高考数学二轮复习 专题九 第2讲 数形结合思想配套课件 理.ppt

专题九数学思想方法 第2讲数形结合思想 思想方法概述 热点分类突破 真题与押题 思想方法概述 1 数形结合的数学思想 包含 以形助数 和 以数辅形 两个方面 其应用大致可以分为两种情形 一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系 即以形作为手段 数作为目的 比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质 二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性 即以数作为手段 形作为目的 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 3 2 运用数形结合思想分析解决问题时 要遵循三个原则 1 等价性原则 在数形结合时 代数性质和几何性质的转换必须是等价的 否则解题将会出现漏洞 有时 由于图形的局限性 不能完整的表现数的一般性 这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明 要注意其带来的负面效应 2 双方性原则 既要进行几何直观分析 又要进行相应的代数抽象探求 仅对代数问题进行几何分析容易出错 3 简单性原则 不要为了 数形结合 而数形结合 具体运用时 一要考虑是否可行和是否有利 二要选择好突破口 恰当设参 用参 建立关系 做好转化 三要挖掘隐含条件 准确界定参变量的取值范围 特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线 3 数形结合思想解决的问题常有以下几种 1 构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围 2 构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围 3 构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系 4 构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式 5 构建立体几何模型研究代数问题 6 构建解析几何中的斜率 截距 距离等模型研究最值问题 7 构建方程模型 求根的个数 8 研究图形的形状 位置关系 性质等 4 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧 特别是在解选择题 填空题时发挥着奇特功效 这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练 以提高解题能力和速度 具体操作时 应注意以下几点 1 准确画出函数图象 注意函数的定义域 2 用图象法讨论方程 特别是含参数的方程 的解的个数是一种行之有效的方法 值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 有时可能先作适当调整 以便于作图 然后作出两个函数的图象 由图求解 热点一利用数形结合思想讨论方程的根 热点二利用数形结合思想解不等式 求参数范围 热点三利用数形结合思想解最值问题 热点分类突破 热点一利用数形结合思想讨论方程的根 解析先作出函数f x x 2 1的图象 如图所示 当直线g x kx与直线ab平行时斜率为1 当直线g x kx过a点时斜率为 故f x g x 有两个不相等的实根时 k的范围为 1 答案b 变式训练1 解析由f 4 f 0 f 2 2 解得b 4 c 2 f x 作出函数y f x 及y x的函数图象如图所示 由图可得交点有3个 答案c 例2 1 已知奇函数f x 的定义域是 x x 0 x r 且在 0 上单调递增 若f 1 0 则满足x f x 0的x的取值范围是 热点二利用数形结合思想解不等式 求参数范围 由图可知x f x 0的x的取值范围是 1 0 0 1 解析作出符合条件的一个函数图象草图即可 1 0 0 1 2 若不等式 x 2a x a 1对x r恒成立 则a的取值范围是 解析作出y x 2a 和y x a 1的简图 依题意知应有2a 2 2a 故a 变式训练2 1 设a x y x2 y 1 2 1 b x y x y m 0 则使a b成立的实数m的取值范围是 解析集合a是一个圆x2 y 1 2 1上的点的集合 集合b是一个不等式x y m 0表示的平面区域内的点的集合 要使a b 则应使圆被平面区域所包含 如图 即直线x y m 0应与圆相切或相离 在圆的下方 例3 1 已知p是直线l 3x 4y 8 0上的动点 pa pb是圆x2 y2 2x 2y 1 0的两条切线 a b是切点 c是圆心 则四边形pacb面积的最小值为 热点三利用数形结合思想解最值问题 解析从运动的观点看问题 当动点p沿直线3x 4y 8 0向左上方或右下方无穷远处运动时 当点p从左上 右下两个方向向中间运动时 s四边形pacb变小 显然 当点p到达一个最特殊的位置 即cp垂直直线l时 s四边形pacb应有唯一的最小值 解析画出可行域如图 所求的x2 y2 6x 9 x 3 2 y2是点q 3 0 到可行域上的点的距离的平方 由图形知最小值为q到射线x y 1 0 x 0 的距离d的平方 最大值为 qa 2 16 取值范围是 2 16 答案b 变式训练3 1 2013 重庆 设p是圆 x 3 2 y 1 2 4上的动点 q是直线x 3上的动点 则 pq 的最小值为 a 6b 4c 3d 2 解析由题意 知圆的圆心坐标为 3 1 圆的半径长为2 pq 的最小值为圆心到直线x 3的距离减去圆的半径长 所以 pq min 3 3 2 4 故选b b 又的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k 解析可行域如图所示 由图知 过点a的直线oa的斜率最小 答案2 1 在数学中函数的图象 方程的曲线 不等式所表示的平面区域 向量的几何意义 复数的几何意义等都实现以形助数的途径 当试题中涉及这些问题的数量关系时 我们可以通过图形分析这些数量关系 达到解题的目的 本讲规律总结 2 有些图形问题 单纯从图形上无法看出问题的结论 这就要对图形进行数量上的分析 通过数的帮助达到解题的目的 3 利用数形结合解题 有时只需把图象大致形状画出即可 不需要精确图象 4 数形结合思想常用模型 一次 二次函数图象 斜率公式 两点间的距离公式 或向量的模 复数的模 点到直线的距离公式等 真题感悟 押题精练 真题与押题 1 2 真题感悟 3 4 解析设p x 0 设c1 2 3 关于x轴的对称点为c1 2 3 1 2 真题感悟 3 4 答案a 1 2 真题感悟 3 4 解析 aob 90 点o在圆c上 设直线2x y 4 0与圆c相切于点d 则点c与点o间的距离等于它到直线2x y 4 0的距离 点c在以o为焦点 以直线2x y 4 0为准线的抛物线上 当且仅当o c d共线时 圆的直径最小为 od 1 2 真题感悟 3 4 1 2 真题感悟 3 4 答案a 1 2 真题感悟 3 4 解析函数y f x 的图象如图 当a 0时 f x ax显然成立 当a 0时 只需在x 0时 ln x 1 ax成立 比较对数函数与一次函数y ax的增长速度 显然不存在a 0使ln x 1 ax在x 0上恒成立 1 2 真题感悟 3 4 当a 0时 只需在x 0时 x2 2x ax成立 即a x 2成立 所以a 2 综上所述 2 a 0 故选d 答案d 1 2 真题感悟 3 4 4 2014 天津 已知函数f x x2 3x x r 若方程f x a x 1 0恰有4个互异的实数根 则实数a的取值范围为 1 2 真题感悟 3 4 解析设y1 f x x2 3x y2 a x 1 在同一直角坐标系中作出y1 x2 3x y2 a x 1 的图象如图所示 由图可知f x a x 1 0有4个互异的实数根等价于y1 x2 3x 与y2 a x 1 的图象有4个不同的交点 当4个交点横坐标都小于1时 1 2 真题感悟 3 4 消y得x2 3 a x a 0 故 a2 10a 9 0 且x1 x2 a 3 2 x1x2 a 1 联立可得0 a 1 当4个交点横坐标有两个小于1 两个大于1时 1 2 真题感悟 3 4 消去y得x2 3 a x a 0 故 a2 10a 9 0 且x3 x4 a 3 2 x3x4 a 1 联立可得a 9 综上知 09 答案 0 1 9 押题精练 1 2 3 1 方程 x2 2x a2 1 a 0 的解的个数是 a 1b 2c 3d 4 4 5 6 解析 数形结合法 a 0 a2 1 1 y x2 2x 的图象与y a2 1的图象总有两个交点 而y x2 2x 的图象如图 b 2 不等式 x 3 x 1 a2 3a对任意实数x恒成立 则实数a的取值范围为 a 1 4 b 2 5 c 1 2 d 1 2 押题精练 1 2 3 4 5 6 押题精练 1 2 3 4 5 6 画出函数f x 的图象 如图 可以看出函数f x 的最大值为4 故只要a2 3a 4即可 解得a 1或a 4 正确选项为a 答案a 3 经过p 0 1 作直线l 若直线l与连接a 1 2 b 2 1 的线段总有公共点 则直线l的斜率k和倾斜角 的取值范围分别为 押题精练 1 2 3 4 5 6 解析如图所示 结合图形 为使l与线段ab总有公共点 则kpa k kpb 而kpb 0 kpa 0 押题精练 1 2 3 4 5 6 故k0时 为锐角 押题精练 1 2 3 4 5 6 押题精练 1 2 3 4 5 6 押题精练 1 2 3 4 5 6 解析由题意知原点o到直线x y 2 0的距离为 om 的最小值 押题精练 1 2 3 4 5 6 押题精练 1 2 3 4 5 6 6 设函数f x ax3 3ax g x bx2 lnx a b r 已知它们在x 1处的切线互相平行 1 求b的值 押题精练 1 2 3 4 5 6 解函数g x bx2 lnx的定义域为 0 f x 3ax2 3a f 1 0 g x 2bx g 1 2b 1 依题意得2b 1 0 所以b 押题精练 1 2 3 4 5 6 押题精练 1 2 3 4 5 6 即g x 在 1 上单调递增 当a 0时 方程f x a2不可能有四个解 当a 0 x 1 时 f x 0 即f x 在 1 上单调递减 x 1 0 时 f x 0 即f x 在 1 0 上单调递增