数学北师大版八年级上册三角形的内角和定理的证明.doc

【课 题】 7.5三角形内角和定理【教材版本】新课程北师大版八年级上册第七章第五节【学习目标】1、知识与技能目标：学生由对三角内角和定理感性认识上升到理性推理证明，掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。2、过程与方法目标：学生亲历探索撕纸过程对比，体会思维实验和符号化的理性运用，在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成逻辑推理能力，并形成一定的逻辑思维能力。3、情感态度与价值观目标：经历三角形内角和定理不同种方法的推理证明过程，培养学生创造性，弘扬个性发展，体验解决问题的成就感，体会数学证明的严谨性和推理意义，培养学习数学的兴趣，感悟逻辑推理的数学价值。【教材分析】1、内容分析三角形内角和定理是“空间与图形”中的一个很重要的定理。(1)它为以后学习多边形内角和定理奠定基础。(2)实际生活、生产中有广泛的应用。(3)是求角度的有力工具（有时非它不可）。三角形内角和定理的证明过程为学生建立数学思想方法和逻辑推理能力提供一个发展提高平台，其论证过程总体体现为化归思想。学过之后，这种思想方法可以类比运用到其它问题的探索与解决过程之中，其说理过程将成为“普通语言向符号语言转化”的可能，这一可能将随时间的推移与知识的积攒成为现实。在证明过程中，学生从中学到的不仅仅是知识、方法及数学逻辑，他们克服困难的勇气及对问题的好奇心和互相评价，学习方式的选择等等方面都将大有收获，说明了本节教材内容对学生非智力因素的影响还是非常大的。 2、学情分析：（1）学生已经在小学和七年级的时候接触过三角形内角和定理，并且进行了猜想与验证及口头说理过程。这为证明三角形内角和定理提供了认知基础。 （2）从学生的学习动机与需要上看，他们有探究新事物的欲望和好奇心，这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障。（3）学生在学习三角形内角和定理的证明过程中，其认知顺序可能是建构型的。平行线是其原有知识储备的主要图式，他们利用原有图式完全可以同化三角形内角和定理。【重点难点】重点：以三角形内角和定理的证明为载体，学习几何证明思想，以及辅助线的有关知识，体会数形结合思想。难点：辅助线添加的必要性和具体方法：（1）为什么要添加；（2）在哪里添加；（3）如何添加；（4）哪种添加方法最简单。【设计思路分析】三角形内角和定理是学生接触较早的定理之一，其内容和应用早已为学生所熟悉。因此，本节课需要重点解决的问题是定理的证明；在定理证明中，学生将首次接触和应用辅助线，于是，在证明中“为什么要添加辅助线”、“如何添加辅助线”就必然成为本节课的重点。本课基本定位在于，通过三角形内角和定理证明的教学实践、感受几何证明的思想，体会辅助线在几何问题解决中的桥梁作用。同时，引领学生体会数学中的重要思想数形结合。借助“撕三角形纸片，拼接，验证三角形内角和定理”的过程分析，启发诱导学生初步体会辅助线及其在证明中的作用。最后，引领学生进一步体会辅助线添加方法的多样性，渗透“最优化”思想。【教学过程】（一）情景再现，导入新课【问题1】请同学们回忆我们以前是怎么发现三角形的内角和为180的呢？你还记得这个结论的探索过程吗?学生：（1）度量：通过度量几个具体三角形的三个内角并求和，可猜测所有三角形的内角和为180（其实质就是通过量角器这个“桥梁”将三角形的三个内角从“数”的角度进行拼接）.（2）折叠：通过折叠将三角形的三个内角“拼接”成一个平角，从而验证了三角形的内角和为180.（3）剪拼：将三角形的三个内角减下来，将分散的三个角“搬”到一起，从而构成一个平角，从而验证三角形的内角和为180.（通过动手操作拼图，将分散的三个角“搬”到一起，从而构成一个平角或两角互补，为本节课引出辅助线做好铺垫.）命题三角形三个内角的和等于180数度量三个内角的度数并求和等于180测量形三个角拼在一起（1）平角；（2）两角互补证明 老师：以上三种方法不论是度量还是剪拼实际操作起来都存在误差，不是很准确，其二是不论是度量还是剪拼只能是有限个，由此得到所有三角形的内角和都是180这个结论是不可靠的 ，我们还要应用公理和已经证明为真的几何命题来证明这个结论才是可靠的. 【设计意图】（1）鉴于学生对证明已有一定的认识和了解，并且对三角形内角和已经有初步认识，在教学过程设计上并没有从学生身边熟悉的事例创设情境，而是简单地对三角形内角和的知识加以回忆。（2）学生以前所做的都是特殊的三角形，而且“量一量、拼一拼、折一折”受客观因素的制约，影响了研究结果的准确性，况且当时有些学生量出内角和的度数确实要高于或低于180。 （3）学生的怀疑是正常的，剪拼得到的结论有一定的合理性，但还需证明来确认，这正是我们这节课要解决的问题 。（二）活用化归，证明定理【三角形的内角和定理】三角形三个内角的和等于180.老师： 这是一个文字命题，若要推理证明，我们需要将其转化成图形语言和符号语言，根据题意画出图形，写出“已知”“求证”.我们一起写出“已知”“求证”.已知:如图,ABC,求证:A+B+C=180.【问题2】你能找到证明的方法吗？请同学们试一试.学生：延长BC到D,过点C作射线CEAB,这样,就相当于把A移到了ACE的位置,把B移到了ECD的位置.证明：延长BC到D，过点C作直线CEAB,BECD（两直线平行，同位角相等）, ACE=A（两直线平行，内错角相等）, ACE+ECD+ACB180,ABACB180（等量代换）.师：同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们添画了射线CE、CD，使处于原三角中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的三个内角的和等于180是真命题，这时称它为定理.即三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180.【设计意图】培养学生有“公理化思想”，能运用基本事实和定理证明问题，有学会运用旧知解决新知，从以前的活动中思考获取解决的方法，有合作学习的能力，有探究新知的能力.（三）开启智慧，分组探究 师：【问题3】你还能发现其他的证法吗？请与同学交流，试着写出证明过程.1、教师组织学生分组讨论：有了上面的知识作为铺垫，我们可以开展探究活动了，看哪组最先找到解决办法，找到的方法最多.2、在学生开展探究的过程中，教师参与其中，对个别感到困难的小组可以进行适当的提示和引导.3、教师指导学生添加辅助线，给出完整的“三角形内角和定理”的证明.4、分组探究，成果展示.教师指导学生进行全班交流：（1）将学生找到的添加辅助线的方法进行汇总展示。（2）在展示过程中，注意关注学生的表达以及寻找到的添加辅助线的方法，若有不全的，教师进行必要的提示。（3）引导学生将辅助线添加在三角形的顶部，边上及三角形内、外部均可。然后，进一步引导学生比较哪种最好。【设计意图】1、让学生在证明的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路2、这里是本节课的一个重点，教师在这里要交代什么是辅助线，添加时要用虚线画出；辅助线怎么来的在证明开始时要交代清楚，后添加的字母要在证明的开始前交代清楚；规范书写格式是自上而下的；有条理的表达上面的分析思路，有一个严密的逻辑思维过程。3、三角形内角和的证明实质是利用化归思想将三角形内角和转化为“平角等于180”或“两直线平行同旁内角和等于180这一点应向学生交代清楚4、给学生充分的自我展示的机会，尽量发现更多的添加辅助线的方法。（四）辨析正误，深化理解1. 小明是这样证明的，你认为正确吗？在ABC内任取一点O，连 接 AO、BO 、CO，即把ABC分成三个三 角形，可得等量关系AOB、 AOC 、BOC 三个的内角和减去360就是ABC 的内角和. 设三角形的内角和为X度 ， 于是有方程3X- 360 =X, 解得 X=180 ,即三角形的内角和为180 .2.小丽是这样证明的，你认为正确吗？作ADBC于点D，在RtABD中，B+BAD=90,在RtACD中，C+CAD=90，B+C+BAC=180.（五）实践应用，培养能力【三角形内角和定理】三角形的三个内角和等于180.符号语言：在ABC中, A+B+C=180；两种变形（1）在ABC中, A=180 (B+C)；(2)在ABC中, A+B=180 C.（六）实践应用，培养能力【例1】（1）四边形的内角和为_; （2）五边形的内角和为_; （3）六边形的内角和为_; （4）n边形的内角和为_.【例2】如图，ab ,12=75,则34=_.【例3】一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若3 = 50，则1+2 =_.（八）畅谈收获，反思升华本节课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理。在三角形中，求角的大小可将被求角看作三角形的内角来求。证明的基本思想是：借助辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角或两个互补的角通过本节课的学习,你有哪些收获? （九）课外作业，巩固练习1、基础作业：习题7.6 ： 2、3、4、2、探究作业： 在ABC内有2011个点，这2011个点任意三点不共线，加上ABC的三顶点共2014个点，把这2014个点连线形成互不重叠的三角形，则一共可以形成三角形的个数为_.3、扩展阅读: 在平面上，三角形的内角和为180，在球面上，“三角形”的内角和还为180吗？请有兴趣的同学查阅非欧几何的相关资料. 【板书设计】7.5三角形内角和定理 【三角形的内角和定理】三角形的三个内角的和等于180. 证明:过点A作PQBC , PAB=B(两直线平行,内错角相等）QAC=C(两直线平行,内错角相等)BAC+B+C=180 (平角的定义)BAC+B+C=180 (等量代换).【教学反思】 三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具和基础.而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识，也是学