第3章 圆的基本性质单元复习例题讲义.doc

第3章 圆的基本性质 单元复习 3.1 圆3.1.1 圆连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。3.1.2 垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧。例1 赵州桥的主桥拱为圆弧形，它的跨度为37.4m，拱高为7.2m，求主桥拱的半径。解： 如图，表示主桥拱，设所在的圆心为O，半径为R，过O作OCAB交AB于D，根据垂径定理，D为AB的中点。已知：AB=37.4m，CD=7.2m，AD=AB2=18.7m，OD=R-7.2在RtAOD中，R2=18.72+(R-7.2)2，解得R27.9m答：主桥拱的半径约为27.9m。例2 如图，在O中，ABAC且AB=AC，ODAB于D，OEAC于E，.求证四边形ADOE是正方形。证明：ABAC，ODAB，OEACOEA=EAD=ADO=90四边形ADOE是矩形ODAB，OEACD、E分别平分AB、AC（垂径定理）AB=ACAD=AE四边形ADOE是正方形。3.1.3 弧、弦、圆心角1、顶点在圆心的角叫做圆心角。2、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论1：相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。 推论2：相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。例3 如图，在O中，=，ACB=60，求证AOB=BOC=COA。证明：=AB=AC，ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）ACB=60ABC为等边三角形，AB=BC=CAAOB=BOC=COA（相等的弦所对的圆心角相等）3.1.4 圆周角1、顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧也一定相等。推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。3、如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就叫做多边形的外接圆。4、圆内接四边形的对角互补。求证：圆内接四边形的对角互补。证明：如图，四边形ABCD是O的内接四边形，A所对弧为，C所对弧为，且和所对的圆心角的和为周角A+C=3602=180同理B+D=180圆内接四边形的对角互补。例4 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角.三角形。 圆内接平行四边形是矩形。证明：如图，设OC为AB边上的中线，以OC为半径画圆，AB=2OCAB为O的直径ACB=90（直径所对的圆周角是直角）ABC为直角三角形。证明：它是平行四边形对角相等它是圆内接四边形对角互补一组对角为1802=90它是矩形。例5 如图，O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD、BD的长度。解： AB是直径（已知）ACB=ADB=90（直径所对的圆周角是直角）在RtABC中，BC=8cm（勾股定理）CD平分ACB（已知）ACD=BCD（角平分线定义）=（两个圆周角相等，则所对的弧也相等）AD=BD（相等的弧所对的弦相等）在RtABD中，AD2+BD2=AB2（勾股定理）AD=BD=5cm3.2 点、直线、圆和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系1、若O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：点P在圆外dr；点P在圆上d=r；点P在圆内dr。（“”读作“等价于”，表示可以从符号“”的一端得到另一端） 2、经过已知的两个点的圆的圆心在这两个点的连线段的垂直平分线上。3、不在同一直线上的三个点确定一个圆，确定方法：作三点的连线段的其中两条的垂直平分线，交点即为圆心，以圆心到其中一点的距离作为半径画圆即可。4、若三角形的三个顶点在同一个圆上，那么这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。5、假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，则假设不正确，故原命题成立，这种证明方法叫做反证法。例6 .求证：经过同一直线上的三个点无法作出一个圆。证明：假设过同一直线l上的三个点A、B、C可以作出一个圆如图，设这个圆的圆心为O，则点O在AB、BC的垂直平分线l1、l2上即点O是l1、l2的交点，因为l1l，l2l与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾所以经过同一直线上的三个点无法作出一个圆。3.2.2 直线和圆的位置关系1、当直线与圆有两个公共点时，叫做这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。当有一个公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。当没有公共点时，叫做直线与圆相离。2、若O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：直线l与圆相交dr。3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。例7 如图，直线AB经过O上的点C，OA=OB，AC=BC，求证直线AB是O的切线。证明：连接OCOA=OBAOB是等腰三角形AC=BCOC是AB边上的中线OCAB（三线合一）直线AB是O的切线。（切线的判定定理）4、经过圆外一点作圆的切线，这个点到切点的长度叫做这点到圆的切线长。5、切线长定理：从圆外一点可以引出两条切线，它们的切线长相等，这个点与圆心的连线平分两条切线的夹角。6、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条边的角平分线的交点，叫做三角形的内心。确定内切圆方法：作出角平分线，以交点为圆心，以它到任意一边的距离为半径作圆即可。例8 .如图，ABC的内切圆O分别与三边相切于D、E、F，已知AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长度。解： 设AF=x cm，则AE=x cmCE=CD=(13-x)cm（切线长定理）BF=BD=(9-x)cm（同上）BD+CD=BC(13-x)+(9-x)=14解得x=4AF=4cm，BD=9-4=5cm，CE=13-4=9cm3.2.3 圆和圆的位置关系1、如果两个圆没有公共点，就叫做这两个圆相离（如(1)(5)(6)）。其中(1)叫做外离，(5)(6)叫做内含，(6)中两圆同心是内含的一种特殊情形。2、如果两个圆只有一个公共点，就叫做这两个圆相切（如(2)(4)）。其中(2)叫做外切，(4)叫做内切。3、如果两个圆有两个公共点，就叫做这两个圆相交（如(3)）。4、若两个圆的半径分别为r1、r2（r1r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，则外离dr1+r2内含dr1-r2外切d=r1+r2内切d=r1-r2相交r1-r2d0，舍去根-4-4边长=4-4，AO=4-2面积S八边形=S正-4S=42-(4-2)224=32-32答：正八边形的边长为(4-4)cm，面积为(32-32)cm2。例13 用48 m长的篱笆围一个养鸡场，现有以下几种方案：正三角形，正方形，正六边形，圆，围成的面积分别为多少（保留一位小数）？最大的是哪种？解：如图，边长BC=483=16m，CD=162=8mAD=8m，S=8162=64110.9m2正方形边长为484=12m，S=122=144m2如图，边长AB=OB=486=8m，PB=82=4mOP=4m，S=4826=96166.3m2圆的半径为=m，S=()2=183.4m2面积最大的是圆形。正多边形补充知识：1、正多边形都有内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆（即垂直平分线、角平分线的交点）。2、设正n边形的半径为R，边心距为r，边长为a，周长为C，面积为S，有：（1）a=2Rsin (180/n)（2）r=Rcos (180/n)（3）S=1/2ran=1/2Cr3、每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。例14 已知圆的半径为r，.求：外切正三角形的边长，外切正六边形的边长。解：如左图，AOB=3603=120AOP=1202=60AP=OPtan 60=r边长AB=2r如右图，AOB=3606=60AOP=602=30AP=OPtan 30=r，边长AB=r在例14第小题中，O点是正三角形ABC的重心、垂心、内心、外心。重心：三角形三条中线的交点性质：重心到顶点的距离与到任意一边中点的距离之比为21。重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。在平面直角坐标系中，重心的坐标等于三个顶点坐标的算术平均数。垂心：三角形三条高线的交点 性质：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。把三角形分成十二个直角三角形，构成三组相似三角形，每组四个。如右下图，相似三角形有：AOBDOEACDBCE，AOFCODADECEF，BOCEOFABEACF。内心：三角形三条内角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）性质：内心到三边的距离相等。外心：三角形三边垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）性质：外心到三顶点的距离相等。中心：当且仅当三角形为正三角形时，以上四心合一，叫做三角形的中心。解例14方法：O点是重心，根据重心的性质得OA=2r，AP=r，AB=2r；设边长为x，则r2+(x)2=x2，x=r解例14方法：根据正多边形补充知识中的前两个公式，可以算出，根据重心的性质得OA=2r，再根据公式(1)得边长a=22rsin(1803)=2r根据公式(2)得半径R=rcos(1806)=r，正六边形的边长=r3.4 弧长和扇形面积1、n的圆心角所对的弧长公式：l=（推导过程：360所对的弧长为2R）2、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。3、圆心角为n的扇形面积公式：S=（推导过程：360所对的扇形面积为R2）4、比较弧长公式和扇形面积公式，可以得到另一个扇形面积公式：S=lR（l为弧长）例15 如图，圆柱形排水管道的横截面半径为0.6 m，其中水面高0.3 m，.求有水部分的面积。（保留根号与）解：连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交弧AB于COC=0.6，DC=0.3OD=DC=0.3OCAD AD是OC的垂直平分线AO=AC=OC（垂直平分线上的点到线段端点距离相等）AOD=60，AOB=120S水=S扇-S=-=(0.12-0.09) m2例16 如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以为半径作圆，这.三个圆两两相切，求蓝色部分的面积。（保留根号与）解：作ADBCAD=aSABC=aa=a2三角形的内角和为180三块扇形的面积S扇=a2S蓝=S-S扇=a2例17 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条OB、OD的夹角为120，OB的长为.25cm，贴纸部分AB的长为20cm，求贴纸部分的面积（保留整数）。解：将图形补全为圆环，算得圆环面积S环=252-(25-20)2=600S纸=200628cm25、连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。6、圆锥的侧面积公式：S侧=Cl=rl，圆锥全面积公式：S=r2+rl=r(r+l)例18 从直径为2m的圆上剪下一块最大的圆心角为90的扇形，求这块扇形的面积，.如果将这个扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面直径（所有结果保留根号与）。解：最大的扇形形状如图，O半径OB=OC=22=m扇形半径BC=2mS扇= m2S侧=S扇=rl，l=BC=2mr=m，d=1m数学活动四点共圆的条件：1、把四个点连成四边形，对角互补。2、把四个点连成共底边的两个三角形，两个顶角为直角，斜边即为直径。3、四个点到某一定点的距离相等，定点即为圆心。4、作任意三个点的连线段的垂直平分线，有交点，该点即为圆心。例19 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，四条边AB、BC、CD、DA的中.点分别为E、F、G、H，求证这四个点共圆，并指出圆心在哪里。证明：将四个点与点O相连ACB