坐标是 解析 方法一 圆 2sin 的圆心为方法二 圆 2sin 的直角坐标方程为x2 y2 2y 圆心坐标为 0 1 化为极坐标为答案 3 在极坐标系中 圆c的极坐标方程为则圆心的极坐标为 解析 圆的极坐标方程是即则该圆的直角坐标方程为即它表示以为圆心 半径等于2的圆 该圆的圆心的极坐标是答案 4 极坐标方程 2cos 0 0 化为直角坐标方程为 解析 极坐标方程 2cos 0为 cos 1 0 0或 cos 1 所以直角坐标方程为x2 y2 0或x 1 答案 x2 y2 0或x 1 5 曲线 4cos 关于直线对称的曲线的极坐标方程为 解析 设所求曲线上任意一点的极坐标为p 它关于直线对称的点的坐标为代入 4cos 得即 4sin 答案 4sin 6 在极坐标系中 点与之间的距离为 解析 方法一 点与的直角坐标分别为与于是方法二 由点与知 oa ob 2 于是 aob为等边三角形 所以 ab 2 答案 2 7 在极坐标系中 点 1 0 到直线 cos sin 2的距离为 解析 直线 cos sin 2的直角坐标方程为x y 2 0 极坐标 1 0 的直角坐标为 1 0 而点 1 0 到该直线的距离为答案 8 若点p 2013 2014 经过伸缩变换后的点在曲线x y k上 则k 解析 p 2013 2014 经过伸缩变换得k x y 1 答案 1 9 圆 6cos 的面积等于 解析 由公式 2 x2 y2得圆 6cos 的直角坐标方程为x2 y2 6x 其标准方程为 x 3 2 y2 9 所以圆的半径r 3 圆的面积等于s r2 9 答案 9 10 圆x2 y2 1经过伸缩变换后的曲线的焦距为 解析 由得代入x2 y2 1 得即所以焦距为答案 11 在极坐标系中 曲线 cos sin 1与 sin cos 1 0 2 的交点的极坐标为 解析 曲线 cos sin 1与 sin cos 1的直角坐标方程分别为x y 1和y x 1 两条直线的交点的直角坐标为 0 1 化为极坐标为答案 12 极坐标系中 0 过极点倾斜角为的直线的极坐标方程为 解析 以极点o为端点 所求直线上点的极坐标分成两条射线 两条射线的极坐标方程分别为所以过极点倾斜角为的直线的极坐标方程为答案 13 在极坐标系中 点关于直线l cos 1的对称点的一个极坐标为 解析 以极点为原点 极轴所在直线为x轴 建立直角坐标系 则由公式得点的直角坐标为 0 2 直线l cos 1的直角坐标方程为x 1 点 0 2 关于直线l x 1的对称点的坐标为 2 2 利用公式得 2 x2 y2 8 因为角 的终边过点 2 2 故所以点的直角坐标 2 2 化为极坐标为答案 14 限定 0 0 2 若点m的直角坐标是则点m的极坐标为 解析 且点在第二象限 答案 15 将正弦曲线y sinx按伸缩变换后得到曲线方程的振幅为 最小正周期为 解析 由代入曲线y sinx 得即故振幅为3 最小正周期为4 答案 34 16 在极坐标系中 o为极点 设点则 oab的面积为 解析 点即且点所以 oab的面积为答案 5 17 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点 极轴与x轴的正半轴重合 曲线c的直角坐标方程化为极坐标方程为 解析 由得 得答案 18 在极坐标系中 若o是极点 则三角形oab的面积s oab 解析 在极坐标系中画出点a b 易得 aob 150 在 oab中 答案 19 曲线的极坐标方程 4cos 化为直角坐标方程为 解析 将原极坐标方程 4cos 化为 2 4 cos 化成直角坐标方程为 x2 y2 4x 0 即 x 2 2 y2 4 答案 x 2 2 y2 4 20 在极坐标系中 点到圆 2cos 的圆心的距离为 解析 由x cos y sin 及 2cos 得x 2cos2 y 2cos sin 则x 1 cos2 y sin2 所以 x 1 2 y2 1 即圆心坐标为 1 0 而点在直角坐标系中的坐标为所以所求的距离为答案 21 若圆的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 4 0 则圆的半径r 解析 圆的极坐标方程 2 2 cos 4 sin 4 0化为直角坐标方程为x2 y2 2x 4y 4 0 即 x 1 2 y 2 2 1 所以圆的半径为1 答案 1 22 2013 珠海模拟 在极坐标系中 圆 2cos 的圆心到直线 cos 2的距离是 解析 圆 2cos 的直角坐标方程为x