2.林炜：大问题教学的数学思维方法渗透.docx

“大问题”教学的数学思想方法渗透以北师大版四年级“游戏公平”教学为例深圳市福田区彩田学校 林炜随着数学课程标准将“双基”扩展为“四基”，数学思想方法作为数学教育的一个基本问题，被普遍重视。数学思想是指人们对数学理论和内容本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题，通常混称为“数学思想方法”。“大问题”教学主要关注课堂教学的重要问题及数学教育的基本问题，那么对于数学思想方法的渗透，在课堂中是如何得以体现的呢？下面以笔者执教的“游戏公平”一课，谈谈对此的看法。一、挖掘知识本质，体现“建模思想”片断1：建立关系，提大问题师：有个游戏，需要邀请一位同学来一起玩，你们说选男同学还是女同学来？（学生纷纷争议）师：我想了两个办法来帮我决定谁来玩：A方案：抽到黑牌男生赢，抽到红牌女生赢B方案：抽到大于3的男生赢，小于3的女生赢提大问题1：你觉得哪个方案合适？（请学生写出自己的观点和原因）生1： 生2：师：下面请几位同学讲解他们的观点。生1：我选择A方案，因为这是公平的。男女生赢的机率都有二分之一。师：机率，我们也可以称为“可能性”，你能用可能性再说说吗？生：A方案公平，因为男女生赢的可能性都是二分之一。师：它们的可能性相等，是二分之一吗？生：是啊，一共有两张牌，黑牌是一张就男生赢，红牌也是一张，女生赢。师：真厉害！还会用分数的意义来解释可能性的问题!师：那有同学选B方案的吗？生：没有师：为什么不选B呢？我们请另一位同学分享他的选择和原因。生2： B方案不公平，因为小于3的有1，2 两张牌，而大于3的就有4，5，6三张牌。师：两类牌的张数不同那这个心中的天平还能平衡吗？生：不平衡了！因为可能性不相等，男生赢有3种可能，女生只有2种可能，男生赢的可能性大。师：哦，那看来如果可能性不相等，规则就一定不公平。那你们能不能修改一下B方案，让它变成公平的规则？生1：女孩1，2，3赢；男生4，5，6赢生2:去掉一张6，其他规则一样本课属于数学四大领域中的“概率与统计”领域。概率学习的一个首要目标是使学生不断体会随机现象这一特点，通过设计一些活动，使学生体会到事件发生的等可能性。此处的“活动”，我们可以理解为直观操作或理性思辨两种类型。也就是说，为了解答本课提出的第一个大问题：“你觉得哪个方案合适”，可以有两个方向：第一，实验验证；第二，理性思考。本课选择了第二种。因为在这个指向学生理解和体会“等可能性”事件的大问题下，我们更倾向于给予空间挖掘学生在潜意识里主动进行的有意判断，抓住孩子们在心里默默形成的“天平模型”，并以此思考和理性判断何种方案是公平的。这个过程，就是帮助孩子建立数学模型。这个模型的启动是源于人类思维的发展规律：人思维发展总是先经过“定性”阶段，再经历“定量”阶段。小时候，孩子会用“一定”、“可能”、“不一定”等来描述事件，但是对可能性有大小、甚至可以用数字来表示大小这一概念还是模糊的。教材没有马上进入计算，而是抓住“可能性相等”这一重要概念，通过游戏活动加深对它的理解。可见，本课的教学是处于“定性”到“定量”的中间桥梁部分。“可能性相等”概念建构得到位，才能帮助日后深入对可能性大小进行定量计算。介于“定性”与“定量”之间的一座桥梁，就像函数与方程思想所描述的“联系”。怎样的“联系”才是公平的规则？究竟应该先判断公平事件的“等可能性”还是先判断不公平事件的“不等可能性”更有助于模型的建立呢？本课是同时将这两个会产生冲突的情形抛出，学生为了解决这个大问题，在选择与说理的过程中自然而然会联想到“等式”、“天平”等数学模型。“大问题”教学中突出建模思想的价值在于：第一，建立模型本身就经历了理解、内化、归纳、提炼等思维过程；第二，合理的模型建立有利于缩短知识间的空隙，如本课学生顺理成章地跨越到了“定量”阶段，是超出目标预想的。二、还原知识起点，凸显“实验思想”片断2：问题探究，感性操作师：既然我们都认同了修改后的方案是公平的，那是不是按照这样抽牌，一定是男生赢一次女生赢一次呢？生：老师，不一定的。有可能运气不好，一直女生赢。师：有这个可能！大问题2：规则是公平的，那还能决出胜负吗？生：可以决出胜负，肯定有输有赢。师：真的吗？要不我们来做个实验？每人抽2次，小组统计总数，看怎么样？（分组实验后，结果讨论）师：我们看看这些结果，第一组是男生多，第二组是女生总共是你们有什么发现？ 生1：我们组是女生赢。但是全班来看，还是男生赢。所以虽然两种可能性相等，但抽出来的结果不一定。生2：应该是男女生差不多。师：为什么会出现不同的结果呢？应该是规则不公平吧？如果规则是公平的，那应该男生赢的次数和女生赢的次数一样啊！生：没有，规则是公平的，出现这个结果是运气。看我们统计了这边一个大组的结果：师：那如果再抽很多很多次，你猜结果会怎么样呢？生：可能男女生赢的次数会差不多。师：其实在很多很多年前，国外科学家做的抛硬币实验（出示数据） 你有什么发现？生：做了很多很多次实验后，正反面出现的次数就越来越接近了。师：是的，所以在统计学上有个“贝努利大数定律”是这样说的：“当实验重复的次数足够多时，出现的频率就会越趋向于它本身的概率（可能性）”。师：同学们，我们刚刚所做的事情，其实是在经历千百年前科学家走过的路，你们“再创造”了统计的精华，为你们自豪！概率是研究不确定现象（随机现象）的科学。随机现象是指这样一种现象：在相同的条件下重复同样的试验，其试验结果不确定，以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现。但大量重复实验，其结果会出现一定的规律。随机现象是由实验产生的，必定以实验作为基本活动基础，课堂上要还原实验的设计、操作、分析与结论过程，体现科学研究精神。实验，不仅是一种重要的数学思想方法，而且为形成良好的科学素养奠定基础。“大问题”教学中，实验思想的形成与操作有了更大更完整的空间：第一，实验设计，即为什么我们需要做这个实验？实验思想的第一步一定是实验动机，人们会因为要弄明白某个问题而大量搜集数据，以期望通过数据带来一定的结论。本课在实验前，先用理性分析了实验可能产生的结果规则是公平的，那是不是男女生赢的次数一定一样多呢？带着这个困惑，学生会产生需要实验的欲望。另外，实验的设计需要带有一定的挑战性，源于理性判断，又高于理性思考的设计最有价值。假如本课采用“抛硬币”实验，就可能会产生这样的问题：抛硬币肯定是公平的！它的等可能性，一般不是通过实验验证的，而是根据人们长期形成的“对称性经验”确认的。因此，在暂时还不需要计算概率的这个学段里，我们选择的实验应该避免孩子由自身的“对称性经验”就可以判断的事件，如硬币的正反面。因为不需要通过理性思考得出的结论，就不会产生实验的欲望。因此，设计的实验应该是高于“对称性经验”的，或者也可以是可能性不相等的统计概型，造成认知冲突后再进行实验。 第二，实验样本，即需要在多大的范围内做实验才有效？按照孩子的常规思维，本课先安排小样本实验，每人抽2次。这时，学生发现实际数据并不像理论推断一样，那如何说明这是科学的呢？进而引导学生聚焦“样本”问题，在课堂的限制空间和时间里体会到“大量重复”的试验这是从非实验者进步到科学实验者的分水岭。分组实验再汇总结果这样的方法相对来说提高了实验的量，既满足了适当的“大量”又能在短时间内使学生体验到过程和结果。 第三，实验分析，即实验结果给我们带来什么思考？这一次的分析，有别于实验前的理性分析，更倾向于用数据说话，指向理解、预测与修正。实验样本的体会使学生有了下一步的思考力：如果实验的量无限大下去，结果会更趋于预测结果吗？但那只是理论上的推断，我们不可能无休止的去亲自操作，只能是在可操作范围内进行，然后用极限的思维去感受推理。因此本课增加已有的硬币实验结果，让学生充分感受到“大数定律”。关于实验，完全是为了解读随机与规律之间的关系随机是事物的现象，透过现象的本质，就是“规律”。科学研究之所以可贵，是因为其深刻的内涵以及深入探究内涵的精神。这种深入的洞察，实际上是将统计穿越到原始社会，当什么定律都还没有的时候，人们是如何解决理性判断与实践操作之间的矛盾的。这种“裸看”知识形成的过程，就是“再创造”（弗赖登塔尔语）。唯有大空间能为“再创造”提供优质的土壤。三、多元开放空间，形成“体系思想”片断3：问题延伸，展示分享师：除了用扑克牌，你们还能不能想出一个公平的方法来解决他们谁先玩的问题？组长的学具袋里还有很多学具，请你们来做个设计师，也来设计一些公平的方案吧！请看要求-出示具体要求：a.选择学具盒里的其中一种道具（或自创道具、无道具）b.用这些道具设计出一个决定谁先玩的方案c.说明这种方法为什么是公平的d.在黑板写出这种设计的关键词2、填充板书：3、分组展示：师：先请摸球组生：我们组的方案是，闭眼摸球。这里有两个绿球两个蓝球和一个红球，摸到绿球女生赢，摸到蓝球男生赢，摸到红球就不算。这也是公平的，大家有问题要问我吗？生2：为什么有一个多出来的红球，这个方案还是公平的呢？生：因为摸到绿球有2种可能，摸到蓝球也有2种可能性，是一样的啊！而且我还会变魔术，看好了！我再加一个红球，你们觉得这时候还是公平的吗？生3：公平的，因为还是可能性相等。生：那我再多加一个红球呢？再多加2个呢？生3：一样还是公平，因为红球根本不影响男女生赢的可能性。师：摸球组真厉害啊！不仅会变魔术，还会排除干扰因素找到本质的影响！再有请转盘组生：我们组的方案是，转动这个转盘，如果转到红色就女生赢，如果转到黑色就男生赢，这也是公平的。大家有问题吗？生4：你怎么知道是公平的？生：红色这部分的大小跟黑色这部分的大小是一样的，所以都是50%！师：解释得真到位！其实虽然我们没办法数出转盘这些位置有多少种可能，但是两部分的面积相等，就表示可能性相等了。这在概率上有个名字，我们以后会接触到，叫做几何概型，而前面这些能数得清楚的叫古典概型。体系思想，也可以看作整合思想。数学必然是充满强烈内部联系的科学，遵循或挖掘这种内部联系，就是以“体系”的观点看待数学。夸美纽斯说，人们学习的每件事情都应该是充满着联系的。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔也认为，数学教学不是将详细整理好的证明提供给学生，而是必须让学生自己发现粗略的证明，自己加以整理。只有通过这样的活动，才能使学生跨出超越局部的问题解决的第一步，而走向独立自主地建立数学体系。课堂上是否具有体系意识及体系空间，是需要有前提的：“大问题”教学之所以提倡把问题提得“大”，就是想要问题放大之后的空间。这个空间恰恰是留给学生思考、讨论和表达的空间。本课利用多种学具开放性地给学生设计公平的游戏规则，是想先请学生在黑板上把自己智慧进行呈现，众多的方案会让学生感受到一种变易的哲学内涵：即材料、方式都在改变，但是思维方式和判断方法不变这是第一层次的体系。深入来看，郑毓信教授提出：数学中对于“多元化”的提倡，其主要的着眼点并非形式上的“与众不同”，而是有无体现出“新的不同的视角或分析思路”。基于此，我们回到统计的体系中，纵观统计概型，大体有三种：1.古典概型（常用的）如摸球、抛硬币、掷骰子等，古典概型的特征是：所有可能结果的个数是有限的，每个结果具有等可能性；2.几何概型如转盘，可以分为无限等分。它的特征是：所有可能结果的个数是无限的，每个结果具有等可能性；3.统计概型每个结果不具有等可能性。如抛瓶盖、掷图钉为了使学生能够感受到不同概型以及它们之间的层次，本课采用了多元材料的提供方式。在开放的空间中，学生会有不同的表达，进而回归到统计教学的本质中去。在古典概型中，学生容易在心中建立天平，摸球组不