高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点探究+把脉高考）第二章第8课时 函数与方程课件.ppt

第8课时函数与方程 基础梳理1 函数的零点 1 函数零点的定义对于函数y f x x d 把使 成立的实数x叫做函数y f x x d 的零点 f x 0 2 几个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与 有交点 函数y f x 有 x轴 零点 思考探究1 是否任意函数都有零点 提示 并非任意函数都有零点 只有f x 0有根的函数y f x 才有零点 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数y f x 在区间 内有零点 即存在c a b 使得 这个 也就是f x 0的根 f a f b 0 a b f c 0 c 思考探究2 在上面的条件下 a b 内的零点有几个 提示 在上面的条件下 a b 内的零点至少有一个c 还可能有其他零点 个数不确定 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 3 二分法的定义对于在区间 a b 上连续不断且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 f a f b 0 一分为二 零点 课前热身1 如图所示的函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 a b c d 答案 b 2 2010 高考天津卷 函数f x 2x 3x的零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 3 若函数f x 2x2 ax 3有一个零点是1 则f 1 答案 104 已知函数f x x2 x a在区间 0 1 上有零点 则实数a的取值范围是 解析 函数f x x2 x a在 0 1 上递增 由已知条件f 0 f 1 0 即a a 2 0 解得 2 a 0 答案 2 0 答案 c 题后感悟 判断函数y f x 在某个区间上是否存在零点 常用以下方法 1 解方程 当对应方程易解时 可通过解方程 看方程是否有根落在给定区间上 2 利用函数零点的存在性定理进行判断 3 通过画函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 备选例题若定义在r上的偶函数f x 满足f x 2 f x 且当x 0 1 时 f x x 则函数y f x log3 x 的零点个数是 a 多于4个b 4个c 3个d 2个 解析 在同一坐标系内作出函数y f x 及y log3 x 的图象 如下 观察图象可以发现它们有4个交点 即函数y f x log3 x 有4个零点 答案 b 变式训练 解析 选b 当x 0时 由f x x2 2x 3 0 得x1 1 舍去 x2 3 当x 0时 由f x 2 lnx 0 得x e2 所以函数f x 的零点个数为2 已知f x x2 a2 1 x a 2 的一个零点比1大 一个零点比1小 求实数a的取值范围 解 法一 设方程x2 a2 1 x a 2 0的两根分别为x1 x2 x1 x2 则 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 由根与系数的关系 得 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 2 a 1 法二 函数图象大致如图 则有f 1 0 即1 a2 1 a 2 0 2 a 1 题后感悟 解决二次函数的零点问题 1 可利用一元二次方程的求根公式 有时需解无理不等式 2 可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系 此种方法列不等式组较为复杂 3 利用二次函数的图象列不等式组 可注意二次函数图象顶点的纵 横坐标以及所给区间端点的函数值 备选例题已知函数f x x2 1 k x k的一个零点在 2 3 内 则实数k的取值范围是 解析 1 k 2 4k 1 k 2 0对一切k r恒成立 又k 1时 f x 的零点x 1 2 3 故要使函数f x x2 1 k x k的一个零点在 2 3 内 则必有f 2 f 3 0 即 6 3k 12 4k 0 解得2 k 3 实数k的取值范围是 2 3 答案 2 3 变式训练2 已知a是正实数 函数f x 2ax2 2x 3 a 如果函数y f x 在区间 1 1 上有零点 求a的取值范围 用二分法求方程x2 2的正实根的近似解 精确度为0 001 时 如果我们选取初始区间是 1 4 1 5 则要达到精确度要求至少需要计算的次数是 答案 7 题后感悟 利用二分法求近似解需注意的问题 1 第一步中 区间长度尽量小 f a f b 的值比较容易计算且f a f b 0 2 根据函数的零点与相应方程根的关系 求函数的零点与相应方程的根是等价的 备选例题用二分法求函数f x x3 x 1在区间 1 1 5 内的一个零点 精确度0 01 解 由计算可知 f 1 0 f 1 5 0 所以函数f x 在 1 1 5 内存在零点 取 1 1 5 的中点1 25 经计算f 1 25 0 而f 1 5 0 所以f x 在 1 25 1 5 内有解 如此继续下去 得到方程的一个实数解所在的区间 如下表 至此 可以看出 函数的零点落在区间长度小于0 01的区间 1 3203125 1 328125 内 因此 1 3203125是函数f x x3 x 1在区间 1 1 5 内的一个近似零点 变式训练3 若函数f x x3 x2 2x 2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算 其参考数值如下 那么方程x3 x2 2x 2 0的一个近似根 精确到0 1 为 解析 由参考数据知f 1 4375 0 f 1 40625 0 f 1 4375 f 1 40625 0 且精确到0 1时 1 4375 1 4 1 40625 1 4 所以函数f x 的一个零点的近似值是1 4 也就是方程x3 x2 2x 2 0的一个近似根 答案 1 4 方法技巧1 函数零点的判定常用的方法有 1 零点存在性定理 2 数形结合 3 解方程f x 0 2 研究方程f x g x 的解 实质就是研究g x f x g x 的零点 3 二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法 其实质是通过不断地 取中点 来逐步缩小零点所在的范围 当达到一定的精确度要求时 所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值 如例3变式 失误防范1 对于函数y f x x d 我们把使f x 0的实数x叫做函数的零点 注意以下几点 1 函数的零点是一个实数 当函数的自变量取这个实数时 其函数值等于零 2 函数的零点也就是函数y f x 的图象与x轴的交点的横坐标 3 一般我们只讨论函数的实数零点 4 函数的零点不是点 是方程f x 0的根 2 对函数零点存在的判断中 必须强调 1 f x 在 a b 上连续 2 f a f b 0 3 在 a b 内存在零点 这是零点存在的一个充分条件 但不必要 命题预测从近几年的高考试题来看 函数的零点 方程根的问题是高考的热点 特别新课改的省份更是新点 题型既有选择题 填空题 又有解答题 客观题主要考查相应函数的图象与性质 主观题考查较为综合 在考查函数的零点 方程根的基础上 又注重考查函数方程 转化与 化归 分类讨论 数形结合的思想方法 预测2013年高考仍将以函数的零点 方程根的存在问题为主要考点 重点考查相应函数的图象与性质 典例透析 2011 高考陕西卷 方程 x cosx在 内