高考数学总复习 11.1离散型随机变量的分布列、期望与方差课件 人教版.ppt

第一讲离散型随机变量的分布列 期望与方差 一 离散型随机变量1 随机变量如果随机试验的结果可以用一个来表示 那么这样的变量称为随机变量 随机变量常用希腊字母 等表示 2 离散型随机变量对于随机变量可能取的值 我们可以按一定次序 这样的随机变量称为离散型随机变量 变量 一一列出 注意 1 随机变量实际上是用变量对试验结果的一种刻画 是试验结果 即样本点 与实数之间的一个对应关系 这与函数概念本质上是相同的 不同的是 在函数概念中 函数f x 的自变量是实数x 但在随机变量的概念中 随机变量的自变量 所取的值代表的不是数 而是试验结果 即样本点 2 概率论是以随机现象为研究对象的 相应地 不论自变量 还是因变量p xi 它们取到某个 值 都是带有偶然性的 是不确定的 在试验之前不能断言随机变量取什么值 即具有随机性 但在大量重复试验中随机变量又能按一定规律取值 即存在统计规律性 3 随机变量定义中出现了 随机试验 一词 但教材上对随机试验未给出定义 凡是对现象的观察或为此做的试验都称为试验 若试验满足下列条件 试验可在相同条件下重复进行 试验的所有可能结果是明确知道的 并且不止一个 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果 则该试验为随机试验 4 注意区分随机变量 与以前所学函数f x 是两个不同概念 函数f x 是研究确定现象的 它定义在实数轴上 有确定的因果关系 概率中的随机变量 是研究随机现象的 它定义在由全部试验结果组成的集合上 它的取值是不能预知的 但它的取值有一定的概率 研究随机变量时 关心的是随机变量能取哪些值 即都包含哪些试验结果 基本事件 以及注意研究它的统计规律 也就是事件概率的大小 5 随机变量的取值有两种类型 取值为连续的 此时随机变量称为连续型随机变量 取值为可按顺序列出的 此时随机变量称为离散型随机变量 离散型随机变量和连续型随机变量都是用来刻画随机试验出现的结果的 但二者之间又有本质的区别 对于离散型随机变量而言 它可能取得的值可按一定次序一一列出 而连续型随机变量可取某一区间内的一切值 此时无法对其中的值一一列出 按考试大纲的要求 中学阶段只要求掌握离散型随机变量的相关知识 二 离散型随机变量的分布列1 随机变量的概率分布一般地 设离散型随机变量 可能取的值为x1 x2 xi 取每一个值xi i 1 2 3 的概率p xi pi 则称表为随机变量 的概率分布 简称为 的分布列 离散型随机变量的分布列具有下列两个性质 pi i 1 2 3 p1 p2 pi 0 1 2 二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p 那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是p k cpkqn k 其中k 0 1 2 n q 1 p 于是得到随机变量 的概率分布如下 qk 1p 于是得到随机变量 的概率分布我们称 服从几何分布 并记g k p qk 1p 其中q 1 p k 1 2 3 注意 1 由随机变量的分布列可知 随着试验结果的不同 随机变量 将取不同的值 而 取到这些值的可能性大小也由相应的试验结果发生的概率来决定 更明确地说 取某个值x0就意味着某一个相应的随机事件a发生 这两者是等价的 因此 p x0 p a 2 离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值 而且能清楚地看到取每一个值的概率大小 若求离散型随机变量在某一范围内取值的概率 则可运用分布列 将这个范围内各个值的概率相加 3 对于离散型随机变量的分布列 要准确掌握对应于随机变量的每一个值的概率 由于二项分布有单独的计算公式 因此求离散型随机变量的分布列 要注意其是否服从二项分布 三 离散型随机变量的期望与方差1 期望一般地 设离散型随机变量 可能取的值为x1 x2 xi 取每一个值xi i 1 2 的概率p xi pi 则称e 为 的数学期望或平均数 均值 数学期望又简称为期望 x1p1 x2p2 xipi 2 方差一般地 设离散型随机变量 可能取的值为x1 x2 xi 取每一个值xi i 1 2 的概率p xi pi 则称d 为 的均方差 简称为方差 式中e 为 的数学期望 称为 的标准差 记作 3 常用公式 若随机变量 a b a b为常数 则有e ae b d a2d 若 b n p 则e np d x1 e 2p1 x2 e 2p2 xi e 2pi np 1 p 注意 1 随机变量的期望表示了随机变量在随机试验中取值的平均值 由于它的计算是从概率分布出发的 因而期望是随机变量的概率平均值 e 是算术平均值概念的推广 是概率意义下的平均 它描述 取值的平均状态 但一般情况下不等于算术平均数 2 在实际问题中 若两个随机变量 1 2 有e 1 e 2或e 1与e 2比较接近 我们常用d 1与d 2来比较这两个随机变量 方差值大的 则表明 较为离散 反之则表明 较为集中 同样 标准差的值较大 则表明 与其期望值的偏差较大 反之 则表明 与其期望值的偏差较小 3 对求离散型随机变量期望的应用问题 首先应仔细地分析题意 当概率分布不是一些熟知的类型 如二项分布 几何分布等 时 应全面地分析各个随机变量所包含的各种事件 并准确判断各事件的相互关系 再由此求出各随机变量的概率 1 如果 是一个离散型随机变量 那么下列命题不正确的是 a 取每一个可能值的概率都是非负实数b 取所有可能值的概率之和为1c 取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和d 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内的各个值的概率之和 解析 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 答案 d 2 设离散型随机变量 的分布列为 答案 b 答案 d 4 一射手对靶射击 直到第一次命中或子弹打完终止射击 若该射手每次射击命中的概率为0 6 现有4颗子弹 则剩余子弹数目的 的期望为 解析 由题意知 可取0 1 2 3 此时p 0 0 43 p 1 0 6 0 42p 2 0 6 0 4 p 3 0 6 e 0 0 43 1 0 6 0 42 2 0 6 0 4 3 0 6 2 376 答案 2 376 从集合 1 2 3 4 5 的所有非空子集中 等可能地取出一个 1 记性质r 集合中的所有元素之和为10 求所取出的非空子集满足性质r的概率 2 记所取出的非空子集的元素个数为 求 的分布列 题后总结 求离散型随机变量的分布列 一般分为三步 一是要确定随机变量 的可能取值有哪些 二是分清概率类型 计算 取得每一个值时的概率 三是列表对应给出分布列 把4个球随机地投入4个盒子中 设 表示空盒子的个数 求 的期望e 与方差d 1 当n 6时 分别求考生10道题全答对的概率和答对8道题的概率 问 考生答对几道题的概率最大 并求出最大值 2 要使考生所得分数的期望不小于40分 求n的最小值 12分 某陶瓷厂准备烧制甲 乙 丙三件不同的工艺品 制作过程必须先后经过两次烧制 当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制 两次烧制过程相互独立 根据该厂现有的技术水平 经过第一次烧制后 甲 乙 丙三件产品合格的概率依次为0 5 0 6 0 4 经过第二次烧制后 甲 乙 丙三件产品合格的概率依次为0 6 0 5 0 75 1 求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率 2 经过前后两次烧制后 合格工艺品的个数为 求随机变量 的期望 2 解法一 因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p 0 3 所以 b 3 0 3 9分故e np 3 0 3 0 9 12分 解法二 分别记甲 乙 丙经过两次烧制后合格为事件a b c 7分则p a p b p c 0 3 所以p 0 1 0 3 3 0 343 p 1 3 1 0 3 2 0 3 0 441 8分p 2 3 0 32 0 7 0 189 p 3 0 33 0 027 10分于是e 1 0 441 2 0 189 3 0 027 0 9 12分 题后总结 二项分布是一种重要分布 若已知 b n p 可以直接利用公式写出 的期望和方差 e np d np 1 p 易错点 对二项分布理解不准致误某气象站天气预报的准确率为80 计算 结果保留到小数点后面第2位 1 5次预报中恰有2次准确的概率 2 5次预报中至少有2次准确的概率 3 5次预报中恰有2次准确 且其中第3次预报准确的概率 错因分析 由于5次预报之间没有什么影响 故这是一个5次独立重复试验的概率模型 我们就可以利用独立重复试验和二项分布的知识加以解决 第 1 问是5次独立重复试验事件恰好发生2次的概率 第 2 问利用对立事件的概率解决 第 3 问相当于第3次发生 第1 2 4 5这4次独立重复试验事件发生1次的概率 解本题容易出错的地方 一是对 恰有2次 至少有2次 理解错误 误用二项分布 二是对随机事件 5次预报中恰有2次准确 且其中第3次预报准确 的意义理解错误 不能把问题归结为只要在第1 2 4 5次预报中预报1次准确即可 出现仍然用5次独立重复试验二项分布模型解决问题的错误 状元笔记 二项分布概率模型的特