2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)(数学[文]).doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1cos300()ABC. D.解析：cos300cos(36060)cos60.答案：C2设全集U1,2,3,4,5，集合M1,4，N1,3,5，则N(UM)()A1,3 B1,5 C3,5 D4,5解析：UM2,3,5，N(UM)3,5答案：C3若变量x，y满足约束条件则zx2y的最大值为()A4 B3 C2 D1解析：如图，画出约束条件表示的可行域，当目标函数zx2y经过xy0与xy20的交点A(1，1)时，取到最大值3.答案：B4已知各项均为正数的等比数例an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6()A5 B7C6 D4解析：(a1a2a3)(a7a8a9)a50，a4a5a6a5.答案：A5(1x)4(1)3的展开式中x2的系数是()A6 B3C0 D3解析：(1x)4的二项展开式的通项为Tr1C(x)r(1)rCxr，(1)3的二项展开式的通项为Tr1C()r(1)rC x，因此，(1x)4(1)3的展开式的各项为(1)r(1)rCCxr，当r2时有r2，且r0或r1且r2两种情况，因此展开式中x2的系数为6(12)6.答案：A6直三棱柱ABCA1B1C1中 ，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90解析：延长CA至点M，使AMCA，则A1MC1A，MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角，连接BM，易知BMA1为等边三角形，因此，异面直线BA1与AC1所成的角为60.答案：C7已知函数f(x)|lgx|，若ab，且f(a)f(b)，则ab的取值范围是()A(1，) B1，)C(2，) D2，)解析：不妨设0a1b，由f(a)f(b)得lgalgb，lgalgb0，ab1，因此，aba2.答案：C8已知F1、F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|()A2 B4C6 D8解析：|PF1|PF2|2，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60|F1F2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|8|PF1|PF2|8224答案：B9正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：BB1与平面ACD1所成角等于DD1与平面ACD1所成角，在三棱锥DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边ACD1的重心即中心H，则DD1H为DD1与平面ACD1所成角，设正方体的棱长为a，则cos DD1H.答案：D10设alog32，bln2，c5，则()Aabc BbcaCcab Dcba解析：alog32ln 2b，又c5，alog32log3，因此cab. 答案：C11已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为()A4 B3C42 D32解析：设|x，APB，则tan，cos，则x2x21323，当且仅当x21，即x21时，取“”，故的最小值为23.答案：D12已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若ABCD2，则四面体ABCD的体积的最大值为()A. B.C2 D.解析：设球心为O，如图，过O、C、D三点作球的截面，交AB于点M，由条件知，OAB、OCD均为边长为2的等边三角形，设M到CD的距离为h，A到面MCD的距离为h1，B到面MCD的距离为h2，则VABCDVAMCDVBMCDSMCD(h1h2)CDh(h1h2)，因此，当AB面MCD时，VABCD22(11)最大答案：B第卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在题中的横线上13不等式0的解集是_解析：由00(x1)(x2)(x2)0，故原不等式的解集为x|2x1，或x2答案：x|2x1，或x214已知为第二象限的角，sin，则tan2_.解析：由sin，且为第二象限的角得cos，得tan，tan2.答案：15某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有_种(用数字作答)解析：选法可分两类，A类选修课1门，B类选修课2门，或者A类选修课2门，B类选修课1门，因此，共有CCCC30种选法答案：3016已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且2，则C的离心率为_解析：不妨设椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，B点为椭圆的上顶点，F(c,0)(c0)为右焦点，则由2，得D点到右准线的距离是B点到右准线距离的一半，则D点横坐标xD，由2 知，F分所成的比为2，由定比分点坐标公式得c，得3c2a2，得e.答案：三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)记等差数列an的前n项和为Sn.设S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.解：设数列an的公差为d.依题意有即解得a11，d3，或a18，d4.因此Snn(3n1)，或Sn2n(5n)18(本小题满分12分)已知ABC的内角A，B及其对边a，b满足abacotAbcotB，求内角C.解：由abacotAbcotB及正弦定理得sinAsinBcosAcosB，sinAcosAcosBsinB，从而sinAcoscosAsincosBsin sinBcos，sin(A)sin(B)又0AB，故AB，AB，所以C.19(本小题满分12分)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专用的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率解：(1)记A表示事件：稿件恰能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用则DABC，P(A)0.50.50.25，P(B)20.50.50.5，P(C)0.3，P(D)P(ABC)P(A)P(BC)P(A)P(B)P(C)0.250.50.30.40.(2)记A0表示事件：4篇稿件中没有1篇被录用；A1表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用；A2表示事件：4篇稿件中至少有2篇被录用2A0A1.P(A0)(10.4)40.129 6，P(A1)C0.4(10.4)30.345 6，P(2)P(A0A1)P(A0)P(A1)0.129 60.345 60.475 2，P(A2)1P(2)10.475 20.524 8.20(本小题满分12分)如图，四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DCSD2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.(1)证明：SE2EB；(2)求二面角ADEC的大小解：法一：(1)证明：连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DGGCBG1，即DBC为直角三角形，故BCBD.又SD平面ABCD，故BCSD.所以，BC平面BDS，BCDE.作BKEC，K为垂足因平面EDC平面SBC，故BK平面EDC，BKDE.DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直DE平面SBC，DEEC，DESB.SB，DE，EB，SESBEB，所以，SE2EB.(2)由SA，AB1，SE2EB，ABSA，知AE1，又AD1.故ADE为等腰三角形取ED中点F，连结AF，则AFDE，AF.连结FG，则FGEC，FGDE.所以，AFG是二面角ADEC的平面角连结AG，AG，FG，cosAFG，所以，二面角ADEC的大小为120.法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Dxyz.设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)(1) (0,2，2)，(1,1,0)设平面SBC的法向量为n(a，b，c)，由n，n得n0，n0.故2b2c0，ab0.令a1，则b1，c1，n(1,1,1)又设 (0)，则E(，)(，)，(0,2,0)设平面CDE的一个法向量m(x，y，z)，由m，m，得m0，m0.故0,2y0.令x2，则m(2,0，)由平面DEC平面SBC得mn，mn0,20，2.故SE2EB.(2)由(1)知E(，)，取DE中点F，则F(，)，(，)，故0，由此得FADE.又(，)，故0，由此得ECDE，向量与的夹角等于二面角ADEC的平面角于是cos，所以，二面角ADEC的大小为120.21(本小题满分12分)已知函数f(x)3ax42(3a1)x24x.(1)当a时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(1,1)上是增函数，求a的取值范围解：(1)f(x)4(x1)(3ax23ax1)当a时，f(x)2(x2)(x1)2，f(x)在(，2)内单调减，在(2，)内单调增，在x2时，f(x)有极小值所以f(2)12是f(x)的极小值(2)在(1,1)上，f(x)单调增加，当且仅当f(x)4(x1)(3ax23ax1)0，即3ax23ax10，()当a0时恒成立；()当a0时成立，当且仅当3a123a110.解得0a.()当a0时成立，即3a(x)210成立，当且仅当10.解得a0.综上，a的取值范围是，22(本小题满分12分)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.(1)证明：点F在直线BD上；(2)设，求BDK的内切圆M的方程解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，y1)，l的方程为xmy1(m0)(1)证明：将xmy1代入y24x并整理得y24my40，从而y1y24m，y1y24.直线BD的方程为yy2(xx2)，即yy2(x)令y0，得x1.所以点F(1,0)在直线BD上(2)由(1)知，x1x2(my11)(my21)4m22，x