高中数学 探究导学课型 第一章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件 新人教版必修4.ppt

1 4三角函数的图象与性质1 4 1正弦函数 余弦函数的图象 自主预习 主题 正弦函数与余弦函数的图象1 观察正弦曲线y sinx x 0 2 的图象 回答下面的问题 在正弦曲线y sinx x 0 2 的图象中起关键的点有哪些 提示 关键的点有五点 即 0 0 0 2 0 2 观察余弦曲线y cosx x 0 2 的图象 回答下面的问题 在余弦函数y cosx x 0 2 的图象中 关键的点有哪些 提示 关键的点有五点 即 0 1 1 2 1 通过以上探究 总结得到什么结论 用文字语言描述 在 0 2 上 y sinx与y cosx图象上的最高点 最低点 图象与坐标轴的交点起着关键作用 这五个点描出后图象的形状就基本确定了 五点法作图 先找出五个关键点再用光滑曲线连接起来 就得到简图的方法称为 五点法 正弦曲线 余弦曲线 1 正弦曲线如图所示 正弦函数的图象叫做正弦曲线 2 余弦曲线将正弦曲线向 平移 个单位 得到余弦曲线余弦函数的图象叫做余弦曲线 左 深度思考 结合教材p32例1你认为怎样画三角函数的图象 第一步 第二步 第三步 按五个关键点列表 描点 用光滑的曲线将这些点连接起来 预习小测 1 已知正弦函数过点 则m的值为 a b c d 1 解析 选a 因为sin 所以m 2 在 五点法 中 正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于 a b c d 2 解析 选b 由五点作图法知 最低点横坐标为 最高点横坐标为 故它们的差为 3 用 五点法 作y 2sin2x的图象时 首先描出的五个点的横坐标是 解析 选b 由 五点法 知所以 故选b 4 用五点法作y 1 cosx x 0 2 的图象时 其中第二个关键点的坐标为 解析 由五点作图法的规则知第二个点坐标为 答案 5 函数y sinx的图象和y cosx的图象在 0 2 内的交点坐标为 解析 由sinx cosx且x 0 2 所以或当时 当时答案 或 备选训练 作出y 2 sinx x 0 2 的图象 仿照教材p32例1解析过程 解析 找出五点 列表如下 描点作图 如图所示 互动探究 1 y sinx x 0 2 的图象与y sinx x 2 4 的图象有何关系 提示 它们的形状相同 位置不同 将y sinx x 0 2 的图象向右平移2 个单位与y sinx x 2 4 的图象重合 2 观察正弦曲线y sinx x r 你能发现哪些变化规律 提示 1 正弦曲线夹在两条直线y 1和y 1之间 2 每2 个单位长度重复出现 3 正弦曲线在x k k z 附近 曲线 陡 一些 在x k k z 附近 曲线 平缓 一些 探究总结 知识归纳 方法总结 正 余 弦函数图象的作法 1 几何法 就是利用单位圆中的正弦线和余弦线作出正 余弦函数图象的方法 该方法作图较为精确 但画图时较为烦琐 2 五点法 就是利用五个关键点作图的方法 是我们作三角函数图象的基本方法 在要求精度不太高的情况下常用此法 作图时要注意五个关键点的确定 题型探究 类型一 五点法 作正弦 余弦函数的图象 典例1 作出下列函数在 2 2 上的图象 1 y sinx 1 2 y 2 cosx 解题指南 先在 0 2 范围内列出五个关键点的坐标 描点连线得在 0 2 范围内图象 再由对称性得 2 2 范围内的图象 解析 1 先作出y sinx 1在x 0 2 上的图象 列表 描点连线可得y sinx 1在 0 2 上的图象 如图所示 再向左平移2 个单位 即得到y sinx 1在 2 2 上的图象 2 先作出y 2 cosx在x 0 2 上的图象 列表 描点连线可得y 2 cosx在 0 2 上的图象 如图所示 再向左平移2 个单位 即得到y 2 cosx在 2 2 上的图象 规律总结 用 五点法 画函数y asinx b a 0 或y acosx b a 0 在 0 2 上的简图的步骤 1 列表 2 描点 在平面直角坐标系中描出下列五个点 0 y1 y3 2 y5 3 连线 用光滑的曲线将描出的五个点连接起来 巩固练习 1 函数f x asinx b的图象如图所示 则f x 的解析式为 a f x sinx 1b f x sinx c f x sinx 1d f x sinx 解析 选a 将图象中的特殊点代入f x asinx b 不妨将 0 1 与代入得解得b 1 a 0 5 故f x sinx 1 2 利用 五点法 作出函数y 1 cosx 0 x 2 的简图 解析 1 取值列表如下 2 描点连线 如图所示 类型二 利用正 余弦曲线解简单的三角不等式 典例2 求函数f x lgsinx 的定义域 解题指南 先写出使函数有意义的条件 然后借助正弦曲线 解不等式组 求原函数定义域 解析 由题意 得x满足不等式组即作出y sinx的图象 如图所示 结合图形可得x 4 0 延伸探究 1 本题中将 函数f x lgsinx 改为 函数f x lgsinx 求定义域 解析 由题意知即0 sinx 作y sinx x r的图象如图所示 在 0 2 范围内 由图知满足0 sinx 的x取值范围是 在r上x应满足 k z 故f x 的定义域为 k z 2 本题改为 求在x 0 2 上满足sinx cosx的x的取值集合 则结论如何 解析 在同一坐标系内作出函数y sinx x 0 2 和y cosx x 0 2 的图象 如图所示 由图知当 x 时 sinx cosx 故满足sinx cosx的x的取值集合为 规律总结 利用三角函数图象解sinx a 或cosx a 的三个步骤 1 作出直线y a y sinx 或y cosx 的图象 2 确定sinx a 或cosx a 的x值 3 确定sinx a 或cosx a 的解集 提醒 解三角不等式sinx a一般先利用图象求出x 0 2 范围内x的取值范围 然后根据终边相同角的同一三角函数值相等 写出原不等式的解集 补偿训练 函数y 的定义域是 解析 要使函数有意义 则2cosx 1 0 即cosx 作y cosx x r的图象如图所示 在 0 2 范围内 由图知满足cosx 的x的取值范围是 故在r上x应满足 k z 答案 k z 类型三 正 余弦函数图象的应用 典例3 1 方程2x cosx的解的个数为 a 0b 1c 2d 无穷多个 2 作出函数y 2 sinx x 0 2 的简图 并回答下列问题 观察函数图象 写出y的取值范围 若函数图象与y 在x 0 上有两个交点 求a的取值范围 解题指南 1 画出函数y 2x与y cosx的图象 根据图象判断交点的个数 即为方程解的个数 2 利用描点作图法先作图象 再观察得y的取值范围 根据y 与y 2 sinx在 0 上有两个交点 建立关于a的不等关系求解 解析 1 选d 设f x 2x g x cosx 在同一坐标系中画出f x 和g x 的图象 如图由图知f x 2x与g x cosx交点个数有无穷多个 所以方程2x cosx的解有无穷多个 2 列表 描点 连线 如图 由图知 y 1 3 由图知 当2 3时 函数图象与y 在 0 上有两个交点 即 5 a 3 故a的取值范围是 5 3 规律总结 方程根 或个数 的两种判断方法 1 代数法 直接求出方程的根 得到根的个数 2 几何法 方程两边直接作差构造一个函数 作出函数的图象 利用对应函数的图象 观察与x轴的交点个数 有几个交点原方程就有几个根 转化为两个函数 分别作这两个函数的图象 观察交点个数 有几个交点原方程就有几个根 巩固训练 1 函数y sinx 2 sinx x 0 2 的图象与直线y 的交点共有个 解题指南 先将函数y sinx 2 sinx 化为然后画出其图象 利用图象判断交点个数 解析 函数y sinx 2 sinx 在同一坐标系中画出两函数的图象 如