高考数学 第八章 第六节 椭圆（二）课件 理 苏教版.ppt

第六节椭圆 二 1 椭圆的第二定义 定点 一条定直线 0 e 1 焦点 准线 离心率 2 弦长公式设直线与椭圆交于a x1 y1 b x2 y2 两点 则ab 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 到定点的距离与定直线的距离的比值为常数的点的轨迹为椭圆 2 过椭圆焦点的弦叫通径 3 m 2 0 为椭圆上的点 则上焦半径为4 4 椭圆的准线在椭圆的外部 解析 1 比值必须满足大于0且小于1 故 1 错误 2 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径 故 2 错误 3 上焦半径为a ey0 4 0 4 故 3 错误 4 a 故 4 正确 答案 1 2 3 4 1 已知椭圆上一点p到椭圆左焦点的距离为5 则点p到右准线的距离为 解析 由已知易得p到椭圆右焦点的距离为10 5 5 答案 2 设p是椭圆上的一点 f是椭圆的左焦点 f1是椭圆的右焦点 且则点p到该椭圆左准线的距离为 解析 由题设易知m是pf的中点 且om pf 由om 知 pf 2mf 2 2 又知椭圆的离心率由椭圆的第二定义得 点p到椭圆左准线的距离答案 3 已知a b为椭圆c 的长轴的两个端点 p是椭圆c上的动点 且 apb的最大值是则实数m的值是 解析 p位于短轴的端点时 apb取得最大值 根据题意则有答案 4 过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于a b两点 o为坐标原点 则 oab的面积为 解析 将椭圆与直线方程联立得交点a 0 2 故s oab of y1 y2 答案 5 过椭圆的左焦点且倾斜角为45 的直线l与椭圆交于a b两点 则弦长ab 解析 由已知可得 a2 4 b2 3 c2 4 3 1 椭圆的左焦点为f1 1 0 则直线方程为 y x 1 设a x1 y1 b x2 y2 则由得7x2 8x 8 0 故x1 x2 x1x2 ab 答案 考向1椭圆中的最值与范围问题 典例1 1 已知f1 f2是椭圆的两个焦点 满足的点m总在椭圆内部 则椭圆离心率的取值范围是 2 如图 已知椭圆c a b 0 的左顶点 右焦点分别为a f 右准线为m 圆d x2 y2 x 3y 2 0 若圆d过a f两点 求椭圆c的方程 若直线m上不存在点q 使 afq为等腰三角形 求椭圆离心率的取值范围 思路点拨 1 由 0可得出mf1 mf2 又点m总在椭圆内部 由此可建立不等式找出a c的关系 求得e的范围 2 确定a f点的坐标 a c b 方程 由 afq不可为等腰三角形 fk k为m与x轴的交点 fa a c的不等式 e的不等式 e的范围 规范解答 1 0 mf1 mf2 点m在以o为圆心 以c为半径的圆上 点m总在椭圆内部 c2c2 e 又 e 0 0 e 答案 0 e 2 圆x2 y2 x 3y 2 0与x轴的交点坐标为a 2 0 f 1 0 故a 2 c 1 所以b 所以椭圆c的方程是 设直线m与x轴的交点是k 依题意fk fa 即 c a c a 2c 1 1 2e 2e2 e 1 0 解得0 e 互动探究 在本例题 2 的条件下 若直线m与x轴的交点为k 将直线m绕k顺时针旋转得直线l 动点p在直线l上 过p作圆d的两条切线 切点分别为m n 求弦长mn的最小值 解析 直线l的方程是x y 4 0 圆d的圆心是半径是设mn与pd相交于h 则h是mn的中点 且pm md 当且仅当pd最小时 mn有最小值 pd最小值即是点d到直线l的距离 设为d 所以mn的最小值是 拓展提升 1 求范围问题的常用方法 1 把已知条件表达出来 寻找不等关系 2 建立目标函数 转化为求函数的值域 2 寻找不等关系的常用方法 1 方程有解 判别式大于等于零 2 隐含的字母的取值范围 3 不等式法 4 三角函数的有界性 5 三角形中两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 3 椭圆中的距离问题椭圆上任意一点m到焦点f的所有距离中 长轴端点到焦点的距离分别为最小距离和最大距离 且最大距离为a c 最小距离为a c 变式备选 已知椭圆的一个顶点为a 0 1 焦点在x轴上 若右焦点到直线x y 0的距离为3 1 求椭圆的离心率e 2 设椭圆与直线y kx m k 0 相交于不同的两点m n 当am an时 求m的取值范围 解析 1 右焦点 c 0 到直线x y 0的距离d 3 得c 又b 1 则a2 b2 c2 1 2 3 e 2 设m x1 y1 n x2 y2 由 1 得椭圆方程为 1 把直线方程y kx m k 0 代入椭圆方程得 3k2 1 x2 6kmx 3 m2 1 0 36k2m2 12 3k2 1 m2 1 0 即 3k2 m2 1 0 且由am an得am2 an2 即x12 y1 1 2 x22 y2 1 2即x12 x22 y2 y1 2 y2 y1 k x2 x1 2m 2 k x2 x1 x1 x2 整理得3k2 2m 1 代入 得 m2 2m 0 解得0 m 2 考向2椭圆中的定值问题 典例2 已知椭圆 a b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 短轴两个端点为a b 且四边形f1af2b是边长为2的正方形 1 求椭圆方程 2 若c d分别是椭圆长轴的左 右端点 动点m满足md cd 连结cm 交椭圆于点p 证明 为定值 3 在 2 的条件下 试问x轴上是否存在异于点c的定点q 使得以mp为直径的圆恒过直线dp mq的交点 若存在 求出点q的坐标 若不存在 请说明理由 思路点拨 1 由已知得 a 2 b c 从而可求出a b得椭圆方程 2 设参数 想法把已知条件表达出来 把所求的表达出来 通过减元化为与参数无关的定值即可 3 假设存在q的坐标为q m 0 由mq dp列出m的方程 然后转化为此方程是否有解的问题 规范解答 1 a 2 b c a2 b2 c2 b2 2 椭圆方程为 1 2 c 2 0 d 2 0 设m 2 y0 p x1 y1 则 x1 y1 2 y0 直线cm 即代入椭圆x2 2y2 4得 x1 2 x1 y1 3 设存在q m 0 满足条件 则mq dp m 2 y0 则由 0得从而得m 0 存在q 0 0 满足条件 拓展提升 解决有关椭圆中的定值问题的策略 1 由于定点 定值是变化中的不变量 引进参数表述这些量 不变的量就是与参数无关的量 通过研究何时变化的量与参数无关 找到定点或定值的方法叫做参数法 其解题的关键是选择合适的参数表示变化的量 2 当要解决动直线过定点问题时 可以根据确定直线的条件建立直线系方程 通过该直线过定点所满足的条件确定所要求的定点坐标 变式训练 2013 盐城模拟 如图 椭圆的中心为原点o 离心率e 一条准线的方程是 1 求该椭圆的标准方程 2 设动点p满足 其中m n是椭圆上的点 直线om与on的斜率之积为问 是否存在定点f 使得pf与点p到直线l x 的距离之比为定值 若存在 求f的坐标 若不存在 说明理由 解析 1 由解得a 2 c b2 a2 c2 2 故椭圆的标准方程为 2 设p x y m x1 y1 n x2 y2 则由得 x y x1 y1 2 x2 y2 x1 2x2 y1 2y2 即x x1 2x2 y y1 2y2 因为点m n在椭圆上 所以x12 2y12 4 x22 2y22 4 故x2 2y2 x12 4x22 4x1x2 2 y12 4y22 4y1y2 x12 2y12 4 x22 2y22 4 x1x2 2y1y2 20 4 x1x2 2y1y2 设kom kon分别为直线om on的斜率 由题设条件知kom kon 因此x1x2 2y1y2 0 所以x2 2y2 20 所以p点是椭圆上的点 该椭圆的右焦点为 0 离心率e 直线l x 是该椭圆的右准线 故根据椭圆的第二定义 存在定点f 0 使得pf与p点到直线l的距离之比为定值 考向3直线与椭圆的位置关系 典例3 设椭圆c1 a b 0 的左 右焦点分别是f1 f2 下顶点为a 线段oa的中点为b o为坐标原点 如图 若抛物线c2 y x2 1与y轴的交点为b 且经过f1 f2点 1 求椭圆c1的方程 2 设m 0 n为抛物线c2上的一动点 过点n作抛物线c2的切线交椭圆c1于p q两点 求 mpq面积的最大值 思路点拨 1 求出y x2 1与x轴 y轴的交点坐标得到c b的值 再根据a2 b2 c2求出a 代入c1的方程 2 设n t t2 1 建立过点n的直线方程 与椭圆方程联立 利用根与系数的关系设而不求 整体代入求得pq 进而用点到直线的距离公式求出点m到直线pq的距离d 从而得s mpq pq d求解 规范解答 1 由题意可知b 0 1 则a 0 2 故b 2 令y 0得x2 1 0即x 1 则f1 1 0 f2 1 0 故c 1 所以a2 b2 c2 5 于是椭圆c1的方程为 2 设n t t2 1 由于y x2 1 y 2x 知直线pq的方程为 y t2 1 2t x t 即y 2tx t2 1 代入椭圆方程整理得 4 1 5t2 x2 20t t2 1 x 5 t2 1 2 20 0 其中 400t2 t2 1 2 80 1 5t2 t2 1 2 4 80 t4 18t2 3 设p x1 y1 q x2 y2 则故pq 设点m到直线pq的距离为d 则 所以 mpq的面积s 当t2 9即t 3时取到 经检验此时 0 满足题意 综上可知 mpq的面积的最大值为 拓展提升 1 直线与椭圆位置关系判断的四个步骤第一步 建立直线与椭圆的方程 第二步 联立直线方程与椭圆方程 第三步 消元得出关于x 或y 的一元二次方程 第四步 当 0时 直线与椭圆相交 当 0时 直线与椭圆相切 当 0时 直线与椭圆相离 2 直线与椭圆相交时有关弦长 中点问题的处理方法 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 变式训练 2013 盐城模拟 已知椭圆 a b 0 的离心率为且过点记椭圆的左顶点为a 1 求椭圆的方程 2 设垂直于y轴的直线l交椭圆于b c两点 试求 abc面积的最大值 3 过点a作两条斜率分别为k1 k2的直线交椭圆于d e两点 且k1k2 2 求证 直线de恒过一个定点 解析 1 由解得所以椭圆的方程为x2 2y2 1 2 设b m n c m n 则s abc 2 m n m n 又1 m2 2n2 所以 m n 当且仅当 m 时取等号 从而s abc 即 abc面积的最大值为 3 因为a 1 0 所以ad y k1 x 1 ae y k2 x 1 由消去y 得 1 2k12 x2 4k12x 2k12 1 0 解得x 1或 点同理 有而k1k2 2 直线de的方程为 即即所以 2k12 4 y k1 3x 5 则由得直线de恒过定点 满分指导 直线与椭圆相交的规范性解答 典例 14分 2012 陕西高考 已知椭圆c1 椭圆c2以c1的长轴为短轴 且与c1有相同的离心率 1 求椭圆c2的方程 2 设o为坐标原点 点a b分别在椭圆c1和c2上 求直线ab的方程 思路点拨 规范解答 1 由已知可设椭圆c2的方程为 a 2 2分其离心率为故 则a 4 4分故椭圆c2的方程为 5分 2 方法一 a b两点的坐标分别记为 xa ya xb yb 由 及 1 知 o a b三点共线且点a b不在y轴上 因此可设直线ab的方程为y kx 7分 将y kx代入 y2 1中 得 1 4k2 x2 4 所以 9分将y kx代入中 得 4 k2 x2 16 所以 又由得xb2 4xa2 即 12分解得k 1 故直线ab的方程为y x或y x 14分 方法二 a b两点的坐标分别记为 xa ya xb yb 由 及 1 知 o a b三点共线且点a b不在y轴上 因此可设直线ab的方程为y kx 7分将y kx代入 y2 1中 得 1 4k2 x2 4 所以 9分由得将xb2 yb2代入中 得即4 k2 1 4k2 12分解得k 1 故直线ab的方程为y x或y x 14分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2012 四川高考 椭圆的左焦点为f 直线x m与椭圆相交于点a b 当 fab的周长最大时 fab的面积是 解析 当直线x m过右焦点 1 0 时 fab的周长最大 由椭圆定义知 其周长为4a 8 此时ab s fab 2 3 3 答案 3 2 2013 徐州模拟 椭圆 a b 0 的右焦点为f 其右准线与x轴的交点为a 在椭圆上存在点p满足线段ap的垂直平分线过点f 则椭圆离心率的取值范围为 解析 设p x0 y0 则pf a ex0 又点f在ap的垂直平分线上 a ex0 x0 又 a x0 a a a 1 又0 e 1 e 1 答案 1 3 2013 扬州模拟 若椭圆的一条弦被点a 4 2 平分 那么这条弦所在的直线方程为 解析 设弦的端点为c x1 y1 d x2 y2 则将x1 x2 8 y1 y2 4代入上式得所以所求方程为y 2 即x 2y 8 0 答案 x 2y 8 0 4 2013 宿迁模拟 已知中心在原点o 焦点在x轴上的椭圆c过点m 2 1 离心率为如图 平行于om的直线l交椭圆c于不同的两点a b 1 当直线l经过椭圆c的左焦点时 求直线l的方程 2 证明 直线ma mb与x轴总围成等腰三角形 解析 1 根据可设椭圆方程为将m 2 1 代入可得b2 2 所以椭圆c的方程为因此左焦点为 0 斜率kl kom 所以直线l的方程为即 2 由题意知ma mb的斜率存在且不为0 设直线ma mb的斜率分别为k1 k2 a x1 y1 b x2 y2 直线l y 则 由得x2 2mx 2m2 4 0 所以 x1 x2 2m x1x2 2m2 4 代入 式 得所以直线ma mb与x轴总围成等腰三角形 1 椭圆 a b 0