2011年数学竞赛辅导班讲义.ppt

单元函数微分学 主讲 于鲁源ylytju 数学竞赛辅导班 题型一 导数定义 几何意义 导数与连续的关系 导数 当 时 为右导数 当 时 为左导数 微分 关系 可导 可微 连续 例1 设 存在 求 解 原式 设 存在 则 利用导数定义解决的问题 1 求分段函数在分界点处的导数 及某些特殊 函数在特殊点处的导数 2 由导数定义证明一些命题 3 用导数定义求极限 区别 是函数 是数值 联系 注意 例2 解 例3 若 且 存在 求 解 原式 且 联想到凑导数的定义式 在 处连续 且 存在 证明 在 处可导 证 因为 存在 则有 所以 即 在 处可导 例4 设 故 已知 则 例5 若 时 恒有 问 是否在 可导 解 由题设 由夹逼准则 故 在 可导 且 例6 设 其中 在 因 故 正确解法 时 下列做法是否正确 在求 处连续 例7 设 试确定常数a b使f x 处处可导 并求 解 得 即 是否为连续函数 判别 例8 解 熟练掌握求导方法和技巧 1 求分段函数的导数 注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等 2 隐函数求导法 直接求导 对数微分法 3 参数方程求导法 极坐标方程求导 4 复合函数求导法 可利用微分形式不变性 5 高阶导数的求法 逐次求导归纳 利用莱布尼兹公式 利用泰勒公式 题型二 导数的求法 3 利用 而 得 例9 且 存在 问怎样 选择 可使下述函数在 处有二阶导数 解 由题设 存在 因此 1 利用 在 连续 即 得 2 利用 而 得 例10 设 求 提示 分别用对数微分法求 答案 例11 设由方程 确定函数 求 解 方程组两边对t求导 得 故 例12 已知 则 解 例13 求下列函数的n阶导数 解 2 1 3 解 令 原式 原式 例14 1 设 则 解 各项均含因子 x 2 2 已知 任意阶可导 且 时 解 则当 3 设 则 解 左边 比较两边的系数 得 右边 泰勒公式求高阶导数 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 题型三 有关微分中值定理的证明题 微分中值定理的主要应用 1 研究函数或导数的性态 2 证明恒等式或不等式 3 证明有关中值问题的结论 关键 利用逆向思维设辅助函数 4 求极限 有关中值问题的解题方法 利用逆向思维 设辅助函数 一般解题方法 证明含一个中值的等式或根的存在 2 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 3 若结论中含两个或两个以上的中值 可用原函数法找辅助函数 多用罗尔定理 可考虑用 柯西中值定理 必须多次应用 中值定理 4 若已知条件中含高阶导数 多考虑用泰勒公式 5 若结论为不等式 要注意适当放大或缩小的技巧 有时也可考虑对导数用中值定理 例15 试证至少存在一点 使 证 方法1用柯西中值定理 则f x F x 在 1 e 上满足柯西中值定理条件 令 因此 即 分析 例15 试证至少存在一点 使 方法2令 则f x 在 1 e 上满足罗尔中值定理条件 使 因此存在 例16 设 且在 内可导 证明至少存 在一点 使 分析 由结论可知 只需证 即 验证 在 上满足罗尔定理条件 设 求证存在 使 例17 设 可导 且 在 连续 证 因此至少存在 显然 在上满足罗尔定理条件 即 设辅助函数 使得 例18 设函数 在 内可导 且 证明 在 内有界 证 取点 再取异于 的点 对 为端点的区间上用拉氏中值定理 得 定数 可见对任意 即得所证 例19 且 试证存在 证 欲证 因f x 在 a b 上满足拉氏中值定理条件 故有 将 代入 化简得 故有 即要证 例20 设实数 满足下述等式 证明方程 在 0 1 内至少有一 个实根 证 令 则可设 且 由罗尔定理知存在一点 使 即 例21 设函数f x 在 0 3 上连续 在 0 3 内可导 且 分析 所给条件可写为 03考研 试证必存在 想到找一点c 使 证 因f x 在 0 3 上连续 所以在 0 2 上连续 且在 0 2 上有最大值M与最小值m 故 由介值定理 至少存在一点 由罗尔定理知 必存在 例22 设函数 在 上二阶可导 且 证明 证 由泰勒公式得 两式相减得 例23 证 例23 证 例24 求 解 利用中值定理求极限 原式 例25 计算 解 原式 题型四 函数性态的相关问题 研究函数的性态 增减 极值 凹凸 拐点 渐近线 曲率 应用 几何应用 证明不等式 研究方程实根等 弧长微分 或 曲率公式 定理 若 为偶数时 则是极大值 若 则为极小值 2 当为奇数时 不是极值 设 1 当 定理 为奇数时 点 是的拐点 2 当为偶数时 点不是的拐点 设在处阶可导 且 1 当 例26 解 的连续性及导函数 例27 1 设函数 其导数图形如图所示 单调减区间为 极小值点为 极大值点为 提示 的正负作f x 的示意图 单调增区间为 在区间上是凸弧 拐点为 提示 的正负作f x 的示意图 形在区间上是凹弧 则函数f x 的图 2 设函数 的图形如图所示 例28 证 只要证 利用一阶泰勒公式 得 故原不等式成立 例29 证明 证 单调增加 即 且 令 例30 设 在 上可导 且 证明f x 至多只有一个零点 证 设 则 故 在 上连续单调递增 从而至多只有 一个零点 又因 因此 也至多只有一个零点 思考 若题中 改为 其它不变时 如何设辅助函数 例31 求数列 的最大项 证 设 用对数求导法得 令 得 因为 在 只有唯一的极大点 因此在 处 也取最大值 又因 中的最大项 极大值 列表判别 试求 解 例32 故所求最大值为 例33 1 曲线 A 没有渐近线 B 仅有水平渐近线 C 仅有铅直渐近线 D 既有水平渐近线又有铅直渐近线 提示 答案 例33 2 例34 设 是方程 的一个解 若 且 A 取得极大值 B 取得极小值 C 在某邻域内单调增加 D 在某邻域内单调减少 解 A 题型五 洛必达法则 使用洛必达法则的经验 1 先化简 往往是利用等价无穷小代换 再用洛必达法则 2 一阶可导 则不能对使用洛必达法则 因为不一定存在 若二阶可导 则只能使用一次洛必达法则 注意 不是未定式不能用洛必达法则 若 解 例35 求下列极限 令 则 原式 解 用洛必达法则 继续用洛必达法则 解 原式 例36 求 分析 为用洛必达法则 必须改求 解 用洛必达法则 思考 如何求 n为正整数 1 设 在 处连续 且 求 解 练习题 2 设 在 内可导 且 证明至少存在一点 使 上连续 在 证 问题转化为