高三数学 知识点精析精练27 导数及其应用.doc

2014高三数学知识点精析精练27：导数及其应用【复习要点】一、导数导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导.1.深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数.表示函数的平均改变量，它是x的函数，而f(x0)表示一个数值，即f(x)=，知道导数的等价形式：.2.求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键.3.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.4.复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系.二、导数的应用利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间a,b上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点.本节内容主要是指导考生对这种方法的应用.1.f(x)在某个区间内可导，若f(x)0,则f(x)是增函数；若f(x)0,则f(x)是减函数.2.求函数的极值点应先求导，然后令y=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如：y=x3,当x=0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0.3.可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如y=|x|,在x=0处不可导，但它是最小值点.【例题】【例1】 已知曲线c：y=x33x2+2x,直线l:y=kx,且l与c切于点(x0,y0)(x00)，求直线l的方程及切点坐标.解：由l过原点，知k=(x00),点(x0,y0)在曲线c上，y0=x033x02+2x0,=x023x0+2y=3x26x+2,k=3x026x0+2又k=,3x026x0+2=x023x0+22x023x0=0,x0=0或x0=由x0,知x0=y0=()33()2+2=k=l方程y=x 切点(，)【例2】 求函数的导数：解：(2)解：y=3,=axbsin2x,=avbyv=x,y=sin =xy=(3)=32=32(avby)=32(avby)=32(avby)=3(axbsin2x)2(absin2x)(3)解法一：设y=f(),=,v=x2+1,则yx=yvvx=f()v2x=f()2x=解法二：y=f()=f()()=f()(x2+1)(x2+1)=f()(x2+1) 2x=f()【例3】 已知二次函数f(x)满足：在x=1时有极值； 图象过点(0,3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行（1）求f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间解：（1）设f(x)=ax2+bx+c，则f (x)=2ax+b由题设可得：即，解得所以f(x)=x22x3（2）g(x)=f(x2)=x42x23，g (x)=4x34x=4x(x1)(x+1)列表：x(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,+)f(x)0+00+f(x)由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(1,0)，(1,+)【例4】 已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1)(1)设g(x)=ff(x),求g(x)的解析式；(2)设(x)=g(x)f(x),试问：是否存在实数,使(x)在(,1)内为减函数，且在(1，0)内是增函数.解：(1)由题意得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+cf(x2+1)=(x2+1)2+c,ff(x)=f(x2+1)(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,x2+c=x2+1,c=1f(x)=x2+1,g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1(2)(x)=g(x)f(x)=x4+(2)x2+(2)若满足条件的存在，则(x)=4x3+2(2)x函数(x)在(,1)上是减函数，当x1时，(x)0即4x3+2(2)x0对于x(,1)恒成立2(2)4x2,x1,4x242(2)4,解得4又函数(x)在(1,0)上是增函数当1x0时，(x)0即4x2+2(2)x0对于x(1,0)恒成立2(2)4x2,1x0,44x202(2)4,解得4故当=4时，(x)在(,1)上是减函数，在(1,0)上是增函数，即满足条件的存在.【例5】 已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1时取得极值，且f(1)=1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x=1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.解：(1)f(x)=3ax2+2bx+cx=1是函数f(x)的极值点，x=1是方程f(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系，得又f(1)=1,a+b+c=1（3）由解得a=,(2)f(x)=x3x,f(x)=x2=(x1)(x+1)当x1或x1时，f(x)0当1x1时，f(x)0函数f(x)在(,1)和(1,+)上是增函数，在(1，1)上是减函数.当x=1时，函数取得极大值f(1)=1,当x=1时，函数取得极小值f(1)=1.【例6】 在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边a处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的b处，乙厂到河岸的垂足d与a相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站c，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站c建在岸边何处才能使水管费用最省？解法一：根据题意知，只有点c在线段ad上某一适当位置，才能使总运费最省，设c点距d点x km,则bd=40,ac=50x,bc=又设总的水管费用为y元，依题意有：y=3a(50x)+5a (0x50)y=3a+,令y=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时ac=50x=20(km)供水站建在a、d之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.解法二：设bcd=，则bc=,cd=40cot,(0),ac=5040cot设总的水管费用为f(),依题意，有f()=3a(5040cot)+5a=150a+40af()=40a令f()=0,得cos=根据问题的实际意义，当cos=时，函数取得最小值，此时sin=,cot=,ac=5040cot=20(km),即供水站建在a、d之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.【导数及其应用练习】一、选择题1、y=esinxcos(sinx)，则y(0)等于( )a.0b.1c.1d.22、经过原点且与曲线y=相切的方程是( )a.x+y=0或+y=0b.xy=0或+y=0c.x+y=0或y=0d.xy=0或y=03、设f(x)可导，且f(0)=0,又=1,则f(0)( )a.可能不是f(x)的极值b.一定是f(x)的极大值c.一定是f(x)的极小值d.等于04、设函数fn(x)=n2x2(1x)n(n为正整数)，则fn(x)在0,1上的最大值为( )a.0b.1c. d.二、填空题5、若f(x0)=2,=_.6、设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),则f(0)=_.7、函数f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的单调区间_.8、在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大.三、解答题9、已知曲线c1:y=x2与c2:y=(x2)2,直线l与c1、c2都相切，求直线l的方程.10、求函数的导数(1)y=(x22x+3)e2x；(2)y=.11、有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.12、求和sn=12+22x+32x2+n2xn1,(x0,nn*).13、设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.14、设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.15、已知a、b为实数，且bae,其中e为自然对数的底，求证：abba.16、设关于x的方程2x2ax2=0的两根为、(),函数f(x)=.(1)求f()f()的值；(2)证明f(x)是，上的增函数；(3)当a为何值时，f(x)在区间，上的最大值与最小值之差最小？参考答案一、1.解析：y=esinxcosxcos(sinx)cosxsin(sinx),y(0)=e0(10)=1答案：b2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=,另一方面，y=()=,故y(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=3,x0(2)=15,对应有y0(1)=3,y0(2)=,因此得两个切点a(3，3)或b(15,),从而得y(a)= =1及y(b)= ,由于切线过原点，故得切线：la:y=x或lb:y=.答案：a3.解析：由=1,故存在含有0的区间(a,b)使当x(a,b),x0时0,于是当x(a,0)时f(0)0,当x(0,b)时，f(0)0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减.答案：b4.解析：fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n1=n2x(1x)n12(1x)nx,令fn(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值，最大值fn()=n2()2(1)n=4()n+1答案：d二、5、解析：根据导数的定义：f(x0)=(这时)答案：16、解析：设g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),则f(x)=xg(x),于是f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)+0g(0)=g(0)=12n=n！答案：n!7、解析：函数的定义域是x或x2,f(x)=.(3x2+5x2)=,若a1,则当x时，logae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,f(x)0,函数f(x)在(,+)上是增函数，x2时，f(x)0.函数f(x)在(,2)上是减函数.若0a1,则当x时，f(x)0,f(x)在(,+)上是减函数，当x2时，f(x)0,f(x)在(,2)上是增函数答案：(,2)8、解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=ao+do=r+,解得x2=h(2rh),于是内接三角形的面积为s=xh=从而令s=0,解得h=r,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2r)上列表如下：h(0,r)r(,2r)s+0s增函数最大值减函数由此表可知，当x=r时，等腰三角形面积最大.答案：r三、9、解：设l与c1相切于点p(x1,x12),与c2相切于q(x2,(x22)2)对于c1：y=2x,则与c1相切于点p的切线方程为yx12=2x1(xx1),即y=2x1xx12对于c2：y=2(x2),与c2相切于点q的切线方程为y+(x22)2=2(x22)(xx2),即y=2(x22)x+x224两切线重合，2x1=2(x22)且x12=x224,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0直线l方程为y=0或y=4x410、解：(1)注意到y0,两端取对数，得lny=ln(x22x+3)+lne2x=ln(x22x+3)+2x (2)两端取对数，得ln|y|=(ln|x|ln|1x|),两边解x求导，得11、解：设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5,当下端移开1.4 m时，t0=,又s= (259t2)(92t)=9t,所以s(t0)=9=0.875(m/s)12、解：(1)当x=1时，sn=12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1),当x1时，1+2x+3x2+nxn1=,两边同乘以x,得：x+2x2+3x2+nxn=两边对x求导，得sn=12+22x2+32x2+n2xn1=13、解：f(x)=3ax2+1若a0,f(x)0对x(,+)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾.若a=0,f(x)=10,x(,+),f(x)也只有一个单调区间，矛盾.若a0,f(x)=3a(x+)(x),此时f(x)恰有三个单调区间.a0且单调减区间为(,)和(,+)，单调增区间为(, ).14、解：f(x)=+2bx+1(1) 由极值点的必要条件可知：f(1)=f(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,解方程组可得a=,b=,f(x)=lnxx2+x(2) f(x)=x1x+1,当x(0,1)时，f(x)0,当x(1,2)时，f(x)0,当x(2,+)时，f(x)0,故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值ln2.15、证法一：bae,要证abba,只要证blnaalnb,设f(b)=blnaalnb(be),则f(b)=lna.bae,lna1,且1,f(b)0.函数f(b)=blnaalnb在(e,+)上是增函数，f(b)f