山东省滨州市无棣县埕口中学九年级数学 聚焦数学思想例析.doc

山东省滨州市无棣县埕口中学九年级数学 聚焦数学思想例析数学思想方法是数学的灵魂数学思想指导着数学问题的解决，具体体现在解决问题的不同方法中，因此掌握一定的数学思想方法远比掌握一般的数学知识重要，为了使同学们更深入的理解九年级上下册中的数学思想，体会数学思想在数学思维和解题的作用，本文以2010年中考题为例,举例说明，供大家复习时参考. 一、数形结合思想数形结合思想就是根据数学问题的内在联系，把数量与图形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法.数形结合的思想在数学中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题与几何图形相互转化，使抽象问题和形象思维有机结合，寻找解题思路，使问题得到解决.例1如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为a（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c0的解集是 . 析解:因为抛物线的对称轴为x=1，且与x轴一交点为a（3，0），所以点a与对称轴间的距离为2,根据抛物线的对称性知,它与x轴的另一个交点到对称轴的距离为2,所以与x轴的另一个交点为(1,0),由图象可知，不等式ax2+bx+c0的解集是1x3 .评注:本题要求不等式ax2+bx+c0的解集,如果直接求解超出了我们所学知识范围,无法求解,但是,如果我们利用函数图象(图形)就轻而易举的解决了问题,充分体现了数形结合在解题中起着重要作用.例2abcdegf矩形纸片abcd的边长ab=4，ad=2将矩形纸片沿ef折叠，使点a与点c重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为_.析解：由折叠的性质知: 因为梯形aefd的面积=梯形ecgf的面积,所以阴影部分的面积为,而即可.设ae=x,则be=4-x,根据折叠性质可知ec=ae=x,在rtebc中,解得x=2.5,因为dcab,所以cfe=aef,而aef=fec,所以cfe=fec,因此fc=ec=x=2.5,所以阴影部分的面积为.评注：折叠问题仍是中考的热点,它考查学生对轴对称等有关知识的掌握及空间观念的发展情况、考查了画图分析能力、运用能力,同时也着重考查了同学们对数形结合思想、方程思想的运用.二、 整体思想整体思想就是在数学问题中，对于有的问题，可以从整体的角度思考问题，即将局部放在整体中去观察分析探究问题的解决方法，从而使问题得以简捷巧妙解决例3已知是方程的两根，且，则的值等于 （ ）a5 b.5 c.-9 d.9析解:因为是方程的两根，所以根据方程根的定义可得:,即,因为所以(7+a)(3-7)=8,解得a=-9,故选c评注:本题解题的关键是利用根的定义,得到然后将分别看成一个整体,从而使问题的解决更加简捷.例4如图,直线与双曲线交于两点,则的值为( )a.-5 b.-10 c.5 d.10析解: 因为直线与双曲线交于,所以有,且a,b两点关于原点对称,则有,所以=故选b.评注:本题将看成一个整体,从而使问题得以简捷巧妙解决例5某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在 五边形各顶点为圆心，2 m长为半径的扇形区域（阴影部分）种 上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（a）m2 （b）m2 （c）m2 （d）m2析解:本题要求五个阴影面积的和,如果一个个求解是不可能的,因此我们可以把这五个面积的和作为一个整体求出.设这五个扇形的圆心角分别为a,b,c,d,e,由扇形面积公式得阴影面积和为:而五边形内角和为(5-2)180=540度，将a+b+c+d+e=540整体代入上式得阴影面积为，故选a。评注:本题的解题关键在于将(a+b+c+d+e)看成一个整体.虽然本题中的这五个角的大小都无法求出,但我们没有必要分别求出它们的大小,而只要求出这五个角之和即可使问题得到解决,这里也充分体现了整体思想在解题中的妙用,请同学们认真体会.三、方程思想所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把已知量和未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得以解决的思想方法在一元二次方程这一章中应用方程解决实际问题的例子很多，还有直角三角形的边角关系一章依据三角函数解决有关问题及在圆一章中借助方程（组）求线段的长度等都很好的体现了这一思想例6已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3（1）试求出纸箱中蓝色球的个数； （2）假设向纸箱中再放进红色球个，这时从纸箱中任意取出一个球是红色球的概率为0.5，试求的值 析解：(1)由已知得纸箱中蓝色球的个数为：（个） (2) 方法一：根据题意得：，解得：（个）方法二：由已知得红色球20个、黄色球30个，蓝色球50个，为使任意取出一个球是红色球的概率为0.5，所以纸箱中红色球的个数等于黄色球与蓝色球个数之和，得：x+20=30+50，解得：（个） 评注:本题的第(2)无论是方法一还是方法(二)都是用方程的思想来解决有关概率问题.例7（今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安，更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水功夫不负有心人，终于有人在山洞c里发现了暗河（如图）经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着a、b两村庄，山洞c位于a村庄南偏东30方向，且位于b村庄南偏东60方向为方便a、b两村庄的村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞c处向公路ab紧急修建一条最近的简易公路cd现已知a、b两村庄相距6千米.(1) 求这条最近的简易公路cd的长（保留3个有效数字）；(2) 每修建1千米的简易公路需费用16 000元，请求出修建该简易公路的最低费用（精确到个位）(本题参考数据：1.414，1.732)析解：(1)如图：过c作cdab于d. 设cd=x，依题得： 在rtadc中，adc=90, a=30 同理： ad-bd=14 解得：5.196（千米） (2) 5.19616000=83136（元）答：这条最近的简易公路长为5.196千米，修建简易公路的最低费用为83136元. 评注:本题作了辅助线后虽然有两个直角三角形,但没有一个可直接求解的,因此要构造方程求解.例8在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案.(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由.(2)你还有其他的设计方案吗？请在图9-3中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明.析解：（1）不符合. 设小路宽度均为 m，根据题意得：,解这个方程得：但不符合题意，应舍去,.小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m. （2）答案不唯一.例如：例9如图ab是o的直径，d是圆上一点，连结ac，过点d作弦ac的平行线mn。（1）求证：mn是o的切线；（2）已知ab10，ad6，求弦bc的长。abcodmn（1）证明：连结od，交ac于e，如图所示，因，所以odac 又acmn，所以odmn所以mn是是o的切线abeodmnc（2）解：设oe，因ab10，所以oa=5 ed5x又因ad =6 在直角三角形oae和直角三角形dae中，因oaoeaeed，所以5x6（5x） 解得x因ab是o的直径，所以acb90 所以odbc所以oe是abc的中位线，所以bc2oe2四、 转化的思想转化的思想方法同样也是解数学问题的一种重要的方法，用这种方法解题时常常采取把“新知识” 转化为“旧知识”、化“未知”为“已知”、化“复杂”为“简单”等策略，使问题得以快捷求解如在一元二次方程一章中将一元二次方程化为一元一次方程；在第三章证明（三）一章中添加辅助线将四边形问题转化为三角形问题来处理，梯形问题转化为三角形、平行四边形问题来解决这些都体现了转化的思想例10如图，点p（3a，a）是反比例函y（k0）与o的一个交点，图中阴影部分的面积为10，则反比例函数的解析式为 （ ） xoypay by cy dy析解：欲求反比例函y（k0）的解析式，将其转化为求点p（3a，a）即可。图中阴影两部分的面积和为10，根据双曲线及圆都是中心对称图形，可将第三象根阴影部分面积转化为第一象限圆中空白面积，这样一来阴影面积的和即为整个圆的面积的，因此圆的面积为40，（a）0），p（6，2），因此所求反比例函数解析式为：y，故选d。例11（2010江苏泰州）如图，四边形abcd是矩形，edc=cab，dec=90(1)求证：acde；(2)过点b作bfac于点f，连结ef，试判断四边形bcef的形状，并说明理由证明：在矩形abcd中，acde，dca=cab，edc=cab，dca=edc，acde；四边形bcef是平行四边形理由：由dec=90，bfac，可得afb=dec=90，又edc=cab，ab=cd，decafb，de=af，由得acde，四边形afed是平行四边形，adef且ad=ef，在矩形abcd中，adbc且ad=bc，efbc且ef=bc，四边形bcef是平行四边形五、分类讨论思想分类讨论，又称为分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类.将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合，这种研究问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类时要不重不漏、条理清晰，从而使问题得到清晰、完整、严密的解答.例11如果方程的两个根分别是rtabc的两条边，abc最小的角为a，那么tana的值为析解：因为方程的两个根分别是rtabc的两条边，解方程得，x1=1，x2=3而x1x2,所以1不可能为斜边而只能为直角边，因此3有两种可能，其一为斜边，其二为直角边，若rtabc的斜边为3，则tana的值为；若rtabc的直角边为3，则tana的值为综上，tana的值为或评注：本题考查一元二次方程解法，在rtabc中求锐角三角函数值其间蕴含了分类讨论的数学思想方法解题易出现因考虑不周而漏解的现象例12已知在个不透明的口袋中有4个形状、大小、材质完全相同的球，其中1个红色球，3个黄色球。 (1)从口袋中随机取出一个球(不放回)，接着再取出一个球请用树形图或列表的方法求取出的两个都是黄色球的概率； (2)小明往该口袋中又放入红色球和黄色球若干个，一段时间后他记不清具体放入红色球和黄色球的个数，只记得一种球的个数比另一种球的个数多l，且从口袋中取出一个黄色球的概率为，请问小明又放人该口袋中红色球和黄色球各多少个? 析解：(1)画图略，p(两个都是黄色球)= (2)小明往该口袋中又放入红色球和黄色球若干个，一段时间后他记不清具体放入红色球和黄色球的个数，只记得一种球的个数比另一种球的个数多l，且从口袋中取出一个黄色球的概率为，请问小明又放人该口袋中红色球和黄色球各多少个?（2）一种球的个数比另一种球的个数多l。又放入袋中的红球的个数只有两种可能,因此要进行分类讨论。若小明又放入红色球个，则放入黄色球为个，则。若又放入红色球个，则放入黄色球为个。则，则（舍去）小明又放入红色球个，则放入黄色球为3个例13已知：等边三角形abc的边长为4厘米，长为1厘米的线段mn在abc的边ab上沿ab方向以1厘米/秒的速度向b点运动（运动开始时，点与点重合，点n到达点时运动终止），过点m、n分别作边的垂线，与abc的其它边交于p、q两点，线段mn运动的时间为秒（1）线段mn在运动的过程中，为何值时，四边形mnqp恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段mn在运动的过程中，四边形mnqp的面积为s，运动的时间为t求四边形mnpq的面积s随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围cpqbamn cpqbamncpqbamn析解(1)若要四边形mnqp为矩形，则有mp=qn，此时由于pma=qnb=90，a=b=60，所以rtpmartqnb，因此am=bn.移动了t秒之后有am=t，bn=3-t，由am=bn，t=3-t 即得 t=1.5. 此时rtamp中，am=1.5，a=60，所以mp=，又mn=1，所以矩